广东省2021届高三一模数学试题(含答案解析)

1、启用前注意保密2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试(一)数学 2021.3本试卷共5页，22小题，满分150分°考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的市(县、区)、学校、班级、姓名、考场号、 座位号和考生号填写在答题卡上。将条形码横贴在每张答题卡右上知 “条形码粘贴处”。2 .作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目 选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答 案。答案不能答在试卷上。3 .非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各 题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写

2、 上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4 .考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。1 .已知集合 M二|x| -7<3x-l <2 , /V=)x|x + l>0i,则 =A. ( 2, +oo) B. (-1,1) C. ( oo, 1) D. ( -1, +oo)2 .若复数 z 满足(z-l)(l+i)=2-2i,则 |z| 二A.B. 7?C. 5D.63 .已知函数7 二。'的图象与函数y=/(幻的图象关于直线对称，

3、则/(2e) =A. 2e2B. 2eC. 1 + In 2D. 21n 24 .函数/(%) =cos2x+6cos传-矶0,或)的最大值为A. 4B. 5C. 6D, 75 .已知数列I aj的前项和，=2-1,则数列11。的4的前10项和等于A. 1023B. 55C. 45D. 356 .已知明。是两个正数，4是2"与16&的等比中项，则下列说法正确的是A. H的最小值是1泌的最大值是1C. -+J-的最小值是TD。；的最大值是第7 .算数书是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如 其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一该术相当于给出了由圆锥的底

4、面周长 L与高元计算其体积V的近似公式V =袅2h.用该术可求得圆周率n的近似值.现用该术求得7T的近似（归井计克得一个底而直径和岸线长相等的网维的表而积的 近似值为9,则该网锥体积的近似值为A 73B. 2 有C. 3AIX 38 .若卜、了-2）（.v”i）“a>0）的展开式中丁的系数为3,则“二A.B. yC.垃D.2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。9 .已知曲线C： - +三一=1 （"-1,且V -4）,则下列结论正确的是4+1741 +niA.若曲线C为椭

5、圆或双曲线，则其焦点坐标为（士力,0）B.若曲线C是椭网，则m> -IC.若且mH-4,则曲纹C是双曲线D.宜线h-y-k=0（keR）与曲线C恒有两个交点10 .已知/（口是定义在R上的奇函数，/6）的图象关于工=1对称，当文£（0,11时, /（r） = -r2+2x,则下列判断正确的是A. /（幻的值域为（0, 1B. /（口的周期为2C. /（五十】）是偶函数D. 42021）=111 .已知函数/（父）=cos工十Asin x.则下列说法正确的是I若函数/（Q的最小值为-6,贝IJ入=2B.若攵£（0, yj,则3A £（0, 1）使得/（x）=八

6、成立C,若入=3, Vxe 0,春都川/（，）-用<1成立，则5£（1,2）D,若用数在（0,用上存在最大值，则正实数人的取值范围是（0,回12.数学家华罗庆曾说：“数缺形时少直观，形少数时难人徽.”事实上很多代数问 题可以转化为儿何问题加以解决例如，与/（k+ （） 一尸相关的代数问题, 可以转化为点手）与点火”,b）之间的距庙的儿何问题结合上述观点，对于函 数/（X）=44+?，JE -4/ +5,下列结论正确的是A. /（r） =6 无解, 6吁B.我了）=6的解为h=士亍C. /（*）的最小值为2旺D. /（口的最大值为2 6数学模拟测试（一）笫2贞（共5页）三、填空题

7、：本题共4小题，每小题5分，共20分。13 .已知"S 且 |。"|=2,则 |。+2川=.14 .某圆形广场外国才;12盏灯，如右图所示，为了节能每天晚上12时 万。、 关掉其中4盏灯，则恰好每间隔2盏灯关掉I盏的概率是- 7；15 .斜率为丘的宜线过抛物线C： /=2/,v （P>0）的焦点，且与C交于 b iA, ©两点，若A*=3",贝ij = , AOB （。为坐标原点）的面积为（本小题第一空2分，第二空3分）16 .在四面体 ABC。中,AB=AC = BC=AD = CD=2,二而角 一/C -。为120。，则四 而体,，I8CO的外

