动点问题练习含答案

1、占 八、所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题.关键：动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想1、如图 1,梯形 ABCD 中，AD II BC，/ B=90 ° , AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm, 点 P 从 A 开 始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点 Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果 P, Q分别从A，C同时岀发，设移动时间为 t秒。当上=时，四边形是平行四边形；6当上=时，四边形是等腰梯形 .82、如图2，正方形A

2、BCD的边长为4,点M在边DC上，且DM=1，N为对角线 AC上任意一 点，则DN+MN的最小值为53、如图，在 RtA ABC 中，NACB = 90°, NB = 60°, BC = 2 点 ° 是 AC 的中点，过点O的直线I从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D 过点C作CE / AB交直线丨于点E，设直线丨的旋转角为：.(1) 当=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为;当二度时，四边形 EDBC是直角梯形，此时 AD的长为;(2) 当=90°时，判断四边形 EDBC是否为菱形，并说明理由.解：(1) 30，1 :

3、60，1.5 ;(2)当/ a =90°时，四边形 EDBC是菱形./ a = / ACB=90 °,二 BC/ED.T CE/AB,.四边形 EDBC 是平行四边形 在 Rt ABC 中，/ ACB=900,Z B=600,BC=2, a / A=30。.厂-AC ra AB=4,AC=2 3 .a AO= 2八3.在 Rt AOD 中，/ A=30。，二 AD =2.a BD=2. a BD=BC.又四边形 EDBC是平行四边形,a四边形EDBC是菱形中，/ ACB=90° ,4、在厶ABC绕点1的位置时,2N的位置时,3的位置时,C旋转到图CM D(1)当当

4、直线M(3)当直线MN并加以证明一.一A解：(1)JC漩转到图AC=BC，直线 MN经过点 C,且 AD丄MN于D , BE丄MN于E. MCMADC CEB : DE=CD + BE ;DE=AD-BE ;D 、BE具有怎样的等ABAACD= / ACB=90 a / CAD+ / ACDE90a / BCE+ / ACD=9° 1a / CAD= / BCE / AC=BC / ADCCE图 2 N ADC CEB a CE=AD , CD=BE a DE=CE+CD=AD+BEB图35?请写出这个等量关系,(2) J / ADC= / CEB= / ACB=90° /

5、-Z ACD= / CBE 又:AC=BC ACD CBE / CE=AD , CD=BE / DE=CE-CD=AD-BE(3) 当 MN 旋转到图 3 的位置时， DE=BE-AD(或 AD=BE-DE , BE=AD+DE 等)/ ADC= Z CEB= Z ACB=90 ACD= Z CBE，又: AC=BC , ACD CBE，/ AD=CE , CD=BE，/ DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上，张老师岀示了问题：如图1，四边形ABC是正方形，点 E是边BC的中点 . AEF =90，且EF交正方形外角.DCG的平行线CF于点F,求证：AE=EF.经过思考，小明展示了一种正

6、确的解题思路：取AB的中点M连接ME则AM=EC,易证 AMEECF，所以AE =EF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提岀：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B,C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“ AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写岀证明过程；如果不 正确，请说明理由；（2）小华提岀：如图 3,点E是BC的延长线上（除 C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写岀证明过程；如果不正确，请说明理由.解：（1）正确.证明：在AB上取一点M，使AM二EC，连接ME .二 B

7、M =BE .二乂 BME =45。，也 AME =135。. ；"CF 是外角平分线，二Z DCF =45。，二N ECF =135。. AME ECF .:NAEB+NBAE =90。，厶AEB+NCEF =90。， BAE = CEF . . AME BCF （ASA. . AE 二 EF .（2）正确.证明：在BA的延长线上取一点 N 使AN =CE，连接BN 二 BE . N =/PCE =45。.=四边形ABCD是正方形，.AD II BE .DAE BEA . . NAE"CEF. ANE ECF （ASA .AE 二 EF .MB的距离为3,动点6、如图，射

8、线MB上,MB=9,A 是射线 MB外一点,AB=5且A到射线向以1个单位/秒的速度移动，设 P的运动时间为t.求（PAB为等腰三角形的t值；（2） PAB为直角三角形的（3） 若AB=5且Z ABM=45。，其他条件不变，直接写岀 PAB为直角三角形的t值t值;图17、如图1，在等腰梯形ABCD中，AD II BC , E是AB的中点，过点E作EF / BC交CD于点F . AB =4, BC =6, Z B =60 .求：（1）求点 E 到 BC 的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM EF交BC于点M，过M作MN / AB交折线ADC于点N，连结PN，设EP二X.当点N在线

9、段AD上时（如图2）, PMN的形状是否发生改变？若不变，求岀 PMN的周长；若改变，请说明理由；当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使 PMN为等腰三角形？若存在，请求岀所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由图1MMC图5 （备用）解（1）如图1，过点 E作EG_ BC于占G.八、E为AB的中占1八、5be Jab = 2.2在 Rt EB中，/ B=60:/ BEG =30.BGJbe2-1，EG 二.22 _12 = , 3.即点E到BC的距离为 3.（2）当点N在线段AD上运动时，- PM _ EF，EG _ EF，- PM / PMN的形状不发生改变.EG.- EF /

10、 BC,二 EP 二 GM，PM 二 EG 二,3.同理 MN 二 AB 二 4.如图2,过点P作PH _ MN于H，丁 MN / AB, / NMC 二/ B =60，/ PMH1-30 .- PH PM23- MH 二 PMbcos30.则 NH23二 MN -MH =42 2图1在 RtAPNH 中，PN 二 NH2 PH2图2 PMN 的周长=PM PN MN一3、74.当点N在线段DC上运动时， PMN的形状发生改变，但 MNC恒为等边三角形. 当PM =PN时，如图3,作PR_MN于R，则MR=NR.3类似，MR . MN =2MR=3.t MNC 是等边三角形， MC =MN =

