专题65胡不归中的双线段模型与最值问题解析版

1、专题65胡不归中的双线段模型与最值问题【专题说明】胡不归模型问题解题步骤如下；1、将所求线段和改写为fcTA+-PB"的形式（？vl）,若->1,提取系数，转化为小于1的形式解决。aaa2、在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度a,使得siiia=3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题【模型展示】如图，一动点P在直线外的运动速度为H,在直线妣V上运动的速度为巾，且Vl<n, A. B为立点,点C在直线MV上，确疋点C的位宜使+ 的值最小.RBC 1AC + V2 即求BC+kAC的最小值.构造射线使得sinZDJ#=乩CH/AC=k. CH=kACA，CH sina

2、=kACCH-kAC将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH丄AD交妣V于点C,交.Q于丹点，此时BC+CH取到最小 值，即BC+kAC最小.在求形如迟+好歹的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将迟型问题转化为加+PC、 型.【精典例题】1、在平而直角坐标系中，将二次函数y = ox-2(«>0)的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得 到如图所示的抛物线，该抛物线与尤轴交于点A、3(点A在点3的左侧)，04 = 1，经过点A的一次函数 y = /a+b(k0)的图象与y轴正半轴交于点C,且与抛物线的另一个交点为D , WD的面积为5(2) 抛物线上的动

3、点£在一次函数的图象下方，求AACE面积的最大值，并求岀此时点E的坐标；(3) 若点戶为尤轴上任意一点，在(2)的结论下，求PE + -PA的最小值.【答案】(l)y =丄疋一兀一3；=丄x + - : (2) MCE的而积最人值是孚，此时E,点坐标为(学一學2 2 2 2 16 2 © 7 3PE + -PA的最小值是3.【详解】解：(1)将.y = m2(n>0)的国象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为 y = a(x-l)'-2,-OA = ,二点4的坐标为(-1,0),代入抛物线的解析式得，4d 2 = 0 Za = -.2二抛

4、物线的解析式为 >'=扣 1)2 - 2，即)U_x_| .令 y = °，解得召=一1 x=3,二 3(3,0).ZAB = OA + OB = 4.<15'二的而积为 5, -SMBD=-AB yD=5 , ZyD=-,2 2513代入抛物线解叭得，r-2-解得坷=一2, x2=4, ZDp,|RAD的解析式为y=kx+b9解得:H+/? = o一工线AD的解析式为y = .13过点E作EM H y轴公AD于M，如图，设E；匕牙/一“一亍 z乙仏打+丄I 2 2)Z EM = -a + -a2 +a + - = -a2 +-a + 2 .2 2 2 2

5、 2 2二 SMCE = SMME - SACME = £ X EM 'I =-x 1 = - (f/2 _3aI), =-lf(3)a1 2 2丿4V丿4V2丿25H»163二当a=-时,2253MCE的而积有最大值，最大值是花此时E点坐标为(亍25167)作E关于x轴的对称点F.连接EF交x轴于点G,过点F作阳丄AE F点H.交兀轴于点P.OA = .ZAC=1+I=r £G=t5_ AG _2_4 EG _5 _3T二 ZAGE = ZAHP = 90 二sin存-少二竺丄二PP,AP AE 55二E、F关于x轴对称，二PE = PF ,3二 PE

6、+二AP = FP+HP = FH ,此时皿最小,ZEF = x2 = , ZAEG = ZHEF 84二 sin ZAEG = sin ZHEF =AGHeFH5 4ZFH=-x = 32、如图，二逝中，gg。，42, BEE, D是线段肌的-个动点，则CD +晳购的最小值是（）【答案】B【详解】如图，作DH二AB于H, CMZAB于M.二 BE 二 AC,ZZAEB=90°,BE二 taiiA=2 设 AE=a, BE=2a,AE则有：100=a2+4a2,Za2=20, 二a=2j?或-2循（舍弃）, 二 BE=2a=4 辰二AB=AC BE二AC, CMZAB,ZCM=BE=

