高阶方程的降阶技巧窍门

1、高阶方程的降阶技巧目录1 .高阶方程的引入及定义12 .几类常见的可降阶的高阶微分方程 2（一） y f （ x ） 型的微分方程2（二）yf（x, y） 型的微分方程3（三） yf （ y , y ）型的微分方程4（四）二阶方程的哥级数解53 .其他情况的高阶微分方程74 .总结1212-参考文献高阶方程的降阶技巧摘要:对于高阶方程的解法问题，降阶是普遍的求解方法，利用变换把高阶方程的求解问题化为较低阶的方程的求解问题。 对于不同高阶微分方程给出了相应的 降阶方法。关键词:线性微分方程，降阶，非零特解.高阶方程的引入及定义所谓阶，就是导数（或微分）的最高阶数.函数未知，但知道变量与函数的代数

2、关系式，便组成了代数方程，通过求解代数方程解出未知函数.同样，如果知道自变量，未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程， 通过求解微分方程求出未知函数自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程.而高阶微分方程，即阶数大于二或者等于二的方程.一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理问题 的基本原则是降阶，利用变换把高阶微分方程的求解问题化为较低阶的方程来求 解。因为一般来说，低阶微分方程的求解会比求高阶的微分方程方便些。 特别地， 对于二阶（变系数）齐次线性微分方程，如能知道它的一个非零特解，则可利用 降阶法求得与它线性无关的

3、另一个特解， 从而得到方程的通解，对于非齐次线性 微分方程，只需再运用常数变易法求出它的一个特解，问题也就解决了。因此， 问题的关键就在于寻找齐次线性微分方程的一个非零特解。一些相关定义如果方程F(x, y,dy ,Ldxdxn(1)的左端为y及曳,L ,4的一次有理整式。则称（1）为n阶线性微分方程.不是 dx dx线性方程的方程称为非线性微分方程如果函数y（x）代入方程（1）后，能使它变为恒等式.则称函数y （x）为方程(1)的解.我们把含有n个独立的任意常数Ci, C2 L Cn的解y(cCzL g)称为n阶方程(1)的通解.所谓n阶微分方程(1)的初值条件是指如下的n个条件: 当X X

4、0时,dy (1) dn 1y (n 1)y yo，dX y°，Lkyo这里Xo,yo,y01)L y0n1)是给定的n+i个常数初值条件有时写为/ 、dyd)y(x°) y°,工dn 1y(Xo)y(n 1)dxn 1求微分方程满足定解条件的解二.几类常见的可降阶的高阶微分方程二阶微分方程的求解：(一)y f (x)型的微分方程特点:等式右端不含y, y ,仅是x的函数.解法：将y作为新的未知函数，然后对原方程降阶，令z y y z,则有z f (x),方程两边同时积分得zf (x)dx g即yf (x) dx c1再积分得y f (x)dx dx gx c同理

5、对于yf(x)，令z y(n 1) zf(x)，积分得：y (n 1) f (x)dxc1则原方程变形为n-1阶，对其继续积分得y(n 2) f (x)dx c1dx c2则方程变为n-2阶,如此连续积分n次即得原方程的含有n个任意常数的通解.例1解三阶方程：ysin x cosx解:：等式两端同时积分y y dx (sin x cos x)dxcos x sin x ci再积分y y dx ( cosx sinx c1)dxsin x cosx c1x c2再积分y ydx ( sinx cosx c1x c2)dxci 2-cosx sinx x c2x c3这就是所给方程的通解.(2)

6、y f(x,y)型的微分方程特点:右端不含y.解法:降阶令y p y p代入原方程得：乎f(x, p)dx若f(x,p)为如下一些一些类型，可分别求得(2)降阶式的解.i.ii.dy dx dy dxp(x)yp(x)yiii.iv.q(x)通解：y c q(x)ep(x)dxp (x)dxdxeq(x)y,(n 0,i)通解:nC(1(方法两边同时除以dyydrg 7(i n) p(x)dxn)q(x)edx e(1n ) p(x)dxyn,将y n拿到dy中，即dy1ux，则最dxdu x u ,即求出u与x的 dx关系，再将u代回，即得答案.dydxai xa2 xbi yb2 yCiC

