小学奥数专题之-几何专题

1、小学奥数几何专题1、（）如图，已知四边形 ABCD中，AB=13, BC=3, CD=4, DA=12,并且 BD与 AD 垂 直，则四边形的面积等于多少思 路:显然四边形 ABCD的面积将由三角形 ABD与三角形BCD的面积求和得到.三角形 ABD是直角三角形，底 AD已知，高BD是未知的，但可以通过勾股定理求出， 进而可以判定三角形 BCD的形状，然后求其面积.这样看来，BD的长度是求解本题的关键.解：由于BD垂直于AD,所以三角形 ABD是直角三角形.而 AB=13, DA=12,由勾 股定理，BD 2=ab2 _ad2=i32 12 2 =25=52 ,所以 BD=5.三角形 BCD

2、中 BD=5, BC=3, CD=4,又32十42 =52,故三角形BCD是以BD为斜边的直角三角形， BC与CD垂直.那么：S四边形 abcd =+S bcd =12x5+2+4* 3 + 2=36.即四边形ABCD的面积是36.2、（）如图四边形土地的总面积是48平方米，三条线把它分成了 4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是 7平方米和9平方米.那么最大的一个三角形的面积是 平方米；分析:剩下两个三角形的面积和是48-7-9=32 ,是右侧两个三角形面积和的2 倍，故左侧三角形面积是右侧对应三角形面积的2倍，最大三角形面积是9X2=18。3. （）将下图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右

3、图，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2:3。已知右图中3个阴影的三角形面积之和为1,那么重叠部分的面积为多少思 路:小升初中常把分数，百分数，比例问题处理成份数问题，这个思想一定要养成。解：粗线面积：黄面积 =2: 3绿色面积是折叠后的重叠部分，减少的部分就是因为重叠才变少的，这样可以设总共3份，后来粗线变 2份，减少的绿色部分为1份，所以阴影部分为 2-1=1份,求下图中阴影部分的面积:【解】如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之

4、差。所以阴影面积：4 4 4X4 + 4-4X4 + 2=。5、（）下图中阴影部分的面积是多少厘米2分析与解：本题可以采用一般方法，也就是分别计算两块阴影部分面积，再加起来，但 不如整体考虑好。我们可以运用翻折的方法，将左上角一块阴影部分（弓形）翻折到半 圆的右上角（以下图中虚线为折痕），把两块阴影部分合在一起，组成一个梯形（如下 图所示），这样计算就很容易。本题也可看做将左上角的弓形绕圆心旋转90° ,到达右上角，得到同样的一个梯形6、（）如图6-1 ,每一个小方格的面积都是l平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米10x-x2【分析与解】方法一：正方形格点阵中多边形面积

5、公式：（N+L-1）单位正方形面积,2其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数.有N=4, L=7,则用粗线围成图形的面积为：（4+；-1） X伴（万厘米）方法二：如下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有=3+2=,=2+2=1=2+2=1,=2+2=1,=2+2=1,=2+2=1,还有三个小正方形，所以粗实 线外格点内的图形面积为+1+1+1 + 1+1+3=,而整个格点阵所围成的图形的面积为16,所以粗线围成的图形的面积为：=平方厘米.ABCD的边长为10厘米，那么图中7 （）,已知四边形 ABCD和CEFGB是正方形，且正方形 阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米显然阴影部分的面积

6、与其有关.设【分析与解】方法一：因为CEFG的边长题中未给出, 正方形CEFG的边长为x,有:一一 一一一2 -1 _ 1 ,一 、SE方形 ABCD =10 10=100, S正方形 CEFG=X ，S DGF = 2 DG GF= 2 (10-x)x=2一一 1110x+x2又SABD=10 10=50, Sbef= (10+x)x= 222阴影部分的面积为S正方形ABCDS正方形CEFGS DGF S ABD S BEF2 10x x210x x2100 x 50 50（平万厘米）.22方法二：连接 FG有FC平行与DB,则四边形BCFD为梯形.有DFB、 DBC共底 DB,等高，所以这

