高中数学最全必修一函数性质详解与知识点总结与题型详解

1、(经典)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分、函数的概念与表示1、映射：对映射定义的理解。判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映集合A,B是平面直角坐标系上的两个点集，给定从人8的映射七仅加叫人/刈,求象(5,2)的原象13 *已知集合A到集合B=0,1,2,3的映射f:x-xijjUM合A中的元素最多有几个？写出元素最多时的集合A.两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同1、下列各对函数中，相同的是X =2B、.(X) lg X , g(x) 2lg x f (X) Igf,、 R +5"D、f (x) =x, u) -,g(v)=1 u1 v2

2、、M x|0 x 2. Ny |0y寻给出下列四个图形,N的函数关系的有4 0个巾1个C、f 2个111二、函数的解析式与定义域函数解析式的七种求法+1-,()决 1)+3(-2、xX=)f (X) X其中能表示从集合M到集合D、1个二21待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。2、函数。构成函数概念的三要素定义域对应法则值域配凑法：已知复合函数的(刈的表达式，求的解析式，的(x)的表达式容易配成g(x)的运算形式 时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。例2已知f(x+ 丁亍+(XO尸，求f(x)的解析式2XX三、换元法：已知复合函数

3、fg(x)的表达式时，还可以用换元法求心)的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。广+=+广+例 3 已知 f(x1)x2x ,求 f (x1)四、代人法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。+2 x y g x例4已知：函数yx与()的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的解析式五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过1解方程组求得函数解析式。例5设f(x)满足f(x) 2枳)X 1例6设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f，试求f(x)和g(x)的解析式(X) g(x)X 1六、赋值法：当题中所给变量较

4、多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值, =4使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例7已知:f (0)1，对于任意实数x、y,等式f (x y) f(x) y(2x y D恒成立，求f(x)七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或+ 二 + 二 + 一者迭代等运算求得函数解析式。例8设f(x)是N上的函数，满足ffl) 1，对任意的自然数a,b都有f(a) f (b) f (a b) ab,求1、求函数定义域的主要依据：分式的分母不为零； 代产对数函数的真数必须大于零；指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于6-

5、(05江苏卷)函数丫 log (4xlx)的定义域为0.52求函数定义域的两个难点问题已知f(x)的定义域是12同求f(2x+3)的定义域。（2）已知f（N.的定义域是卜1,3,求“”的定义域的定义域为例2谕=二，贝j 一_） f （）-=、头yf、H2R一求f （义）的定义域。三、函数的值域1求函数值域的方法直接法：从自变量勺范围出发，推。（X）的取值范围，适合于简换元法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适一判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次匪的芬无分离常数:适合分子分母皆为一次式（X有范围限制时要画图）； 单调性法:利用函数的单调性求值域；图象

6、法:二次函数必画草图求其值域；利用对号函数几何意兴法，由数形结合厂转化距离等求值域里要是缶本酸2x 12x（直 接s+f （x） 2x3 %22242XX3.（换元法）4.（法）y5.3xC3x1 y<+ X4=+- >（2x4）7（单卑性）VI* X 一y)y 一一 S>J离常数法一18.7 X 1 X 19.(图象 /去)y32xx (1x2) 10 .(对勾函8数) 2x (X4)X”(几何意对yx2xiu四-函数的奇偶性1 定义2性质y=f(x)是偶函数尸的图象关于y轴对称y=f(x)是 奇函数y=f(x)的图象关于原点对称若函数”)的定义域关于原点对称剧=。要关于原