7、2若曳a?bib2bib2上求得的解为p分得(iy lxCiC2,则令气，则令C2解:u a2 xai x bi y a2x b2 ydy dx(x,Ci).回代x2) y2xyi, y lx o(iCiC2aix bi ya2x b2 yYg(7)Xdp dxdpp2pCi(ix )dyp /寸一 dx(x,Ci)dx(x,Ci)变量可分离的一阶方程，积C2,则方程变为：)dp dx2xp ,因为y lx odx3 , Ci 3 ,则3y x 3x C2,因为 y |x 0 1 ,C2 1,所以所求特解为：y x3 3x 1.(3) yf(y,y)型的微分方程特点:右端不含x.解法:降阶令y

8、 dydxdp.由复合函数求导法则得：dx dp dxdp dy pdpdy dx dy代入原方程得:dpP dyf (y, p)这是一个关于y,p的一阶方程，若以求得它的通解为y p (yc)变量可分离的一阶方程，积分得：i dy x C2 (y, ci)即原方程得通解.例 3 求 yy 2( y )2 y 满足 y(0)1, y (0)2 的特解解： 令y p ,则y p曲,则方程变为：dyypp2( p2 p)dy即y 2( p 1) (Q p y 0)dy分离变量得：一dp-dy，等式两端同时积分化简得p 1y2代入上式得C1p 1Gy2,即 y cy2 1,把 y 1 时，y则方程化

9、为分离变量得:积分得:dydxdy1dxarctan y x C2y tan( x c2)将y(0) 1代入解得C2,故原方程的特解为：y tan x(4) 二阶线性方程的哥级数解对带初值条件的二阶齐次线性方程d2y dy嬴 p(x)最 q(x)y 0,y(0) y0,y(0)y0这里X0 0 ,否则可引进新变量t x x0化为t° 0 .有如下定理i.定理 若方程中系数p(x),q(x)或xp(x), x2q(x)能展成收敛区间为x R的幕级数,则二阶齐次线性方程有收敛区间为R的幕级数特解这里为待定常数.ii . n阶贝塞尔方程anXnanxn 02 d2yx菽xdy(x2n2)y

10、 0(n为非负常数),有特解yi(i)kxk 0 k ! (n k 1)2y2(1)k0 k! ( n k 1)J n(X).n阶贝塞尔方程有通解y CiJn(x) C2J n(x)，其中G。为任意常数.Jn(x)(或J n(x)是由贝塞尔方程所定义的特殊函数，成为n(或-n)阶(第一类)贝塞尔函数.i1(s)的止义:当s 0时(s)0 x e dx；当s 0时且非整数 (s) -(s 1).0s(s)有性质：(s 1) s (s)；对正整数n,有 (n 1) n!般情况(1) /)f(x,y(),.,y( 1型的微分方程特点:不显含未知函数y及y ,.,(k 1)y解法:令y(k) z,则(

11、k 1)y(n) (n k)z , y zz(n k)f(x,z,.,z(n k 1)求得乙将y (k) z连续积分k次，可得通解.(2) y(n)f(y,y(k),.,y(n 1)型的微分方程特点:右端不显含自变量x.解法:设yp(y),则dpdydpyp -dydxdydpdy2 d 2 pP 2-dy代入原方程得到新函数p(y)的n-1阶方程，求得其解为:dy ,、，、p(y) (yc,., a i)dx原方程通解为：dyX Cn(y,Cl,Cn 1)(三)齐次方程特点：F (x,ty,ty ,., ty(n)k ( n) t F (x, y, y ,., y )解法：可通过变换yzdx

12、e 将其降阶,得新未知函数z(x).zdx2 zdxQ y ze , y (z z )e(n)y(z, z ,.,(n 1)、z )ezdx代入原方程并消去ek zdx得新函数z(x)的n-1阶方程f (x, z, z ,., z(n 1)0、一 22例4 求万程x yy (y xy)的通解.zdx解： 设y e ，代入原方程，得z21一一 .-z七，解得其通解为xx原方程得通解为1C1(-J2-) dxx x 2c2 xeC1x注：解二阶可降阶微分方程初值问题需注意： 一般情况，边解边定常数计算简便;遇到开平方时，要根据题意确定正负号三.其他情况的高阶微分方程N阶微分方程一般地可写为F (t

