结构动力学习题解答

1、第一章单自由度系统总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。1、牛顿第二定律法适用范围：所有的单自由度系统的振动。解题步骤：(1)对系统进行受力分析，得到系统所受的合力；(2)利用牛顿第二定律 mx F ,得到系统的运动微分方程；(3)求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。2、 动量距定理法适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。解题步骤：(1)对系统进行受力分析和动量距分析；(2)利用动量距定理 J M ,得到系统的运动微分方程；(3)求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的

2、固有频率。3、拉格朗日方程法：适用范围：所有的单自由度系统的振动。解题步骤：(1)设系统的广义坐标为，写出系统对于坐标的动能T和势能U的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ;(2)由格朗日方程 一(一L) =0,得到系统的运动微分方程；dt(3)求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。4、 能量守恒定理法适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。解题步骤：(1)对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T和势能U的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式T+U=Const(2)将能量守恒定理 T+U=Const对时间求导得零，即d(T U)

3、 0,进一步得到系dt统的运动微分方程；(3)求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。方法一：衰减曲线法。求解步骤：(1)利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值Ai、Ai 1 oA 、(2)由对数最减率定义ln()，进一步推导有A 1因为较小，所以有O2方法二：共振法求单自由度系统的阻尼比。(1)通过实验，绘出系统的幅频曲线，如下图：单自由度系统的幅频曲线(2)分析以上幅频曲线图，得到：1,2max / . 2于是(1 2(1 2进一步

4、最后1 /2 n/2叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法有两个：幅频(相频)曲线法和功率法。方法一：幅频(相频)曲线法当单自由度系统在正弦激励F0 sin t作用下其稳态响应为:x Asin( t ),其中：A F0xst-22/ 22：- 2/ 2 2m. n o 4n. 14arctan 2 /1(2)从实验所得的幅频曲线和相频曲线图上查的相关差数，由上述(1), (2)式求得阻尼比方法二：功率法:(1) 单自由度系统在F0 sin t作用下的振动过程中，在一个周期内,弹性力作功为Wc0、阻尼力做功为WdcA2激振力做作功为WfF

5、6;sin ；(2)由机械能守恒定理得，弹性力、阻尼力和激振力在一个周期内所作功为零,即:Wc+Wd+Wf0；FosincA2进一步得:k2kiA F0 sin c时，sin i,Amaxxst - 2max 12 ,求图i-35中标出参数的系统的固有频率。(i)此系统相当于两个弹簧串联，弹簧刚度为48EI3，L348EIkz 348EI kil 3kil3 48EIml348EIl 348 EIki3EI了ki3EIl3kikii-ml2kikiki2m解：以为广义坐标,系统的动能为TT重物T轮子i2(m)i P一(一)2 2gR2)Px4gP 2 一 x 2g系统的势能能为：U重物U弹簧拉

6、格朗日函数为由拉格朗日方程一(-L)dt xki、简支梁k；m2 max 0L2k ki48Ekmki- 2mP 2x4gi 2Px kx22L=T-U ;kJ3 3EIml3m° F I0X则,所以：系统的固有频率为T平动T转动而势能系统机械能x kx 0 g求图1-35所示系统的固有频率。解：磁子作平面运动，其动能T=T平动+T转动。2M&2由包T U 0得系统运动微分方程 dt得系统的固有频率1 Mx2求图1-36所示齿轮系统的固有频率。E,半彳仝为rB,杆AC的扭转刚度为解：由齿轮转速之间的关系系统的动能为:TTa TbMR21 Mx43 Mx4-Kx2 23 -Mx