7、两个三角形的面积相等，显然 ， DBC的面积1-10 10 50（平方厘米）.阴影部分 DFB的面积为50平方厘米.8、（）用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平3X3;再看上下左右四个面，都是2X3+1,方厘米方法一：思总:整体看待面积问题。解：不管叠多高，上下两面的表面积总是 所以，总计 9X2+7X4=18+28=46 方法二：思路:所有正方体表面积减去粘合的表面积解：从图中我们可以发现，总共有14个正方体，这样我们知道总共的表面积是：6X14=64,但总共粘合了 18个面，这样就减少了18 X 1=18,所以剩下的表面积是 64-18=46。方法三:直

8、接数数。思 路:通过图形，我们可以直接数出总共有46个面，每个面面积为 1,这样总共的表面积就是46。9、（） 一个圆柱形的玻璃杯中盛有水，水面高，玻璃杯内侧的底面积是72cm,在这个杯中放进棱长6cm的正方体铁块后，水面没有淹没铁块，这时水面高多少厘米解：水的体积为72X =180 （cm）,放入铁块后可以将水看做是底面积为72-6X6=32（cm）的柱体，所以它的高为180+32=5 （cm）。10、（）有一个棱长为 1米的立方体，沿长、宽、高分别切二刀、三刀、四刀后，成为60个小长方体（见左下图）.这60个小长方体的表面积总和是 平方米.（06年三帆中学考试题）【解】原正方体表面积：1X

9、1X6= 6 （平方米），一共切了 2+3+4= 9 （次），每切一次增加2个面：2平方米。所以表面积：6+2X9= 24 （平方米） 二：提高题11、（）图是由正方形和半圆形组成的图形。其中P点为半圆周的中点，Q点为正方形一边的中点。已知正方形的边长为10,那么阴影部分面积是多少（冗取 .）图 7-15方法一：阴影面积的“加减法”。思路:因为阴影部分面积不是正规图形，所以通过整个面积减去空白部分面积来求解。解：过P点向AB作垂线，这样空白部分面积分成上面的三角形和下面的梯形，这样 阴影面积染个面积-空白面积=（正方形ABCD+半圆）一（三角形 +梯形）=（10 X 10+n X 5X5+2）

10、 -15X5 + 2+（5+15） X 5 + 2总 结:这种方法是小升初中最常用的方法，一定要学会这种处理思路。方法二:面积的“加减法”和“切割法”综合运用思 总:出现正方形，出现弧线时，注意两个考点：1.半叶形2。1/4圆，所以我们可以先把面积补上再减去补上的面积解：S1=正方形-1/4 圆=5X 5-1/4X n X 5X5上面阴影面积下面阴影面积所以阴影面积=三角形 APE-S1=15X 5- 2-5X 5-1/4X jt X 5X 5=三角形QPF-S2= =(15X5- 2-5 X 5-1/4 X X 5X5) + (10X5+2-5 X 5-1/4 X 式 X 5X5)=方法三:

11、面积的“切割法”思 路:出现正方形，出现弧线时，注意两个考点：1.半叶形2o 1/4圆，这样可以考虑把阴影面积切成几个我们会算的规则图形解：半叶形 S1=正方形-1/4圆=5X 5-1/4X兀X 5X5上面阴影面积 =三角形 ADP+S1=10X 5- 2+5X 51/4X X 5X 5下面阴影面积 =三角形 QPC+S2=5X5+2+5X 51/4XnX 5X 5阴影面积=(10X 5-2+5X 51/4 X 7t X 5X5) + (5X 5-2+5 X 51/4 X jt X 5X5)=12、()如图， ABCG是4X7的长方形，DEFG是2X 10的长方形，那么，三角形 BCM的 面积

12、与三角形DCM的面积之差是多少国16T方法一：思 路:公共部分的运用，这是小升初的常用方法，熟练找出公共部分是解题的关键。解：GC=7, GD=10 推出 HE=3;BC=4, DE=2阴影BCM面积-阴影MDE面积二(BCM面积+空白面积)-(MDE面积+空白面积 尸三角形BHE面 积-长方形 CDEH面积=3X6+2-3X2=3总 结:对于公共部分要大胆的进行处理，这样可以把原来无关的面积联系起来，达到解题的目的.拓 展:如图，已知圆的直径为 20,S1-S2=12，求BD的长度方法二:思 总:画阴影的两个三角形都是直角三角形，而 BC和DE均为已知的，所以关键问题在于求CM和DM .这两

