量子力学复习题答案与题解

1、量子力学复习题导致量子论产生的物理现象主要有哪些p2量子的概念是如何引进的p5为什么说爱因斯坦是量子论的主要创始人之一 p6写出德布罗意公式并说明其中各量的含义和该公式的意义。P12什么是波函数的几率解释p18态的迭加原理。P22动量算符的定义。P27写出单粒子薛定将方程。P27写出多粒子薛定谤方程。P28写出单粒子哈密顿算符及其本征值方程。P33什么条件下可以得到定态薛定谤方程p32什么是束博态p37什么情况下量子系统具有分立能级p37什么是基态p37写出线性谐振子的定态薛定诗方程。P39写出线性谐振子的能级表达式。P40写出波函数应满足的三个基本条件。P51写出算符的本征值方程并说明其中各

2、量的含义。P54量子力学中的力学量算符如何由经典力学中相应的力学量得出p55写出厄米算符的定义，并解释为什么量子力学中的力学量要用厄米算符来表示。P56写出轨道角动量算符的各分量表达式。P60什么是角量子数、磁量子数写出相应的本征值表达式及其数值关系。P63解：13丫如（仇9）=1（1+1）&%.34）£"（夕。）=访（。,。）其中/表征角动量的大小，称为闲量子数，m称为磁量子数。对应于一个/的值, ）可以取（2/+1）个值，从-/到+/。写出波尔半径的值和氢原子的电离能，可见光能否导致氢原子电离劭=0.52 A （ 3 分） =13.6eV （ 3 分）可见光的能

3、量不超过，这个值小于氯原子的电离能，所以不能引起氯原子电离。（4分）写出类氢原子体系的定态薛定谤方程。P65写出氢原子能级的表达式及其简并度。P68s, p, d, F态粒子是什么含义p63关于力学量与算符的关系的基本假定。P83写出力学量平均值的积分表达式。P84两个算符可对易的充要条件是什么p89写出X方向坐标与动量的不确定关系。P92什么是Q表象p108久期方程带来的好处是什么p113写出两个表象中的力学量和态矢量之间的变换公式。P117写出幺正变换的两个重要性质。P118应用微扰法的限制条件是什么p135写出用非简并微扰法解题的基本步骤。P136写出用变分法求解体系基态能量的基本步骤。

4、P145写出黄金规则公式，并解释其含义。P154什么是量子力学中的共振现象P157自旋角动量与其它力学量的根本差别是什么p197电子自旋的取值有何特点p196写出泡利矩阵。P202写出电子自旋算符各分量之间的对易关系（矢量形式和分量形式）。P198C-G系数是如何定义的其中各参数的含义是什么p209在角动量耦合问题中，ji和j2给定后，j的取值范围是什么p210写出全同性原理。P217什么是费米子什么是玻色子P220写出全同玻色子体系的波函数表达式，并说明其中各量的含义。P223什么是自旋单态和三重态P223根据能量算符和动量算符的定义及经典的能量一动量关系，“推导”单粒子薛定诗方程。P27推

5、导定态薛定谤方程。P32一个质量为m的粒子置于宽度为a的无限深势阱中:0V(X)=oC0<x<a其它OO求该系统的能量本征值。P34OO解:设系统波函数为叭心当时，薛定洋方程可以写为-二二¥(x) = E¥(x)2m。厂当xvO,x>。时，薛定诗方程可以写为力2 22-r T(x) + V(x)T(x) = ET(x)2m &-当V(x)>s时，根据系统波函数的有限性及系统能量的有限性，可得 平(外=0。令抬=坐，可将式化为力2空(幻+女”(幻=0 则方程的解可以写为T(x) = Asin kx + B cos kx由波函数的连续性可得Asi

6、nka =0Asin ka + B cos ka = 0即8 = 0由于当A = 0, 8 = 0时，系统波函数¥(x) = 0,与粒子的存在相矛盾，所以4 8不能同时为0,所以式的解为QO, sina=0,由此有(n = 0, ±1, ±2, ±3,)因为=0对应+(x) = 0,故舍去，。取负整数与取正整数的情况，系统状态完全一样,故只取正整数即可，小,4 m , l 一) 2mE因此k =,再结合K =二付, a"即系统能量本征值为2mE /3 = 方一 cr方2. 2%2E =-(不1, 2, 3, ) o2nur证明厄米算符的本征值是

7、实数。P56证明厄米算符属于不同本征值的两个本征函数彼此正交。P78 根据坐标算符和动量算符的定义证明：在X方向上两算符满足 £,» =清。P87证明：在Q表象中，0算符本身的表示矩阵是对角的。P110试推导非简并定态微扰理论中一级修正项所满足的方程。P131一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场作用，电场沿正x方向。用微扰法求体系定态能量的一级修正，用变量替换法求 能量修正。P137用变分法解氢原子基态问题时，哈密顿算符如何给出其中各量 是何含义尝试波函数如何选取p146写出乌伦贝克和哥德斯密特关于电子自旋的假设 P196(1)每个电子具有自旋角动量S ,它在空间任何方向上的

8、投影只能取两个数值:S. = 土一； 42(2)每个电子具有自旋磁矩它和自旋角动量S的关系是式中-e是电子的电荷，是电子的质量。在两个角动量耦合的问题中，什么是无耦合表象什么是耦合表象写出两种表象基央的关系式。P208写出全同费米子体系的波函数表达式，并由此给出泡利不相容原理。P223写出坐标表象下，产生、湮灭算符的表达式，并证明 此，=1。P125由坐标表象下的薛定诺方程推导Q表象下的薛定谤方程(分量形式和矩阵形式)。P113证明自旋算符满足：靠，£ = 0,其中(+因。pi98对泡利矩阵证明：(1)仇,舁=2汶；(2) 的本征值为±1,并 求出相应的归一化本征矢；(3)

9、"在2的两个本征态中的平均值皆为Oo P202答：泡利矩阵：b0 -/i 01 00 -1,(3 分)(1)=45-5巴0 10-/= 2/o0-1=2iq(3分)(2)= Au 即0 -1 b,由此得久期方程:1-200-1-2=A" 1 = 0 解得丸=±1（4 分）设平面波具有如下一般形式：J) = AeU其中4为常数，和 满足=耐/26。(1)试验证平面波满足自由粒子薛定谤方程。(2)解释为什么说平面波不能严格代表一个自由粒子。（1） i咚W"（一紧力） ct2m左边=a由2 k2法=访一加=必/仅一=.a/a 一加dt2m右边=2m2)Ae&q

10、uot;A)=(一匹)4胪1)/信)="1aM(a) 2/772m左边=右边(2)平面波不满足平方可积条件J y/r ,t)d r = J |A|6fr = oo上述积分的涵义是粒子存在的总几率，应当是有限值。所以平面波不能严格 代表一个自由粒子。 (a) Write the postu I ate for the relationship between an observable and the result of its measurement, (b) Suppose a system is at thesuperposition state of two energy eigenstates: i/) = cx (p) + c2 l(p2). Whatresult would be obtained when measuring the energy of the system (10 marks)解：(a) 一个可观察量可以用一个厄米算