7、点对称3奇偶性的判断看定义域是否关于原点对称看f(x)与(X)的关系已知函数是定义在(一乂 +)上的偶函数.当x ( 一H寸,f(x)亍F,贝IJ当(0,时,f(x)已知定义域为R的函数f(x)2十是奇函数。求亦的值;X 1 a若对任意的t R,不等式f(t 2t)f(2tk)0恒成立，求k的取值范围十3已知f(x)在上有定义，且满足)，1 xy奇土奇奇偶土偶偶 奇X奇偶 偶X偶偶 奇X偶奇两函数的定义域D.,D2,7(A)(0,1)讦明：f(x)存(-仁彳)卜为奇湎数;4若奇函数f(x)(xR)满足”2)1 , f(X 2) f (x) f (2),贝 lj f (5)五、函数的单调性()】

8、(1、函数单调性的定义：2设yfgx是定义在M上的函数也/!)与g(x)的单调性相反，则yfgx上是减函数；若与g(x)的单谪性相同，则ysg=在/上是增函数。2例 函数f(x)对任意的R,都有f(m n)f (m) f (n) 1，并且当 x0 时,f(x) 1 ,证”在R上是譬数；4,解不等式2 a求5)23函数ylogo (6 x 2x )的单调增区间是1 )x 4a, x 14(|Sj考真题)已知f(x)上的减函数，那么a的取值范围是logs x,x 1(C)-：函数单调性的证明1 取值2,作差3. 定号 4,结论 =| - - I =二:函数单调性的判定，求单调区间7y =log=T

9、L2 (xQy0 X_+ 2x21 J y2x+1.r234ay x(a °)=+ >Xo)>f f(2)f (D:函数单调性的圃1比较大小例：如果函数< <.那么A、 f f(DfB、2f(x x b5F C对任意实数t)< <fC、 f f (4)都有f(l)2解不等式例：庭济在(-1.(苏制勺函数 心)是减髡:国满足：北少性/饮)+畸数&的取值范围例：餐定义在上的增函数，/«+/(八-3)v2求满足不等式/(x)=2(。-l)x即2的哼畀3 ,取值范围:函数r上是减函数，的取值范围是f(x)l(3a1)x 4alogaXA.

10、 (0,1)B.©)3=+24次函数最值例：探究函数f(x)x2是R王的减函数，那么了的取值范围是(1 1 1t 3ax + 1在区闸的最大值和最小值。例:探究函数f(x)例：已知函数f(x)的定义域是(0,)，当X1时，f(x)。，且 f(xy)(X) f(y)1的最大值和最小值。5抽象函数单调性判断2 XX2 1在区间+01如果f()3求fd),证明)在定义域上是增函数1,求满足不等式f(x)f(; >2的x的取值范围x2例:已知函数f(x)对于任意x,y电 总有f(x) + f(y)二日勺+ y),且当x>0时，f(x)vO,耳1)= 一求证:f(x)在R上是减函数

11、；求f(x)在.3,3上的最大值和最小值.Xi例:已知定义在区间+8 )上的函数f(x)满足f() = f(xj- f(X2),且当x>1时，f(x)vo.六函数的周期性:1 (定义)若f(x力Mx)(TO)Hfg是周期函数，T是它的一个周期。说明：nT也是f(x)的周 期(推广)若的)扣b什贝IJf(x)是周期函数，ba是它的一个周期对照记忆划丰(x8佩明:f(ax)(a=x)说明:2 若 f (x +) =f。)；(X t)=; f(X t)f(x)1z则f(x)周期是2a f(x)(D)2已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=.f(x),则,f的值为(A)-1(B)0(C

12、)1定义在R上的偶函数心)，满足f(2x) + f(2=x),在区间-2,0上单调递减，设一 b匚厂，贝IJIb,c的大小顺序为(15),(2).(5)1 -f(x)已知f(x)是定义在实数集上的函数，且f(x2)，若f(l) 23,则<1f(x)f (2005)= 4已知 财是(-,)上的奇函数，f(2 x)f (x),f(7昂X恒满足f(2当例11设f饿:玻君/£嫡韶(鹦任意实数x 0,2时2f(x)2xx求证：f(x)是周期函数；当X 2,4时，求f(x)的解析式;+oO计算:二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)> =2 mx2 + mx +=2、方程mx 21

