2021年北京市石景山区初三数学一模试题(解析版)

1、2021年北京市石景山区中考数学一模试卷、选择题此题共 32分，每题4 分1.二的相反数是D 3A B 迢2 22 清明小长假本市A 5.245 XI03150家景区接待游客约 5245000人，数字B 5.245 X06C 5245000用科学记数法表示为()730.5245X0 转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图，假设指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，那么指针对准红色区域 的概率是D 5245 X03C 54°D 36°3正五边形的每个内角等于A 72°B 1084 为了解居民用水情况，晓娜在某小区随机抽查了月用水量吨户数那么这10户家庭的月用水量的平均

2、数和众数分别是A 7.8, 9B 7.8, 310户家庭的月用水量，结果:如卜表：56789101 12 231)C 4.5, 9D 4.5, 3D y=2 (x- 4) 2- 33)5将二次函数y=2x2-8x - 1化成y=a (x- h) 2+k的形式，结果为()2 2 2A y=2 (x - 2) - 1B y=2 (x- 4) +32C y=2 (x- 2) - 9 6如图， ABC内接于O O, BA=BC , / ACB=25 °, AD为O O的直径，那么 / DAC的度数是A 25°B 30C 40°D 50°2B -23A &

3、如图，边长为1的正方形ABCD中有两个动点P, Q,点P从点B出发沿BD作匀速运动，到达点 D后停止； 同时点Q从点B出发，沿折线BCCD作匀速运动，P, Q两个点的速度都为每秒 1个单位，如果其中一点停止运 动，那么另一点也停止运动设 P, Q两点的运动时间为 x秒，两点之间的距离为 y,以下图象中，能表示 y与x的 函数关系的图象大致是iB .V jC -y ikD .1y J01 頃01 忑01 750172工二、填空题此题共 16分，每题4分39.分解因式：ax - 16ax= .10 .如图，AB / CD , AC与BD相交于点 O,AB=3，假设 BO : BD=1 : 3CD

4、等于.11如图，小明同学在距离某建筑物 6米的点 度BC为米结果可以保存根号A处测得条幅两端 B点、C点的仰角分别为60°和30°那么条幅的高口口匚12. 在平面直角坐标系 xOy中，直线I: y=x，作A1 1, 0关于y=x的对称点B1，将点B1向右水平平移2 个单位得到点A2 ；再作A2关于y=x的对称点B2，将点B2向右水平平移2个单位得到点A3；.请继续操作并探究：点 A3的坐标是 _一 ，点B2021的坐标是 _一 .三、解答题此题共 30分，每题5分L1013. 一 '：- |-5|+3tan30.202115.如图，在 ABC 和厶 ADE 中，AB

5、=AC , AD=AE , / BAC= / DAE，点 C 在 DE 上.求证:(1) ABD ACE ;(2) / BDA= / ADC .16.:求代数式4垃-9y2H3y的值.17.如图，一次函数 y仁kx+2的图象与x轴交于点B (- 2, 0),与函数y2(x > 0)的图象交于点 A (1, a).(1) 求k和m的值；(2) 将函数y2=L(P)的图象沿x轴向下平移3个单位后交x轴于点C假设点D是平移后函数图象上一点， 且厶BCD工的面积是3,直接写出点D的坐标.54311J12345-12*-4-18某公司决定从厂家购进甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总

6、金额不超过77000元，甲、乙型号的显示器价格分别为1000元/台、2000元冶.(1) 求该公司至少购置甲型显示器多少台？(2) 假设要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，问有哪些购置方案？四、解答题(此题共 20分，每题5分)19.如图，在四边形ABCD 中，AB=2 , / A= / C=60 ° DB 丄 AB 于点 B,/ DBC=45 °20 为响应推进中小学生素质教育的号召，某校决定在下午15点至16点开设以下选修课：音乐史、管乐、篮球、健美操、油画为了解同学们的选课情况，某班数学兴趣小组从全校三个年级中各调查一个班级，根据相关数据， 绘制如下统计图.人

7、數L0J-81b5432三个班级拿加遗修课的 人数统计图初二班矗加各璽遼修课的人数分布统计图滋 目初二(习班 初三怕)竝音乐史管乐图1篮球僅美撓油画谍程(1) 请根据以上信息，直接补全条形统计图(图 1)和扇形统计图(图 2);(2) 假设初一年级有180人，请估算初一年级中有多少学生选修音乐史？(3) 假设该校共有学生 540人，请估算全校有多少学生选修篮球课？21 .如图，O O是厶ABC的外接圆，AB=AC，连结CO并延长交O O的切线AP于点P.(1) 求证：/ APC= / BCP ;(2) 假设 sin/APC=-, BC=4，求 AP 的长.22. 实验操作(1) 如图1,在平面

