1.2求导法则.ppt课件

1、返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 第二节第二节 函数的求导法则函数的求导法则返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分思路思路:xxfxxfxfx)()(lim)(0( 构造性定义构造性定义 )求导法则求导法则其它基本初等函其它基本初等函数求导公式数求导公式0 xcoslnxaa )(C )sin(x()xa 初等函数求导问题初等函数求导问题本节内容本节内容返回第二章第二章 一元函数微

2、分学一元函数微分学微积分微积分一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则定理定理1 1：:,)(),(则则可导可导在点在点若若xxvxu);()( )()()1(xvxuxvxu );()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu );( )()3(xuCxCu ).0)( )()()()()()()()4(2 xvxvxvxuxvxuxvxu返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分推论：推论：);()( )()()1(xvxuxvxu .)(2(wuvwvuvwuuvw ).0)( )()()(1)3(2 xvxvxvxv返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学

3、微积分微积分例例1 1、xxeyxxyxxxyxxyx 1cos)4( sin1cos)3(lncos)2( )1()1(3求导数：求导数：返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分问题：问题：.cotcsc)(csc ,tansec)(sec,csc)(cot ,sec)(tan:sin)(cos ,cos)(sin22xxxxxxxxxxxxxx 导导出出如如何何由由提示：提示：由四则运算法则推导。由四则运算法则推导。返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分二、反函数求导法则二、反函数求导法则定理定理2 2：.)(1)()(, 0)()(yxfIxfyyI

4、yxxy 且且上上亦亦单单调调可可导导在在相相应应区区间间其其反反函函数数则则上上单单调调可可导导且且在在区区间间若若由上述定理可导出反函数的导数。由上述定理可导出反函数的导数。返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分例例2 2、21(1)(log)(0,1);ln1(2)(arcsin ).1axaaxaxx 推导下列公式：推导下列公式：返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分 )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211x小结小结:22(sin )cos , (cos )sin:(tan )

5、sec, (cot )csc,(sec )sectan , (csc )csc cot .xxxxxxxxxxxxxx 由导出返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分 补：补： 双曲函数双曲函数 双曲正弦函数：双曲正弦函数：sin2xxeehx双曲余弦函数：双曲余弦函数：cos2xxeehx双曲正切函数：双曲正切函数：sintancoshxhxhx双曲余切函数：双曲余切函数：cossinhxcothxhx返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分y=sinhx与y=coshx的图象：y=sinhxy=coshxyxO1sin2xxeehxcos2xxeehx返

6、回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分 由双曲函数的定义，不难推出类似于三角函由双曲函数的定义，不难推出类似于三角函数的一些恒等式数的一些恒等式15页）：页）： (1) cosh2x-sinh2x=1 (2) sinh2x=2sinhxcoshx, cosh2x=cosh2x+sinh2x (3) sinh2x=(cosh2x-1)/2, cosh2x=(cosh2x+1)/2 (4)sin ()sincoscossinh xyhxhyhxhycos ()coscossinsinh xyhxhyhxhy返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分2 sinln(

7、1)arhxxx反双曲正弦函数2 cosln(1)arhxxx反双曲余弦函数返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分三、复合函数求导法则重点）三、复合函数求导法则重点）定理定理3 3：).()(,)(,)()(,)(xufuyydxdududydxdyxxfyxuuufyxxuxux 或或且且可可导导在在点点则则复复合合函函数数可可导导在在对对应应点点可可导导在在点点若若返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分例如例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键关键: 搞清复合函数结构搞清复合函数结构,

8、 由外向内逐层求导由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分例例3 3、22cos(1)sin (2)21(3)lntan (4)arctan21xyxyxxyyx求导数：求导数：返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分22(1)(sinh )cosh , (cosh )sinh ;11(2).(sinh ), (cosh );11xxxxarxarxxx类似可证类似可证返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分例例4 4、sinsincos(1)

9、(2)(cos )(sin )xxxyxyxx求幂指函数的导数：求幂指函数的导数：( )( )ln( )( )g xg xf xf xe返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分例例5 5、求抽象函数的导数：求抽象函数的导数：( )22(1),();(2) ,( )( ).xf xfyf eef gyfxgx可导非零可导返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分考虑考虑: 假设假设)(uf 存在存在 , 如何求如何求)cos(lnxef的导数的导数?xfdd)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf这两个记号含义不同这两个记号含义

10、不同返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分问题：问题：? )()(22有有何何区区别别和和 xfxf答案：答案：;)(22求求导导表表示示对对xxf . )(2求求导导表表示示对对xxf 返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数常数和基本初等函数的导数 )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaa

11、xln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctanx211x )cot(arcx211x返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分2. 有限次四则运算的求导法则有限次四则运算的求导法则 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C为常数为常数 )0( v3. 复合函数求导法则复合函数求导法则)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导, )(C0 )(sin xxcos )(ln xx1由定义证由定义证 ,说明说明: 最基本的公式最基本的公式uyd