7、4./5（等腰三角形两腰上的高相等） 二二DBHYABE,二BHDYBEA,BD AB 5zdh=bd,5二 CD+逻 BD二CD-DH,5二 cd+dhncm,二 CD+匹 BDN 亦，5二CD+匹BD的最小值为4腐.5故选B.3、已知抛物线y = aF+加+ c(“ho)过点A(1,O), 3(3,0)两点，与y轴交于点C, OCT.(1) 求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2) 过点2作AM丄BC，垂足为M,求证：四边形dDBM为正方形；(3) 点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当 MC而积最大时，求点P的坐标：(4) 若点。为线段OC上的一动点，问：AQ + -QC是否存在最小

8、值？若存在，求岀这个最小值；若不存在,请说明理由.【答案】(1)抛物线的表达式为：y = F4x + 3,顶点D(2, 1)： (2)证明见解析；(3)点P存在，AQ + -QC的最小值为§返土如.2 4【详解】(1) 函数的表达式为：y = a(x-l)(x-3)= a(x'-4x+3),即：3a=3,解得：a=l,故抛物线的表达式为：y = x2-4x + 3,则顶点D(2, l)；(2) OB = OC = 3, NOBC = /OCB = 45°，二A(l,0), B(3.0), Z OB=3, OA=1,ZAB=2,=AM = MB = ABsin45&#

9、176; =近，又二D(2, -1),ZAD=BD= (2-l)2+(-l-0)2 =迈，ZANI=MB=AD=BD,二四边形ADBM为菱形，又二 NAMB=90°，二菱形ADBM为正方形：(3) 设直线BC的解析式为y=mx-n,3m + n = 0将点B、C的坐标代入得： .，in = -1解得： o ,n = 3所以直线BC的表达式为：尸-x+3,过点P作y轴的平行线交BC于点N,设点P(x,x'4x + 3),则点N(x,-x+3),133则 SAPBC =-PNxOB = -(-x + 3-x2+4x-3)= -(x2-3x),2 2 23 3v-<Ot故Sp

10、bc有最大值，此时x =-,乙厶故点P:(4) 存在，理由： 如图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CF交x轴于点F.过点A作AH丄CF，垂足为H,交y轴于点Q，此时HQ=#CQ,则 AQ + QC 最小值=AQ+HQ=AH ,2FO在 Rt二COF 中，ZCOF=90% 二FOC=30。，003, tanZFC0=COZ0F=V3 * 二F(J, 0), 利用待定系数法可求得直线HC的表达式为：y = J/ + 3二,ZZCOF=90°, ZFOC=30°,ZZCFO=90o-30o=60°,ZZAHF=90°,ZZFAH=90°-

11、60°=30%二 OQ=AO«tan Z FAQ= 二 Q（0、），3利川待定系数法可求得直线AH的表达式为：y = 一迺X +逅-33联立二二并解得：x =4故点H（匕学,而点A（1,O）,4 44、已知抛物线y = x2-bx + c （ b, c为常数,b>0 ）经过点A（-LO）,点M（«z,0）是x轴正半轴上的动 点（匚）当b = 2时，求抛物线的顶点坐标；（口）点（仅儿）在抛物线上，当m = 5时，求/?的值；（匚）点Q（b + g,y° ）在抛物线上，当屈 M+20M的最小值为丄乎时，求/?的值.【答案】（二（1,7）：（二）方=3迈

12、一 1；（二）b = 4【详解】解：（二）二抛物线 y = x2 -bx+c 经过点 4（一1,0）,二 l+b+c = O. HI c = -Z?-l.当/? = 2时，y = x2-2A-3 = （x-l）2-4,:抛物线的顶点坐标为（1,7）.（：）由（二）知，抛物线的解析式为y = x2-bx-b-.二点 D（b, yD）在抛物线 y = x2 -hx-b- I：,Z yD = b2 - b h - b - = -b - .由b>0,得Z?>->0, _b lvO，2二点D（b,b -1）在第四象限，且在抛物线对称轴x =-的右侧.2如图，过点D作DE丄x轴，垂足为E