13、条线段之和 CD的长是易求的，所以只要知道它们的长度比就可以了， 这恰好可以利用平行线 BC与DE截成的比例线段求得.解：GC=7, GD=10 知道 CD=3;BC=4,DE=2 知道 BC:DE=CM:DM所以 CM=2, MD=1。阴影面积差为:4X 2+ 2-1 X 2+2=3方法三:连接BDS S =SS =(3X 4 2X3) + 2=3.13. ()如图所示，在三角形 ABC中，DC= 3BD, DE= EA。若三角形 ABC的面积是1,则 阴影部分的面积是多少方法一：思 路:阴影面积是两个不在一起的图形，我们先要通过等量代换，把两个图形拼成一个整体解：连接FD,因为AE=DE,

14、所以S1=S3, S2=S4, S1+S2=S3+S4即三角形 AFC三角形FCD, 阴影面积等于S3+S4的面积。又因为DC=3BD,三角形FDC=3X三角形BDF,这样我们就可以设三角形DFB为1份，贝I三角形FDC=3份，三角形 AFC三角形FCD=3份，这样总共面积分成7份，所以阴影面积为 1 + 7X3=37方法一:阴/阳XI4 1+3小：-A/7）=3 叫*.阴=蜂=3*黄=琮 大二中血-州黄14、（）如图，在 ABC中，AD是AC的三分之一， AE是AB的四分之一，若 AAED的面积是2平方厘米，那么 ABC的面积是多大分析连结EC,如图，因为 AC= 3AD, AAED与AAE

15、C中AD, AC边上的高相同，所以 AAEC的 面积是AAED面积的3倍，即AAEC面积是6平方厘米，用同样方法可判断AABC的面积且AAEC面积的四倍，所以 AABC的面积是6X 24 （平方厘米）。165 （）从一块正方形木板锯下宽为一木的一个木条以后，剩下的面积ZE 平方木.问218锯下的木条面积是多少平方米【分析与解】 我们画出示意图（a）,则剩下的木块为图（b）,将4块剩下的木块如下拼成一个 正方形得到图（c）.to阳我们称AB为长，AD为宽，有长与宽的差为 1 ,所以图（c）中心的小正方形边长为 1 ,于是22大正方形AEHK的面积为65><4+1*1 = 529=_2

16、3 X23,所以AK长为4182 2 36666即 长+宽=生，已知：长-宽=1 ,得长=13 ,于是锯去部分的木条的面积为 62613x61 13=12 121一（平万米）.216、（）将三角形ABC的BA边延长如果三角形 ABC的面积等于1,那么三角形1倍到D; CB边延长2倍到E, AC边延长3倍到F, DEF的面积是。分析如图，连接CD、BF,则三角形ADC的面积=三角形ABC的面积 =1;三角形BDE的面积 = 三角形BCD的面积X 2 = （1 + 1） X 2 = 4;三角形CDF的面积 = 三角形 ADC的面积X 3=3;三角形BCF的面积 = 三角形 ABC的面积X 3=3;

17、三角形BEF的面积 = 三角形BCF的面积X 2 = 6;三角形DEF的面积 = 三角形ABC的面积+三角形ADC的面积+三角形BDE的面积+三角 形CDF的面积 +三角形BCF的面积 +三角形 BEF的面积 =1 + 1+4+3+3+6 = 18。17、 （）如图，已知AE= AC/5, CD=BC/4, BF= AB/6,那么 更 阻虫 等于二角形ABC的面积多少分析这道题与例34很相像，但不同的是没有一个现成的单位面积。要求出这样一个比例，要求我们自己开发一个单位面积。可不可以就用大三角形的面积做单位面积呢如图，连接AD,那么&CDE= S>aacdX 4/5 = &

18、;abcX 1/4 X 4/5 = SabcX 1/5同理，连接BE,那么&AEF= SaabeX 5/6 = SaabcX 1/5 X 5/6 = SabcX 1/6连接CF,那么三角形DEF的面积三角形ABC的面积SxBDF= SabcfX 3/4 = SaabcX 1/6 X 3/4 = &abcX 1/861=1 1/5 1/6 1/8=12018、（）如图，已知 D是BC中点，E是CD中点，F是AC中点。三角形 ABC由这6部分组成，其中比多6平方厘米。那么三角形 ABC的面积是多少分析仔细观察图形，我们可以发现和这两个三角形形状是一样的，并且EF是AACD的中位线，