7、43 -Mx2Kx 0；n端；已知齿轮A的质量为m.,半径为aKa,杆BD的扭转刚度为Kb,Ar abb得角速度齿轮B的质量为2JBb ' a ;转角BaB - A ；B21mAA21 A222mBB2mAmB rA图 1-36系统的势能为:KaKbKaKbKa2AKb噢B系统的机械能为1 mA4mBKaKb2A-2B由qT Udt得系统运动微分方程2 mB rA A2AB 2B因此系统的固有频率为:2A2 Ka Kb 2B2mAmB a2 A2 Ka Kb2 BmA mB已知图13 7所示振动系统中，匀质杆长为K,阻尼系数为C,求当初始条件(1)(2f (t) F sin tf(t)

8、(t)t的稳态解; 的解；L,质量为m,两弹簧刚度皆为Cr2 mdr'dmL2L2f(t)L2l L 2mL212mL2_ 23CL226 KL6Lf (t)3C 6Kf(t)F sin3C6KF sin t mL2n3C m ;6K 6F; h ;m mL2n2n h sin tx Asin(6F2n3Cactg -22 actg 2n22 6K m 2f(t) (t)f(t)2 24nL 6K9C2 2(t)-67 (t) mL3C6K2n3C26K -6一； n；hmmmL00000d th (t)d th (t)d t h000ntahxAe sind tAA；m d12 mg

9、H -mVo V。 ，2gH V。 , 2gHntx Ae sin d tA2no0；mx Cxn x0d2gHx sin d tdmy k(y y) c(y y1)C my cy kykyi cyiy hsin(at)my cy ky achcos(at) khsin(at)y Asin( t a) A,22kc22、2m )acr tan(k(k3mc_ ,22-)电磁激振m ) cm k、c的弹簧振子上的稳态响应。力可写为F(t) Hsin2 0t,求将其作用在参数为解：首先将此激振力按照傅里叶级数展开:a0F (t) (ai cos(i t) bi sin(i t)2 i i其中：ai

10、2 tT 0 F(t)cos(i t)dt；2 Tbi下 0 F(t)sin(i t)dt2 ，、因为F(t) H sin ( 0t)是偶函数，所以bi0。F(t)H3 cos(2 0t)x(t)出2kAsin(2 0t a /2)；式中H2m,(n2 4 02) 16n2a arctan2n.若流体的阻尼力可写为Fd, n2m mbx3,求其等效粘性阻尼。解：(1)流体的阻尼力为Fdbx3 ;(2)设位移为 x Acos( t )，而 dx xd t ;(3)流体的阻尼力的元功为dWdFd dx( bx3xdt);(4)流体的阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为：43W ：Fddx : b

11、x dx bx dt b Acos( t a) dt - b A 42(5)粘性阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为：cA2(6)等效粘性阻尼：取n,令 3b n3A4nceqA24q可得：ceqb n2A24第二章两个自由度系统求如图2-11所示系统的固有频率和固有振型，并画出振型。解：(1)系统的振动微分方程mx1kx1k(x1 x2);mx2k(x2 xi) kx2;mx12 kxi kx20;XX/图 2-11mx2kx1 2 kx2(1)(3)(4)(1 )系统的频率方程列式等于零，即：若系统振动，则方程有非零解，那么方程组的系数行(2)系统的特征方程根据微分方程理论，设方程组(1

12、)的解为:x1 A1 sin( t ) ; x2A2 sin( t )将表达式(2)代入方程组(1)得：广.2 . .一 .一一 一一.(mA1 2kAi kA2)sin( t) 02k m . .一 .一L ( m A2 kAi 2kA2) sin( t) 0 k20展开得k 2k m 2(5)m2 即2k m 2 kA10k 2k m 2 A20 ' 4mk 2 3k20 ；系统的固有频率为：1 K / m ；2 J3K / m ;(6)(2)系统的固有振型将1,2代入系统的特征方程(4)式中的任一式，得系统的固有振型，即各阶振幅比为:1A1 ,1A1(2)1 ;(1)(2)(2)