8、直角坐标系 xOy中， ABC的顶点的横、纵坐标都是整数，假设将 ABC以点P (1,- 1)为旋转中心，按顺时针方向旋转90°得到 DEF，请在坐标系中画出点P及厶DEF ;(2) 如图2,在菱形网格图(最小的菱形的边长为 1,且有一个内角为60°中有一个等边 ABC ,它的顶点A , B , C都落在格点上，假设将 ABC以点P为旋转中心，按顺时针方向旋转60。得到 A'B'C',请在菱形网格图中画出 A'B'C'.其中，点A旋转到点A所经过的路线长为 .五、解答题(此题共 22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分

9、)223. 关于x的方程mx +2 ( m - 1) x+m -仁0有两个实数根，且 m为非负整数.(1) 求m的值；(2) 将抛物线 C1： y=mx2+2 (m - 1) x+m - 1向右平移a个单位，再向上平移 b个单位得到抛物线 C2,假设抛物线 C2过点A (2, b)和点B (4, 2b+1),求抛物线 C2的表达式；(3) 将抛物线C2绕点(n+1, n)旋转180。得到抛物线C3，假设抛物线C3与直线yx+1有两个交点且交点在其对称轴两侧，求n的取值范围.24. 在矩形 ABCD中，AD=12 , AB=8，点F是AD边上一点，过点 F作/ AFE= / DFC，交射线 AB

10、于点E，交射 线CB于点G.(1) 假设 FG=8-应，那么 / CFG=°(2) 当以F，G，C为顶点的三角形是等边三角形时，画出图形并求 GB的长；(3) 过点E作EH / CF交射线CB于点H，请探究：当GB为何值时，以F, H, E, C为顶点的四边形是平行四 边形.备用图25. 在平面直角坐标系 xOy中，对于任意三点 A , B , C的矩面积，给出如下定义:水平底"a：任意两点横坐标差的最大值，铅垂高"h：任意两点纵坐标差的最大值，那么矩面积"S=ah.例如：三点坐标分别为 A (1 , 2), B (- 3, 1), C (2, - 2)

11、，那么 水平底 a=5,铅垂高 h=4,矩面积S=ah=20 .(1)点 A (1 , 2) , B (- 3, 1) , P (0, t).假设A , B , P三点的矩面积为12,求点P的坐标;直接写出A , B, P三点的矩面积的最小值.(2)点 E (4 , 0), F ( 0 , 2) , M ( m , 4m) , N (n,更)，其中 m> 0 , n > 0.ii 假设E , F , M三点的 矩面积为8 ,求m的取值范围； 直接写出E , F , N三点的 矩面积的最小值及对应 n的取值范围.2021年北京市石景山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题此题

12、共 32分，每题4分1.4分2021?石景山区一模的相反数是|3A .B. 3C. _22 2 1考点：相反数.分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数.解答：解：的相反数是卫，33应选：D.2. 4分2021?石景山区一模清明小长假本市 表示为A . 5.245 XI03B . 5.245X106点评：此题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.150家景区接待游客约 5245000人，数字5245000用科学记数法7310户家庭的月用水量，结果如下D . 4.5, 3C . 0.5245X07D . 5245 X03考点：科学记数法一表示较大的数.分析：

13、科学记数法的表示形式为aX0n的形式，其中1书|v 10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时,解答：小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同. 对值v 1时，n是负数.解：数字5245000用科学记数法表示为 5.245 X0 4分2021?石景山区一模为了解居民用水情况，晓娜在某小区随机抽查了 表：月用水量吨5678910 户数112231那么这10户家庭的月用水量的平均数和众数分别是 A . 7.8, 9B . 7.8, 3C . 4.5, 9, 应选B .当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝点评：此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 时关键要正确确定

14、 a的值以及n的值.aX0n的形式,其中1弓a|v 10, n为整数,表示3. 4 分2021 ?石景山区一模正五边形的每个内角等于A . 72°B .108°C . 54°D . 36°考点：多边形内角与外角.分析：先求出正五边形的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等，进而求出其中一个内角的度数.解答：解：正五边形的内角和是：5- 2 X80°=540°,那么每个内角是：540弋=108 °应选B .点评：此题主要考查多边形的内角和计算公式，以及正多边形的每个内角都相等等知识点.考点：众数；加权平均数.分析：根据众数和平

15、均数的概念求解.解答：解：由题意得，众数为：9,平均数为：5疋十7X2+8 X 2+9X 3+10 =7 8 10应选A.点评：此题考查了众数和平均数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所 有数据之和再除以数据的个数.它是反映数据集中趋势的一项指标.5. (4分)(2021?石景山区一模)将二次函数 y=2x2- 8x - 1化成y=a (x-h) 2+k的形式，结果为()2 2 2 2A . y=2 (x - 2) - 1B . y=2 ( x - 4) +32C. y=2 (x - 2) - 9D . y=2 (x - 4) - 33考点：二次函数的三种形式