8、接球的表而积为.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 . （10 分）记X为数列的前项和，已知勺=1, .（1）求数列的通项公式;（2）若b1t =（2/_）：；:"_1），设数列"J的前项和为北，证明：VneN Tn<j-.从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对题目进行求解.条件：Sn=nan -n2 + n, n g N, ；条件:nSn>1 = （n + 1 ）Sn + n2 + n, n eN* ；条件：冏；=冏+1, nN注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.（12 分）在4

9、/C 中，角 /I, B, C 的对边分别是（I, b, cy 已知 a sin /! +a sin C - cos B + b sin C - cos A = b sin +c 9 sin /1.（1）求角的大小；若A =3新，c=3后点满足而二番行+ 1元，求48。的面税19. (12 分)如图，在四棱锥/，-加中，平而外/以平而川过。，比/1。，乙BAD =90。, PA =/ID =2/18=4*4, PC=历.(1)证明:PA«L 平面 ABCO；(2)线段/3上是否存在一点加，使得a/。与平面所成角的正弦值为噌1 若存在，请求出喘的值；若不存在，请说明理由.20. (12

10、 分)已知椭圆c：5+* = 1(。>>0)的离心率为:，过椭圆C右焦点并垂直于x轴 a bz的直线PM交椭圆C于P, M (点。位于工轴上方)两点，且。尸M (。为坐标原点)的面积为去(1)求椭圆C的标准方程；(2)若宜线，交椭圆C于4B (/I, 8异于点尸)两点，且直线P5与P8的斜率之积为-/，求点尸到直线/距离的最大值.21. (12 分)已知函数/(4)=hl X - ax + 1 (a 6 R).(1)讨论函数/(#)的零点个数；(2)设修，不是函数/(.1)的两个零点，证明：4+叼+2.”">0.22（12分）在新冠肺炎疫情肆虐之初，作为重要防控物资

11、之一的口求是医务人员和人民群众 抗击疫情的武器与保障，为了打赢疫情防控阻击战，我国企业依饭白身强大的科 研能力，果断转产口行研制新型全自动高速口足生产机，“争分夺秒、保质保GT 成为口罩生产线上的重要标语.（I）在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水线布四道匚序，前三道工序完 成成品口罩的生产且互不影响，第四道是检测工序，包括红外线自动检测与人工 抽检.已知批次I的成品口里生产中，前三道工序的次品率分别为小二A，"2 二 J J1 134' =33-求批次I成品口罩的次品率小.第四道工序中红外线自动检测为次品的口罩会被自动淘汰，合格的口里进入流 水线并由工人进行抽查检脸.已

12、知批次I的成品口率红外线自动检测显示合格率 为92%,求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个口罩恰为合格品的概率（百 分号前保留两位小数）.n ( ad - be)2（2）已知某批次成品口罩的次品率为p（O<p<l）,设100个成品口罩中恰有1个 不合格品的概率为3（P）,记Mp）的最大值点为Po,改进生产线后批次J的口罩的 次品率pj=p0.某医院获得批次I , J的口罩捐赠并分发给该院医务人员使用.经 统计，正常佩戴使用这两个批次的口罩期间，该院医务人员核酸检测情况如下面 条形图所示，求P。,并判断是否有99. 9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病P (K2k)0. 0500

13、.0100.(X)50. ()()1A3.8416. 6357. 8791(). 828(a+)(c+d) (+c) (6+d)数学模拟测试（一）第5页（共5页）启用前注意保密2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（一）数学参考答案评分标准：1 .本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2 .对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应 得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3 .解答

14、右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.题号工2345678答案ADCBCBAC二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（全部选对的得5分，部分选对的 得2分，有选错的得。分）题号9101112答案ABCDCl)BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（第15题第一空2分，第二空 3分）13. 14.看 15.衣;4 16.等四、解答题：本题共6小题，共70分.17. （10 分）（1）解：选条件，因为S”吟-川+八， 所以 S,一 二（ 1 ）%_（ 1尸+ （n2）.1 分所以一，得 a” =册 一（ - 1