13、A2A2(3 ) 系统的主振动系统的第一主振动为x1Asin(11x21)A21)sin(1t系统的第一主振动为(2)(2)x1A1sin( 21.x2A2sin( 211)A|(1) sin(. t 1);, m1)(1)A1(1)sin(J-t 1):m1)A1 sin(, 3kt 1)；m(2) 3k1)( )Ai sin(yt 1)确定图2-12所示系统的固有频率和固有振型。解：(1)系统的动能(3)系统的Lagrange 函数2 12 K 22、LTV mu1 - mu2 一 (5u1 2u1u2 u2)24(4)系统的运动微分方程d由Lagrange方程 一0 j i,2 可得d

14、tUjUj丁5Kc2 2mui - Kui U2 0 ；22KKmu 2 Kui U2 0 ;22即5K K2mui22ui0m u2K Ku2022(4)系统的特征方程设系统的运动微分方程的解为uiAi sin( t ) ,U2 A2 sin( t )代入系统的运动微分方程得系统的特征方程2m之K A A222K2KAKAimA222252m -K2K.万AiA2(7)系统的频率方程系统的特征方程有非零解得充分必要条件是其系数行列式为零2m 422 4m2 4 7 Km 2K20解得 5K2(5) 系统的固有振型系统的固有振型将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得A(i)砂Ai(

15、2)°.28；力A2(8)系统的主振动K 2UiA sin( 11.u21)A(1)sin( 11-u1(2)A1(2) sin( 1 t. u22)A22) sin( 1 t1)1)1)1)A1 sin(0.6,kt 1); m0.28A(1) sin(0.6, kt 1) , mA1(2) sin(1.18| k t 1); .m(2)k1.67A sin(1.18. t1. m一均质细杆在其端点由两个线性弹簧支撑(图 2-13),杆的质量为 m,两弹簧的刚度分别为2K 和 Ko(1)写出用杆端铅直位移 u1和u2表示的运动方程;u1 C m(2)写出它的两个固有频率；(3)画出

16、它的两个固有振型；解：(1)均质杆的运动微分方程以均质杆的静平衡位置为坐标原点，均质杆的质心C的位移为1 uC 2u1u2；2KKu2均质杆绕质心C的转角为sin1 u2 uLU2图 2-13mucK(2u1均质杆的运动微分方程m(u1 u2)2K (2u1 u2)；m u1 u2 6K 2u1 u2 ；(2)系统的特征方程设运动微分方程(1)的解为u1Ku1L立)；KLU2 ；m(u1 u2)22mL u1 u212 LK(2u1Ku1 LKL2 u22A1A1 mmu24Ku12Ku2mu212Ku16Ku2)、u2A2 sin( t4KA12KA20；12KA16KA20；mu1mu1A

17、1 sin( t)0；0；m 2 A2 2A2(1)代入方程(1)4K m 4 .一 2 .一 2m 12Km 24K0解得系统的两个固有频率 2K m 2 Am 2 12K 6K m 2 A2(4)系统的频率方程系统的特征方程有非零解得充分必要条件是其系数行列式为零24K m 2 2K m2m 12K 6K m(5)系统的固有振型11.612 ; 2 3.066;将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得系统的两阶固有振型3767(8)系统的两阶主振动- u1(1)A1 sin( 1 t-u21)Af) sin( 1 t- u1(2)A1(2) sin( 11- ug2)Ag2) s

18、in( 111)1)1)1)A1 sin(1.612t1);2.33A(1) sin(1.612tA1(2) sin(3.066t1);1.81A(2) sin(3.066t确定图2-14所示系统的固有频率和固有振型，并画出固有振型。2mu12K(U2U1) ;即' mu22K(U2u1);2mu12Ku12Ku20 ;mu22KKu 12KU20解：(1)系统运动微分方程2k(1)u1u2图 2-14(2)系统特征方程设运动微分方程(1)的解为u1A1 sin( t )和代入方程(1)u2 A2 sin( t ),L 2K m 2 A1 KA20; 2 _2KA12K mA2 0;K