16、.分析：利用配方法整理即可得解.解答：解：y=2x2- 8x - 1 ,=2 (x2 - 4x+4) - 8 - 1 , =2 (x- 2) 2 - 9, 即 y=2 (x- 2) 2 - 9.应选C.点评：此题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法的操作是解题的关键.6. 4分2021?石景山区一模如图， ABC内接于OO , BA=BC , / ACB=25 ° AD为O O的直径，那么 / DAC 的度数是A . 25°B . 30C. 40°D . 50°考点：圆周角定理.专题：计算题.分析：先根据等腰三角形的性质由BA=BC得到/ BAC=

17、/ ACB=25 °再根据圆周角定理得到 / ABD=90 °/ D= / ACB=25 °于是可得到 / BAD=90 ° - / D=65 °然后利用/ DAC= / BAD - / BAC进行计算即可.解答：解：/ BA=BC , / BAC= / ACB=25 °/ AD为O O的直径， / ABD=90 °而 / D= / ACB=25 ° / BAD=90 ° - / D=65 ° / DAC= / BAD - / BAC=65 ° - 25°=40 °

18、 应选C.点评：此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的 一半推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.7. 4分2021?石景山区一模转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图，假设指针固定不动，转动转盘，当转盘 停止后，那么指针对准红色区域的概率是考点：几何概率.分析： 首先确定红色区域在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率.解答：解：由于一个圆平均分成 6个相等的扇形，在这 6种等可能结果中，指针指向写有红色的扇形有 2种可能 结果，所以指针指到红色的概率是 £二丄.G 3应选：B.

19、点评：此题考查学生对简单几何概型的掌握情况，表达了数学学科的根底性.概率=所求情况数与总情况数之比.&4分2021?石景山区一模如图，边长为 1的正方形ABCD中有两个动点P, Q,点P从点B出发沿BD作 匀速运动，到达点 D后停止；同时点 Q从点B出发，沿折线BCCD作匀速运动，P, Q两个点的速度都为每秒 1 个单位，如果其中一点停止运动，那么另一点也停止运动.设P, Q两点的运动时间为 x秒，两点之间的距离为 y,以下图象中，能表示 y与x的函数关系的图象大致是考点：分析：解答:时，作PM丄BC交BC于点M ,动点问题的函数图象. 当x<1时，作PM丄BC,构造RT PMQ

20、，利用勾股定理求出 y与x的函数关系. 当1 v x <二时，作PM丄DC,构造RTA PMQ，利用勾股定理求出 y与x的函数关系.然后与图象相对 照选出A是正确的.四边形ABCD是正方形, / DBC=45 °/ BP=BQ=x , PM=BM=_)X, PQ=_i_x, MQ= (1 -2I.工上.x. y=x是正比例函数图象.如图2,当1v xw】时，作PM丄DC交DC于点M ,四边形ABCD是正方形， / BDC=45 °/ BP=x, QC=x - 1,-1) x+1pm=(二-x) =1 -x, MQ=1 - ' ( /- x)-( x- 1)=

21、PQ=2 2 2一 1- 丨.-.；-亠一，y=q2-逅加+2，是类抛物线的一局部,应选：A.y与x的函数关系式.点评：此题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是求出 二、填空题此题共 16分，每题4分39. 4 分2021?石景山区一模分解因式：ax - 16ax= axx+4?x-4考点：提公因式法与公式法的综合运用.分析：首先提取公因式 ax，再利用平方差公式进行二次分解即可.解答：解：原式=ax (x2 - 16) =ax (x+4) ? (x - 4), 故答案为：ax (x+4) ? (x - 4).点评：此题主要考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二

22、次分解，注意分解要 彻底.10. 4分2021?石景山区一模如图， AB / CD, AC与BD相交于点 O, AB=3，假设BO : BD=1 : 3，那么CD等 于 6.考点：相似三角形的判定与性质.分析： 根据相似三角形的判定证 ABOCDO，推出二匚，代入求出即可.CD 0D 2|解答：解：/ BO: BD=1 : 3,B01i/ AB / CD , ABO CDO ,塑匹i "，/ AB=3 , CD=6 ,故答案为：6.点评：此题考查了相似三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力，题目比拟典型，难度适中.11. (4分)(2021?石景山区一模)如图，小明同学在