13、, x, x ',., x(n)0下面讨论几类特殊方程的降阶问题。i .方程不显含未知函数x,或更一般地，设方程不含X,X',.,X(k 1),即方程呈形状F(t,x(k),x(k 1),.,x(n)0,(1 k n)可降低k阶令yx(k)，方程降为y的n-k阶方程F(t,y,y',.,y(n k) 0.若求得上面所示方程的通解y(t,C1,C2，., Cn k),即x(k)(t,G,C2,.,Cn k),再经过k次积分得到x (t, c1 , C2 ,., Cn )其中C1,C2,.,Cn为任意常数.可以验证，这就是方程F(t,x,x',.,x(n) 0的通解

14、.例5解：求方程1 d 4xt dt 40的解.令亡：y ,则方程化为出dt 4dt、力八/日d4x方程积分后得y Ct,即丁dt0，即方程化为一阶方程Ct-J32-x C1tC2tC3tC4tC5其中Ci, C2, C3, C4 , C5为任意常数，这就是原方程的通解ii .不显含自变量t的方程F (x, x ,., x(n)0令y=x ',视x为新自变量，而视x为新自变量，则方程就可可降低一阶，事实上，在所作的假定下，x' y,x''dy出步y,.,2,2yy2W.采用数学归纳法可以证明，x(k)可用dy y,dx,k 1J出(kn).将这些表达式代入原式可

15、/日一 dy dn 1y行 F(x,y,£,.,h)0.iii .齐次线性微分方程dnx dtnai(t)dn 1xdtn 1an(t)x0.其求解问题归结为寻求方程的n个线性无关的特解，但如何求这些特接呢？没有普遍的方法可循.这是与常系数线性微分方程的极大差异之处.但是我们指出，如果 知道方程的一个非零特解，则利用变换，可将方程降低一阶；或更一般地，若知道方 程的k个无关的特解，则可通过一系列同类型的变换，使方程降低k阶.并且得到的 n-k阶方程也是齐次线性的.设xi,&,.,，是上述方程的k个线性无关解，显然xi不包等于0(i=1,2,k),令x xky,直接计算可得x&

16、#39;xky' xk'y,x'' xky'' 2xk'y' xjy,(n)(n)(n 1) n(n 1) (n 2)(n)xXkynxky2%yXk y, d ，一， dnxdn 1x,将这些关系式代入 二科d万二.an(t)x 0中，可得dtn dtnxky(n) nxk' a(t)xky(n 1).x【n)axkn 1). a/y 0,这是关于y的n阶方程，且各项系数是t的已知函数，而y的系数包等于零，因为xk是此方程的解.因此，如果引入新未知函数z y',并在xk0的区间上用xk除方程的各项，我们便得到形状

17、如Z”。严幻.b(n 2)(t)z' b(nl)(t)Z 0的n-1阶齐次线性微分方程.因有关系x xk zdt或z y' .因此，对于上述方程我们就知道它的 xkx：k-1个线性无关解Zi (i=1,2,，k-1).xk事实上，Z1,Z2,.,Zk1 是 z(n1) h(t)z(n2). b(n 2)(t)z' b(n1)(t)Z 0的解,假设这k-1个解之间存在关系式ax1a?x2ak 1xk 1akxk0,x1& 一xkx2a2 一 xkxk 1ak 1ak ,xk其中为也,.，2是常数，那么就有x1a1 一 xkx2a2xkx k 1a k 1a k ,

18、xkrna?x2.为1%1 为人由于Xi,X2，Xk线性无关,故必有a1 a2 . ak 0 .这就是说 4Z2,，Zk 1是线性无关的.因此，若对 Z(n1) b(t)z(n2) . b(n2)(t)z' b(n i)(t)z 0仿上做法，可进一步令 z Zki udt，则可将方程化为关于u的n-2阶齐次线性微分方程0,(n 2)(n 3)u G(t)u . Cn 2(t)u并且还知道方程此方程的k-2个线性无关解ZiZk 1i 1,2,k 2利用k个线性无关特解当中的一个解 Xk,可以把方程nn 1d xdxnra1 (t)n 1. an(t)xdtdt降低一阶成为n-1阶齐次线性微分方程Z(n1)b1(t)Z(n2).b(n 2)(t)Z' b(n 1)(t)Z 0并且知道它的k-1个线性无关解；而利用两个线性无关解Xk,Xk1,则又可以把方程,n.n1d xdx-n-a(t)-nT .an (t)x 0dtdt降低两阶，成为n-2阶齐次线性微分方程(n 2)(n 3)u G(t)u . Cn 2(t)u0,同时也知道了它的k-2个线性无关解.依此类推，继续上面的做法，若利用了方程的k个线性无关解X1,