19、 m 2 K A102K2K m 2 A20(3)系统频率方程系统的特征方程有非零解得充分必要条件是其系数行列式为零20；K m 2 K2K 2K m m 4 3K 2 0解得3K1 0 ; 2 ; :m(4)系统的固有振型将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得系统的两阶固有振型Ai1 A1 1 ,(1)(1);(2)(2)a2A2+1+1+1-1/2图2-15所示的均质细杆悬挂成一摆，杆的质量为 有频率和固有振型。解：(1)求均质细杆质心的坐标和质心的速度m,长为L,悬线长为L/2 ,求该系统的固xcL sin 1 sin22 ,ycLcos 21 cos 2xc(2)L1 co

20、s 2求系统的2 COS2 ,ycL .1 sin 2LTVmL2Lagrange2 yC函数8(3)求系统的运动微分方程1 2 COS1mgL cos22mL 2 224由Lagrange方程 dt1,2mL24mL24mL24mL23mL24mL24mL24mL23(4)系统特征方程设运动微分方程(1)的解为L (mg-.2 mLL 41mL242AA1 sin(2)Ai(mg-L22112 mgL可得L mg- 1Lmg- 2mgL20:) mL24mL23coscosmgL2A2 sin( t ),代入方程(1)22 A2 0;22)A2 0;L mL2 (mg 242mL 242mL

21、 24L mL2(mg2 -A10 .;2) A20(3)系统频率方程系统的特征方程有非零解得充分必要条件是其系数行列式为零/ L mL2(mg2 V2)mL2NmL2 2 4L mL2 (mg2 可0;L2 414g12g202)解得系统的两个固有频率2 3.6(4)系统的固有振型将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得系统的两阶固有振型13彳；1 A；2,1忑+1+1+1-13/11两层楼用集中质量表示如图2-16所示的系统。其中m11m9 2 2'k11、一、，一3k2 ;证明该系统的固有频率和固有振型为:2m12kl XL ；-m1(1) 1 不22；XX172)X2

22、解：(1)系统振动微分方程m?X2knX1k12x1k12X2k22X2(1)(2)系统特征方程设方程组的解为X2A2S：tt代入方程组(1)式得kii系统特征方程 iik21A2mi Aki 2 A202k22 m2 A20(2)(3)系统频率方程,所以要求方程(2)因为考虑系统振动的情况有非零解。而方程(有非零解的充要条件是其系数行列式等于零:KiiKi22miK 22Ki22 m2即kiimi) ( k222-、m12)ki2k2i(4)系统固有频率根据已知条件kii kik2iki2kik22kik2 3ki ,mik22kik23kimii -m22iki代入(3)式得(6)系统固有

23、振型:-m22kikimiki2mi将系统固有频率代入系统特征方程(7) 系统的主振动:证毕。2)1k -万k2;1k2;kimi2kimiAi(i) a21)k12ki2 imikiiki2kiAi(2)k12kiA；2)22mlikii2kiki2)得系统固有振型2 ；i ；x(i)Axi i图 2-16X(2)Axi Aiix222. 7如图2-i7所示的系统，设激振力为简谐形式，求系统的稳态响应。图 2-17解：（1）建立系统运动微分方程根据牛顿第对m1m2列动微分方程：即:mXim2X2m1x1m2X2kiXk2 (x2k2(x1X1)X2)0f(t)(1-1)(k1 k2)x1 k

24、2x2 m k2x1 k2x20esint)(1-2)（2求系统的稳态响应：设系统的稳态响应为x1A1 sin( tX2 A sin( 11)t a2)(1-3)X1X2C1 sin tD1 sin tC 2 cos tD2 cos t(1-4)将表达式（1-4）代入式（1-2） 的系数和为零，可得如下方程组：根据两个方程中包含sint的系数和为零及包含cos t求解方程组（1-5 ）CiDiC2所以在公式Xi(m1(m1k2C1k2c2k1k1m2k2D2得：C2 D2 0k2)C1 k2D1k2)C2 k2D22_2 k2)D10 ;0;22、me(k2m2)4.2m1 m2m1 k2m1