13、,则点E&0）.二 AE = b + 1, DE = /?+!. f j AE = DE 二在 RtAADE 中，ZADE =乙DAE = 45° -AD =近AE 由己知 AM = AD in = 5 <二 5-(-1)=血 + 1)二b = 3忑-1(二)二点+在抛物线 y = x一/处一一1 (:.二 =(“+$_ 也+ *)_1 = 一£一扌.可知点Q(+-,-)在第四象限，且在r - xub的右侧.厶乙 *考虑到迈AM + 2QM = 2( AM + QM)，町取点 N(0,1),如图，过点0作直线4N的垂线，垂足为G, QG hj x轴相交于点A/

14、，有ZGAM =45°，得 AM=GM ,2则此时点M满足题意.过点Q作QH丄兀轴于点则点H(b + -.O).2在 RtAMQH 中，町知 ZQMH = ZMQH = 45°.二 QH = MH , QM =MH 二屈M+2QM_)(_l)l + 2(/? + y)-(y- Zb = 45、如图，在平而在角坐标系中，抛物线y=x-2x3与x轴交与点A, B （点A在点B的左侧）交y轴于点C, 点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E.（1）连结BD,点M是线段BD上一动点（点M不与端点氏D重合），过点M作NINZBD交抛物线于点N （点N在对称轴的右侧），过点N作NH二x

15、轴，垂足为H,交BD于点F,点P是线段0C上一动点，当 取得最大值时，求HF+FP+lpc的最小值；3（2）在（1）中，当MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值时，把点P向上平移个迟单位得到点Q,连2结AQ,把ZAOQ绕点0瓶时针旋转一泄的角度Q （0。<&<360。），得到二AOQ,其中边AQ交坐标轴于点C在旋转过程中，是否存在一点G使得ZQ =ZQ'OG2若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标： 若不存在，谙说明理由.【答案】（1）丄+ 空：（2）存在，Q的坐标（匹，-土5）, （土色，匹），（-±5, 土匕）,33555555（也,-込5

16、5【详解】 解：（1）如图1二抛物线v=x2 2x3与X轴交于点儿E (点J在点E的左侧)，交y轴于点c 二令y=o 解得：X1= - 1, X2=3,令 x=0,解得：y= - 3,ZA ( - 1, 0, B (3, 0), C (0, -3)一小 “ u_m、八,b一2 . 4ac-b2 4xlx(-3)-4 4-点D为抛物线的顶点，且= =1,= 42a 24a4x1二点D的坐标为D (1, -4):直线加的解析式为：>=2x-6,由题意，可设点N (加加22加3，则点F (w. 2m - 6)ZJA77|= (2m - 6)(m2 - 2?n - 3) = - nr+4ni -

17、 3二、打加=_=2时，NF取到最犬你 此时MV取到最大值，此时HF=2,2a此时,N (2> 3), F (2, -2)t H (2, 0)在X轴上找一点K (一込2, 0),连接CK,过点F作CK的垂线交CK于点丿点，交y轴于点P,二 sin 二 0仮=一，直线 KC 的解析式为：y = -2y/2x-3,且点 F (2, -2),»护宜炯的解析式为：y斗呼-19-4>/29?7 + 4>/23二叫护的最小值即"的长，且曲寺芈ZHF + FP + -PC =3 fftin(2)由(1知，点 P (0, 二把点吓上平移刍个单位得到点。匚点。(0, -2)匚在 RtEJOe PJOG=90°, AQ=Js9 取 的中点 G,连接 OG,则 OG=GO=-AQ=-.此2 2时，ZAOO=ZGOO把二90绕点0顺时针旋转一定的角度a (0°<a<360°),得到二l9OO其中边0交坐标轴于点G 二