15、）册_1 -2 + 1 + 1 , g|J aK -a_1 =2（n2）. 3分 所以 Q是以2为公差的等差数列.所以 *=1 +5 -1） x2=2n-l（n eN*）. 5 分S S S S选条件，因为=（ + 1）5.+2+八，所以= 1.所以是以1为公差的等差数列，又$=3=1, 2分s所以彳=1 +("1) X1 =，所以 S“=/ 5eN) 3 分所以 * =S“ -S“_ =/-(八-I /二2九-I (八三2). 4 分当 =1时，% = I符合上式,所以an = 2zt - 1 (/?. e N4 ). 5分选条件，因为阀=庖+1,所以后；-后二1 分所以1冏是以1

16、为公差的等差数列.又冏=历=1, 2分所以/品=1+(-1) xl=n.所以 Sa二2. 3 分所以 an =S-Sn_ =n2 - (/i - 1 )2 =2；i - 1 (n2). 4 分当 =1时，%=1符合上式，所以。“=2-l(wN"). 5分(22/1 -1)(2)证明:由知 4=2n-l("eN*),所以九6分7分8分9分4n 二(4"-1) (4田 -1)-4”“ - 1所以乙=卜(卜目+/*(卷-匐+9(昌一齐匕)1/1111I 1= TX(T-!?+ 15 -63+，+4''4,+, -1/ =yx(y-4»+J_J

17、10分18. (12 分)解:(1)法一：因为 a sin A + q sin C cos B + b sin C cos A = b sin B + c siii A, 所以根据正弦定理,得 sin2A + sin A sin C cos B + sin B sin C cos A = sin2 B + sin A sin C. I分所以sinF + sin C(sin A cos B + sin B , cos A) = sin25 + sin A sin C.所以sin" + sin C siii(A + B) =siii2B + sin A sin C.所以sin24 + s

18、in2C = sin2/? + sin A - sin C. 2 分根据正弦定理，得£ + J =配+ ac,即cJ + J - / = ac. 3分根据余弦定理，得c。""#二嗔卢二4. 4分2ac 2ac 2因为8w(0, ir),所以B=多 5分法二：因为 a sin A + a sin C cos B + 1) sin C cos 4 = 6 sin £? + c sin A,所以根据正弦定理，不等+ae cos B + be cos A =b2 + ac. 1分根据余弦定理，得j + ac贵4/二:+桃匕+ 3 = / + QC. 2分2ac2

19、bc即 a2 + c - b2 = ac. 3 分根据余弦定理，得cos 3二乙户田二等二J. 4分Zac Zac 2因为8c(0,宣)，所以8=*. 5分(2)由余弦定理,得V =已2+c?-2 cos B.所以 54=cJ + 18-3V5«,即。2-3代-36=0. 7 分所以(q-6而(q+34) =0.因为a>0,所以q=6泛 8分因为说二产-茄=|存+/斤-港q立建q(斤-懑)=/记，所以乃 1()分所以48。的面积为与止 8。sinS=)x3"、2a§=3凉12分乙乙乙19. (12 分)(1)证明：因为乙网。=90°,所以 因为平面

20、PAB1平面ABCD,平面尸/18C平面AECO=/1B, ztU 平面 ABCD,所以40平面018.所以z40_LP4 2分因为乙HW=90。，BC/AD, 所以乙48C=90。.在 Rt AARC 中，AC = VAB2 + BC2 =杼，因为 PA =4, PC =，所以 PA2 +4C2 =PC：所以P4_MC. 4分因为4CU平面,4BC。，/WU平面 "C。，ACQAD=A, 所以/M_L平面ABC" 5分(2)解：以A为原点，以/4，/山，AP所在直线分 别为4力 z轴建立空间直角坐标系人专z,如图所 示，贝|4(0, 0, 0), B(2, 0, 0),

21、C(2, 1, 0),0(0, 4, 0), P(0, 0, 4).一隹M(q, 0, 0)(«g 0, 2),所以河=(2, 1, -4), MC= (2-a, 1, 0),CD= ( -2, 3, 0). 7分设平面PCD的法向量为=%,数学模拟测试(一)参考答案 第3页(共7页)所以 二（2, 1 , -4） （孙， ,向）=2与 +% -44=0, n = （ 一2, 3, 0） （町，力，苞）=一2阳 +3% =0.令 =2,得=3, Z=2.所以 二（3, 2, 2）.所以| cos <祝， > | n |8-3a|_/n帚 ll = /17 .=P9分10分