19、也就是 EF: AD=1: 2。那么和底和高的比都是2: 1 （形状相同，高之比和底之比是一样的），面积比自然就是4: 1 了。与的面积比为 4: 1,并且相差6平方厘米，所以的面积=6+ （41） = 2 （平方厘米）的面积=2X4 = 8 （平方厘米）与的面积均为的二倍，的一半，即 4平方厘米；的面积为+，即 4 + 2 = 6 （平方厘米）的面积为+，即8+4+4+2+6=24 （平方厘米）大三角形的面积为的二倍，即24X 2=48 （平方厘米）。19、（）在八 ABC 中 BD: DC=2:1,AE: EC=1:3 求 BO: OE。分析:解法一，用按比例分配的方法，观察线段BE正好被

20、AD分成BO与OE两部分，求这两部分的比，可以 AD为底，B, E为顶点构造两个三角形，BAD与EAD,这样就可以面积比与线段比之间架一座桥。因为三角形BAD的三个顶点都在三角形 ABC的边上，因此把三 角形ABC的面积看作单位 “1”，就可以用2来表示ABD的面积，用AE的长占AC的1/4,31CD的长占CB的1/3, 一41 一=来表不AED的面积。12因为：SA ABD: SA AED=2： =8： 1,所以 BO: OE=8: 1。312解法二：这幅图形一看就感觉它是燕尾定理的基本图，但2个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步我们要连接OC,因为AE:EC=1:3 （彳）所以 S

21、A AOE/SA COE=1:3 若设 SA AOE=x，则 SA COE=3xSA AOC=4x,根据燕尾定理 SA AOB: SA AOC=BD: DC=2:1所以 SA AOB=8xBO: OE=SA AOB: SA AOE=8x: x=8:1。ABC中，C是直角，已知 AC=2, CD= 2,CB=3,AM=BM ,那么三角形 AMN （阴影部分）的面积是多少分析:可以连接NB,由燕尾定理及条件可知CAN: ABN = 2: 1,不妨设 ANM为1份，则ANB10为两份，CAN就是4份，CND也是4份，全图就是10份，阴影就占全图的CI) B21 ()在图中，直线 CF与平行四边形 A

22、BCD的AB边相交于E点，如果三角形 BEF的面积为6平方厘米，求三角形 ADE的面积是多少分析:连结AC,因为AB平彳C CD, AE是三角形 ADE, ACE的公共底边，所以三角形ADE与三角形ACE的面积相等。又因为 BC平行于AF, AF是三角形 AFC与三角形ABF的公共底边， 所以三角形ACF与三角形ABF的面积相等。从图中还可看出，三角形ACF的面积=三角形ACE的面积+三角形AEF的面积，三角形 ABF的面积=三角形 BEF的面积+三角形AEF 的面积。从上面两个等式可以得到三角形ACE的面积=三角形 BEF的面积，而三角形BEF的面积为6平方厘米，所以三角形 ACE的面积也为

23、6平方厘米，再由K据三角形 ADE与三 角形ACE的面积相等可得三角形ADE的面积为6平方厘米。所以三角形 ADE的面积为6平方厘米。22、()图中的四边形土地总面积为中2个小三角形的面积分别是6公顷和52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷分析工我们不妨把四个小三角形看成四个元素，而不是整体的一部分。如图，四个小三角形面积中，两个是我们已知的， 另两个未知。已知的两个三角形有共同的底边,所以它们的高之比就等于面积比6: 7;S1与S2同样有共同的底边，并且它们的高分别与面积为6和7的两个小三角形相同,也就是同样有 6: 7的关系。这样 S1:

24、 S2=6: 7;这样，原来的问题就变成一个和倍问题了。很容易知道S1=(52 67)+(6+7)X6=18 (公顷)S2=(52 67)+(6+7)X7=21 (公顷)这样四个三角形的面积分别为6、7、18、21,最大的一个为 211 一23、（）如图，在三角形ABC中，D为BC的中点，E为AB上的一点，且 BE= AB,已知3四边形 EDCA 的面积是 35, 求三角形 ABC 的面积 （06年清华附中入学测试题）BED 1 1 1”【解】根据定理： =，所以四边形 ACDE的面积就是6-1=5份，这样三角形 35ABC 2 3 6-5X 6=4224、（）四个完全一样的直角三角形和一个小