12、dxudd其它公式其它公式用求导法则推出用求导法则推出.且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分例例7. 求求解解: :,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分例例8. 设设求求23211ln,42xyx.y返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分例例9. 设设解解: :1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求求.yaaxln),0( aaaxyxaaaxa返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分

13、例例10. 求求,1arctan2sin2xeyx.y关键关键: 搞清复合函数结构搞清复合函数结构 由外向内逐层求导由外向内逐层求导 不漏不重，适当化简不漏不重，适当化简返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分内容小结内容小结求导公式及求导法则求导公式及求导法则注意注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清复合函数结构搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导由外向内逐层求导 .返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分41143x1.xx1431x思考与练习思考与练习对吗对吗? ?2114341xx返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分2.

14、 设设, )()()(xaxxf其中其中)(x在在ax 因因)()()()(xaxxxf故故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正确解法正确解法:)(af 时时, 下列做法是否正确下列做法是否正确?在求在求处连续处连续,返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分2203. y=f,( )arctan(1),1xxdyfxxdxx已知求返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分4. 设设),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求求解解: 方法方法1 利用导数定义利用导数定义.0)0()(l

15、im)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求导公式利用求导公式.)(xf)(xx )99()2)(1(xxx)99()2)(1(xxx!99)0(f返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分练练 习习 题题)(cos)(sin)4( )(ln)(ln)3()29(9(2005()2( )()2()1(.,)(. 122xfxfyxfxfyxfffyxffyyxfx 求求可可导导设设返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分11lnarctan)8( arccos(7) arcsin22)6( 2)5(cossin)4(

16、 tan1sin)3(lnln)2( lgsin)1(. 2222222ln xxxxxnxeeeyxyaxaxaxyynxxyxxxyxxxxyxxey求下列函数的导数求下列函数的导数).(0 00 )1ln()(. 322xfxxxxfx 的的导导数数求求函函数数返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则第四节第四节 高阶导数高阶导数一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念)(tss 速度速度即即sv加速度加速度,ddtsv tvadd)dd

17、(ddtst即即)( sa引例：变速直线运动引例：变速直线运动返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分定义定义.若函数若函数)(xfy 的导数的导数)(xfy可导可导, ,或或,dd22xy即即)( yy或或)dd(dddd22xyxxy类似地类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数 ,1n阶导数的导数称为阶导数的导数称为 n 阶导数阶导数 ,y ,)4(y)(,ny或或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二阶导数的二阶导数 , 记作记作y )(xf 的导数为的导数为依次类推依次类推 ,分别记作分别记作则称则称返回第二章第二章 一元函数

18、微分学一元函数微分学微积分微积分设设,2210nnxaxaxaay求求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212 ayxa3232) 1(nnxann依次类推依次类推 ,nnany!)(233xa例例1.可得可得返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分考虑考虑: 设设, )(为任意常数xy ?)(ny( )()(1)(2)(1)nnxnx 问问特别地特别地 ，( )( )()!, ()0 ()nnmnxnxmn( )11( 1)!( )nnnnxx返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分nx)1 ( 例例2. 设设求求解解:特别有特别有:解解:! )

19、 1( n规定规定 0 ! = 1考虑考虑:,xaey .)(nyxanneay)(xnxee)()(例例3. 设设, )1(lnxy求求.)(ny)(ny1) 1(n, )1(lnxy)(nynxn)1 (! ) 1(返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分例例4. 设设,sinxy 求求.)(ny解解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地一般地 ,xxnsin()(sin)(类似可证类似可证:xxncos()(cos)()2n)2n返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分练

20、习：练习：( )(1) ( )arctan ,(0)1(2) ( ),( )nf xxff xfxaxb求；求；( )1(1)(0)2!(2)( ).()nnnnfn afxaxb ；=(-1)返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分例例5 . 设设bxeyxasin求为常数 , ),(ba.)(ny222)()(nnbay)arctan(ab)sin(nbxexa返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分例例6. 设设,3)(23xxxxf求使求使)0()(nf存在的最高存在的最高._n2阶数阶数返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分二、

21、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则都有都有 n 阶导数阶导数 , 那那么么)()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuC)(nuC(C为常数为常数)()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz) 公式公式)(xuu 及及)(xvv 设函数设函数vunn) 1(返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分间接法间接法 利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式( )11( 1)!( )nnnnxxnx)1 ( ! ) 1( n( )ln(1)nx1) 1(nxxnsin()(sin)(xxncos()(cos)()2n)2n返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分xy1211)()1 (!) 1(2nnnxnyxxxy11123,)1 (!1)(nxnynn求下列函数的求下列函数的 n 阶导数阶导数?xxy11) 1 (xxy1)2(3解解: 解解: 例例7. 返回第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学微积分微积分231