13、0肴一根大于1另一根小于1则实根m的取值范围指数式与又寸数式1 -幕的有关概念二丰零指数幕a 1 (。)负整数指数幕a O.n(>6正分数指数幕_ 0, ,za _ a J m n An负分数指数幕 0, m,n) )( 。的正分数指数幕等于。,。的负分数指数幕没有意义-2有理数指数幕的性质 8r 8rr81 a a a a 0,r, s Q 2 aa a O,r,s3 ab3 根式t艮式的性质：当b叫做以1对数的概念:如果a N(a 0,a1)> >丰对数的性质：零与负数没有对数啕，1。 G对数的运算性质二logMN=logM+logN厂=i i=(Cha 03为底N的对数

14、，记log N(a O.a 1)4 .对数>D log a a 1log N对数换底公式：log a N(NO,a。且 m 1)log a对数的降幕公式：。. N 门loga N（N 0,a 。且 a 1）1 3(48bi(2)h)-8 Iglg5 ig 20-1)Y2 3125 ig0.1(1)0ig十.指数函数与对数函数对数函数1、指数函数y翔与对数函数y=iogax（a>0 , aH勺互为反函数名称 指数函数 一般形式 丫二寸（少。且&为）定义域(R 0?值域(0,+ H过定点(0,1)(3,+ °?.CX3F 为（1,0）指数函数与对数函数y=|og-0,

15、a7八）图象关于尸x对称图象I AA=logax (a>l)y=ax (0<a<lA壬 Q a>l)0单调性少1,在（令于上为增函数0vav1,在（-令°?上为减函姒a>1,在（0,+为上为增函数0vav1,在（0,+竽上为减函数值分布72.比较两个幕值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象:04 y3、研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4、指数函数与对数函数中的

16、绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的里调性是解决问题的重要途* 反口二工丁 w忌口 q女d工&1 ' （D y igfig（5 3x）的定义域为 ；的值域为(3)ylg(log2 +x2 x= +01-4）的递增回 ，值,+ ® _ 卜 8 >x 4X3、要使函数yia在x ,1 士y 0恒成立。求a的取值范围24.若尹+，VaX.2 2 <i<o（a>O且彳占），求y=2a2x-3ax+4的值域十函数的图象变换一（1）1、平移变换：（左+右-，上+下-）即f(x)f (X)左移yf(Xh)T=k 0 ,； k

17、0 ,下移T= 上移_yf(x)窈称变换：（丽底雀不变，亦称原点塞变）f(x)f(x)f(x)f ( x)x)x)(3 ) y=2 ixi ；IV-f (幼而原点V f( x)y f （ x）''轴右边不变，左边酋边部分的对称图f (X保留XX轴上方图,带下方图上翻f (X)fWtf做硕f酬）的瓦豳数的图象可卢2,y=|2x-i| ；)函数图像的变换函数图象及变规阐握几类基本的初等函数图像是学好本内容的题K基本函数一次函数、（2）二次函数、（3）反比例函数、（4）指数函数、（5）对数函数、（6）三角函数。2、图象的变换平移变换（左加右减函数y=f(x+2)的图象是把函数Ex)的图像沿由向左平移2个单位得到的；反之向右移2个单位函数y=f(x)-3(的图象是把函数尸f(x)的图像仔由向下平移3个单位得到的；反之向上移3个单位(2)对称函数y=f(x)与函数y=(x)的图象关于直线对称；函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于直线对称；函数y=f(x)与函数y(x)的图象关于坐标原点对称；如果函数尸f(x)对于一垛八都有f(x+a)=f(x-a)那么y=f(x)的图象关于直线对称。力口(x)与y=f(x)关于直线对称y=f(x)MQx|)、伸缩换y=af(x)(a>0)的图象，可将(x)的图象上的每一点的纵坐标伸长