11、3.2此时，x 二EP 二GM 二 BC BG MC =6-1 一3 = 2.图3An图4AnGM图5当MP 二 时，如 图4, 这时M CMN此时，x = EP = GM =6 -3 =5-3.当 NP 二 NM 时，如图 5, / NPM 二/ PMN =30 .则/ PMN =120，又/ MNC = 60 ,/PNM /MNC =180 .因此点P与F重合， PMC为直角三角形.- MC 二 PMLtan30 =1.此时，x 二 EP 二GM = 6-1 一1 = 4.综上所述，当x=2或4或5- .3时， PMN为等腰三角形.8、如图，已知 ABC中，AB = AC=10厘米，BC

12、=8厘米，点D为AB的中点.(1)如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点 Q在线段CA上由C点向A点运动 若点Q的运动速度与点 P的运动速度相等，经过 1秒后， BPD与 CQP是否全等，请说明理由； 若点Q的运动速度与点 P的运动速度不相等，当点 Q的运动速度为多少时，能够使 BPD与 CQP全B同时岀发，都逆时针沿 ABC三等？(2)若点Q以中的运动速度从点C岀发，点P以原来的运动速度从点边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在 ABC的哪条边上相遇?C解：（1）J t =1 秒，. BP =CQ =3 1 = 3厘米， AB=10厘米，点D为AB的中点， BD=

13、5厘米.又PC=BC-BP，BC =8厘米， PC=8-3=5厘米， PC = BD又 AB = AC 厶B=NC BPD CQP.Vp =Vq . BP=CQ，又. BPD CQPNB=NC，贝y BP = PC =4, CQ = BD = 5点P，点Q运动的时间43 秒,CQ515Vq =t443厘米/秒。&x=3x 2 104，解得 3 秒.(2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得AEF的边AE与BC垂直时,边AE最短.由垂线段最短”可知：当正三角形3 = 80点P共运动了 3厘米. 80 = 2 28 24 点P、点Q在AB边上相遇,80经过3秒点P与点Q第一次在边A

14、B上相遇.9、如图所示，在菱形ABCD 中, AB=4，/ BAD=120 ° AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边 BC. CD 上滑动，且 E、F不与B. C. D重合.(1 )证明不论 E、F在BC. CD上如何滑动，总有 BE=CF ;(2)当点E、F在BC . CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和厶CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大(或最小)值.【答案】解：(1)证明：如图，连接 AC四边形 ABCD为菱形，/ BAD=120° ,/ BAE+Z EAC=60° , / FAC+ / EAC=60° ,/

15、 BAE= Z FAC。vZ BAD=120° , / ABF=60°严 ABC和厶ACD为等边三角形。 Z ACF=60° , AC=AB°.Z ABE=Z AFC。在厶 ABE 和厶 ACF 中，vZ BAE= Z FAC , AB=AC , Z ABE= Z AFC, ABE ACF (ASA)。 BE=CF。(2)四边形AECF的面积不变， CEF的面积发生变化。理由如下：由(1)得厶 ABE ACF，贝U Sabe=Saacf。 S 四边形 aECF=SaAEC+SACF=SaAEC+SABE=SaABC, 是 定值。作AH丄BC于H点，贝U

16、BH=2 ,1 122 广S四边形aecf =S AbcBC AH BC AB - BH 4 3。2 2故厶AEF的面积会随着 AE的变化而变化，且当 AE最短时，正三角形 AEF的面积会最又SaCEF=S四边形AECF _ SAEF,则此时 CEF的面积就会最大.小, CEF的面积的最大值是3。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质, 勾股定理，垂直线段的性质。【分析】(1)先求证 AE=AC进而求证厶ABC ACD为等边三角形，得/ ACF60°, ACAB从而求证厶ABEA ACF即可求得BE=CF。(2 )由 ABEAACF可 得 Sabe=Saa

17、cf ,故根据 S四边形 ae(F=5ae+Saac=Sme+SaaeE=SABC即可得四边形 AECF勺面积是定值。当正三角形 AEF的边AE与 BC垂直时，边AE最短. AEF勺面积会随着AE的变化而变化， 且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，根据Scef=S四边形aece aef,则厶CEF 的面积就会最大。10、如图，在厶AOB中，/ AOB=90 ° OA=OB=6 , C为OB上一点，射线CD丄OB交AB于点D, OC=2 .点P从点A出发以每秒 匚个单位长度的速度沿 AB方向运动，点 Q从点C出发以每秒2个单位长度的速 度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当点

18、 P到达到点B时停止运动，点 Q也随之停止.过点 P作 PE丄OA于点E, PF丄OB于点F，得到矩形PEOF.以点Q为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN ,斜边MN / OB,且MN=QC .设运动时间为t (单位：秒).(1 )求t=1时FC的长度.(2)求MN=PF时t的值.(3 )当厶QMN和矩形PEOF有重叠部分时，求重叠(阴影)部分图形面积S与t的函数关系式.(4)直接写出 QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时 t的值.考点：相似形综合题.分析：(1)根据等腰直角三角形，可得 加二 U, OF=EP=t，再将t=1代入求出FC的长度；(2) 根据MN=PF，可得关于t的方程6 - t=2t，解方程即可求解；(3) 分三种情况：求出当 1弐电时；当2v t/时；当卫v tW时；求出重叠(阴影)部分图形面33积s与t的函数关系式；(4) 分M在OE 上; N在PF上两种情况讨论求得 QMN的边与矩形 PEOF的边有三个公共点 时t的值.解答：解：(1)罪据题意， AO