25、 m2D2m k2m2kl-2 .m ek2m2kl0;0;(1-5)22k1k2m2k22k1k2 m2k2 2(1-6)A1 sin( t 1),x2A2sin( t a2)中有在如图2-18所示的系统中，一水平力Fsin(解：(1)(2)系统有两个自由度，选广义坐标为 系统的动能cot)作用于质量块 M上，求使M不动的条件。x, 4A1m22e(k22m2)4mm2m1k22”,m2 k1k1k2 2 ；m2 k2A22m ek24mm2mk22”.m2k12 k1k2 2 ；m2 k2(1-7)12 0；(3)2mgl(lL (M m)x ml cosxL ml2 mlxcos;-()

26、dtml 2(M m)x mlmlxcoscos; 2kx ; xmlx sin mgl sin ;12T MX22系统的势能12U -2kx22(4) Lagrange 函数L T U121L -(M m)x - ml(5)对Lagrange函数求导(6) Lagrange 方程MTF sin t(Mml2m)x mlmlxcoscos 2kxmlx sinF sinmglsin因为振动为微幅振动，所以cos2.1 ,sin(8) 解方程:设 x Asin tBsint代入方程并整理得:2) 2Ak2 BmglA 2(M m) B 2ml(12Bml2 Aml 2 mlAB2因为M不动，所以

27、A=0。而B不能等于零，故，22mgl ml 0,解得fl.在图2-19所示的系统中，轴的弯曲刚度为EJ,圆盘质量为 m,它对其一条直径的转动惯量为I=mR/4 ,其中R=L/4。设轴在它的静平衡位置时是水平的，且忽略轴的质量。求系统的运动微分方程和固有频率。解：(1)系统自由度、广义坐标：图2-19所示的系统自由度 N=2, 广义坐标。(2)系统运动微分方程选Y、iimy12 I其中系数:11l33EJi2my22 I12L22EJ22LEJ(3)系统特征方程设 yA1 sin代入方程(1)A2 sinA1 sin(A2 sin(11m12mA1 sin(IA1 sin(12I22 I2A2

28、 sin( t2 -.A2 sin(t0；0；整理得11m12m12I22 ImL1 -3EJL22EJl2i2EJLEJl2i2EJ1工EJ0;L3m 219L3m192 EJ48EJ0；(4)系统固有频率特征方程(2)由非零解的充分必要条件是其系数行列式等于零:1 43EJ L22EJ解得:1.62 EJ1 口B 28.6 eJ ;L ； mL '图2-20所示的是两自由度系统。其中 的固有频率、振型和 Ui的稳态响应。PlP cos(t)k=987,m=i , C= C 0.0628,求系统解：(i)系统自由度、广义坐标 系统自由度N=2;广义坐标选Ui和U2(2)系统运动微分方

29、程根据牛顿第二定律，写出muiKuimu2 Ku 2写成矩阵形式:K (U2 Ui)CU2C (UiC (U2U2)Ui)K (U2CuiUi);u1u2>mKmFpKKUiU2UiU2UiU2P cos t0(2)系统的固有频率和振型对于系统运动微分方程两边作拉氏变换得2ms C C sUi(s)(Cs)U 2 (s)s2Ps2;解得因此(Cs K)Ui(s)2ms C C s(C s Ksi,2系统的固有振型，即各阶振幅比为:系统的第一主振动为系统的第一主振动为(3) ui的稳态响应由拉氏方程组解得2 ms0.3iiAi(i)a(1)K U 2 (s) 02 msj3i.4 ,s3,4i 3i.4,(C s K )C C s K0.346 j37.37 ;37.37;1Ai(2)5A：xi(i)x2"X xi(2)x2A sin(a21) sin(A(2) sin(a22) sin(i)i)i)i)Ai(i) sin( i t Asin(A1 sin( 21 Asin(i);2);2 t 2)代入得U