25、正方形拼成一个大正方（如图）如果小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，那麽直角三角形中，最短的直角边长度是 米.（06年实验中学入学测试题）【解】小正方形面积是 1平方米，大正方形面积是 5平方米，所以外边四个面积和是5-1=4,所以每个三角形的面积是1,这个图形是“玄形”，所以长直角边和短直角边差就是中间正方形的边长，所以求出短边长就是1。25、（）如图在长方形 ABCD中， ABE、AADF四边形 AECF的面积相等。 AEF的面积是长方形ABCD面积的（填几分之几）。（03年资源杯试题）【解】连接 AC,首先4 ABC和AADC的面积相等，ABE和AADF的面积相等，则 AEC

26、AAFC的面积也相等且等于 ABCD的1/6,不难得 AEC与 ABE的面积之比为 1/2,由于这两个三 角形同高，则 EC与BE之比为12,同理FC与DF之比也为1/2。从而 ECF相当于ABCD面积的 1/18,而四边形 AECF相当于 ABCD面积的1/3,从而答案为1/3-1/18=5/18。26、（）如图1, 一个长方形被切成 8块，其中三块的面积分别为12, 23, 32,则图中阴影部分的面积为（01年同方杯）【解】设图示两个三角形的面积分别为a和b,因为 AED面积等于ABCD的一半，则4 ABE加上 DEC的面积也等于 ABCD的一半。而 FDC的面积也等于 ABCD的一半，即

27、23+a+32+12+b=a+b+ 阴影面积，可见阴影面积 =23+32+12=67。FE27（*）右图中AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米.四边形ABDE的面积是 平方厘米.【解】：四边形AFDC的面积=三角形AFD+三角形 ADC = 1 x FDX AF)+( 1 X ACX CD)=(FE+ED222XAF+工(AB+BC)X CD= ( 1X FEX AF+1 X EDX AF)+ ( 1x ABX CD+1X BCX CD)。22222所以阴影面积=四边形 AFDC三角形 AFE-三角形 BCD= ( - X FEX AF+- X EDX AF) + ( 1

28、X AB222x CD+1 x BCX CD) -1 x FEX AF- xBCx CD=1x EDX AF+1 x ABXCD=-x 8X 7+- X3X222222212=28+18=463。三正古.糕长事息*，f、E优嗖L%七技柳，+.郡.弼, 加个弼书28、()如图，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A和B是两个正方形重叠部分，C, D, E是空出的部分，这些部分都是长方形，其中 4个的面积比是 A:B:C:D= 123:4。 那么这个长方形的长与宽之比是多少才4RA. FM'| 器常m 一门 eic：配 e hb. 5比-方，i占 m 不演!.!扣ItlMAr R-

29、C: Q-m 7 r 彳，JI. 4 -K胴电& ic-u. aP-Mil-Ai r-i 九新目*叹:K i+A K 6!fl i« l 耻 aK i *3方法:三个正方形一样大，下图中 阴线相等.黄线相等而枳肌匕=匕2,红线比=八2 Dt E=3i 4s b?绿线比W： 4* 5 SEABQZA.将C A所以，宽度比At Bt C： Di £=li 2t 3i 4)S 大K方平长S+l+3+2+1 &而枳比船C=l= 3, 富度此 C=lt 3,所以 A长二C 长二(1卜3$2)/2=3 A长方形宽=中3=9 大长方形的长工宽=16, 9 长：宽$ 329

30、. ()如图，长方形的面积是小于100的整数，它的内部有三个边长是整数的正方形，号正方形的边长是长方形长的5/12,号正方形的边长是长方形宽的1/8o那么，图中阴影部分的面积是多少方法一:从整除入手，我们可以推出长方形的面积只能是8X12=96,再入手就很简单可解：的面积就是5X5=25的面积是1X1=1最大的空白正方形面积=(8-1) X (8-1) =49阴影面积=96-49-25-1=2130、()图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米.问：阴影部分的面积是多 少平方厘米210 + mH30- 10【解】如下所示：将北部分成两个三角形，并标上字母【分析与解】 如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母， 并连接BG.设 AEG的面积为x,显然匕EBG ABFG AFCG的面积均为 x,则AABF1100的面积为3x, SABF 20 10 100即x ，那么正方形内空白