22、数学模拟测试(一)参考答案 第7页(共7页)化简，得4a24 + 1=0,解得 11分所以存在点M,使得肘C与平而PCD所成角的正弦值为喑与12分此时瑞的值为上 20. （12 分）解：_c_ = j_a 2=2,（1）由题意可得12b3,解得2a2 L = l.Ji = b,+ J ,所以椭圆c的标准方程为? + ? = 1* J（2）设点4（阳，力），5（物，）,由 易求得P（l, y）.当直线I的斜率不存在时，设其方程为“ = %。（ -2V沏 2且H1）,产二汽0 , 联立QlT+3所以及日 kpR解得或3=1 （舍），此时点尸到直线/的距离为;. 乙乙当宜线/的斜率存在时，设其方程为

23、歹=" + "?,y = H + Hi,联立 2 消去y并整理得（3+4必）£+8加江+4/-12=0.彳+于口，Q = （8痴尸 一4（3+4长）（4/-12）0, 则8km4m2 -12 8 分x. +x7 = 7, X. =丁.123+4必123+4/33y. -y 72-y 9/3 /3 9所以心77二一了，叫"5）卜一万卜一了（阳T）.町必+所以(上T2 + m -y) = _*(与-1)(出一)+卜。整理得 2r +4m2 -3m + 6Aw -a10分 (2k +4m +3) =0,所以 k +m - =0 或26 +4? +3 =0.乙若

24、人加-录=0,则直线/的方程为=-1).所以宜线/过定点N0, y),不合题意.若2+46+3=0,则直线/的方程为y + 1 = 4卜一次)，所以直线2过定点ILV (LV又因为3” 兀所以点。在椭圆。内设点P到直线/的距离为d,所以二世二(1-3+仁-(-却2二季/.所以点P到直线2距离的最大值为乎. 12分 21. (12 分)(1)解：由题知函数/(%)的定义域为(0, +8),/，()=!-“=上丝. XX1分 当 a =0 时，则/'(“)=ln % + I , /(4)有唯一零点 e"'. 当。0时，贝。在(0, +8)上恒成立，所以/(%)在(。，+8

25、)上是增函 数，又/(eT)=-碇70,/(/7)=a(l-e)0,故三町 s (e1, e"'), 使得/(町)=0, 此时/(%)有唯一零点町.2分当。0时，则当0式十时/0,所以/在(0, J上单调递增；当力 :时/'(")0,所以/(“)在(；，+8)上单调递减.所以/2二/(十)二小).3分当。=1时，/臼 =/(1)=】1 =0,所以/有唯一零点1.当a > 1时,(十)=加 <0, >欠)无零点.当 0 <a < 1 时，/ (%)IIWX >。且/'( e" ) = - ae' &

26、lt;0,故三如 £ (，十卜 使得/(札)二。/(4) =ln4-£- + l =hi4- -=21n -, a" / a" aa a a a?令晨)=21n%-«,贝!Jg'=一一1.X因为当0<%<2时,/>0,当力2时，g'<0,所以以久)在(0,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减.所以 g(#)M=g(2) =21n2-2<0.所以 21n x % < 0.故三叼£(/,点)，使得/(%3)=。所以当0 <a < 1时，/(")有两个零点.综上，

27、当"W0或时，/(%)有唯一零点；当0<。<1时，/(%)有两个零点； 当时，/(% )无零点.5分(2)证明：令人(%)=ln由(1)可知0<a<l, h Mnm =/i(e) =0,e 111?所以A(欠)W0,所以所以所以-2elnaW上. 7分ea aea令Q :1所以 q，(K 与0,% +1x (x + ) x(% + y所以。()在(1, +8)上单调递增.所以 Q(x) >。(1)= 0.所以。笈2(% 1)>0 即 In % >2(-1). 9 分X + 1汇 + 1In Xi - axx +1=0,Xi又犯，久2是函数/(")的两个零点，所以 两式相减，得In工二In x2 - a2