23、距离某建筑物 6米的点A处测得条幅两端 B点、C点的仰角 分别为60°和30°,那么条幅的高度BC为4鹿 米(结果可以保存根号)./* J* 严 n n月L$米一*D考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.分析：在Rt ACD中，利用三角函数关系求出AC,再根据得出 / ABC= / BAC=30 °,从而求出BC的长度.解答：解：在Rt ACD中，/ / CAD= / BAD - / BAC=60 ° - 30°=30 ° AD=AC ?cos30°/ / BAC=30 ° / ACD=60 ° / A

24、BC= / BAC=30 ° BC=AC=4 .；.答：条幅的高度 BC为4二米.故答案为4:.点评：此题考查了解直角三角形的应用，利用角度，发现隐含条件，这是本局部重点题型.12. (4分)(2021?石景山区一模)在平面直角坐标系 xOy中，直线I: y=x ,作A1 (1, 0)关于y=x的对称点 B1,将点B1向右水平平移2个单位得到点A2；再作A2关于y=x的对称点B2,将点B2向右水平平移2个单位得到 点A3;.请继续操作并探究：点 A3的坐标是 (3 , 2) ,点B2021的坐标是 (2021 , 2021) .考点：坐标与图形变化-对称；规律型：点的坐标；坐标与图形

25、变化-平移.分析：根据题意画出图象，进而得出各点坐标变化规律进而得出答案.解答：解：如下图：点 A3的坐标是：(3 , 2), B1 (0 , 1), B2 (1, 2), B3 (2 , 3),B点横坐标比纵坐标小 1 ,.点 B2021 的坐标是：(2021 , 2021).故答案为：(3 , 2), (2021 , 2021).点评:-：*于乂ZTJII. 性卜：，5 41电歧*!H-llllIIIS-!l|l- till !-bBIIIR-*yf3 4得出此题主要考查了点的变化规律,B点横纵坐标变化规律是解题关键.三、解答题此题共 30分，每题5分-5|+3tan30°-13

26、. 5 分2021?石景山区一模| 考点：实数的运算；零指数幕；特殊角的三角函数值.专题：计算题.分析：原式第一项化为最简二次根式，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算, 最后一项利用零指数幕法那么计算即可得到结果.解答： 解：原式=25+3X-仁3 ；- 6.3点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键.14. 5分2021?石景山区一模解方程:考点：解分式方程.专题：计算题.分析：方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.解答： 解：方程两边同乘以X-5,得X-3+ X-5 = - 3,去括号得：

27、x - 3+x - 5=3 ,解得：x=2.5,经检验：x=2.5是原分式方程的解.点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的根本思想是转化思想，把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.15. (5 分)(2021?石景山区一模)如图，在 ABC 和厶ADE 中，AB=AC , AD=AE , / BAC= / DAE，点 C 在 DE 上.求证：(1) ABD ACE ;(2) / BDA= / ADC .考点：全等三角形的判定与性质.专题：证明题.分析：(1)根据等式的性质，可得 / BAD= / CAE，根据SAS，可得两个三角形全等；(2)根据全等三角形的性质，可得对应角

28、相等，根据等腰三角形的性质，可得/ ADC= / AEC，根据等量代换，可得证明结论.解答： 证明：(1) I/ BAC= / DAE , / BAC - / DAC= / DAE - / DAC ,即 / BAD= / CAE .在厶ABD和 ACE中，(Ab=ACZbau=Zeac ,AD=AE ABD ACE ( SAS);(2) / ABD ACE , / ADB= / AEC ./ AD=AE , / ADC= / AEC . / BDA= / ADC .点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明三角形全等，利用全等三角形的性质，证明对应角相等，再利用等量代换得出证明结论

29、.16. (5分)(2021?石景山区一模):V广；-，求代数式的值.考点：分析：解答:点评：分式的化简求值.将.3将2:变形为2x=3y，代入代数式4 工-9y2i+3y即可求值.解：由2x=3y,=-丄2°此题考查了分式的化简求值，将含3y+3yx的式子转化为含y的式子是解题的关键.17. (5分)(2021?石景山区一模)如图，一次函数y仁kx+2的图象与x轴交于点B (- 2, 0),与函数y2上(x>0)的图象交于点A (1, a).(1)求k和m的值；2将函数y2二丄P的图象沿x轴向下平移3个单位后交x轴于点C 假设点D是平移后函数图象上一点， 且厶BCD的面积是3

30、,直接写出点D的坐标.543:y J11L*12345-1-2-4-考点：反比例函数与一次函数的交点问题.分析：1把B坐标代入一次函数解析式中求出k值，确定出反比例解析式，将A标代入反比例解析式求出a值，确定出A标，将A坐标代入反比例析式求出 m的值；2根据函数图象的变化规律可得变换后得到的图象对应的函数解析式为y=_i - 3，设 BCD的底BC为An,高为h,贝U C点的坐标为n- 2, 0，将C的坐标代入可得n的值3,根据 BCD的面积是3可求得 h=2，从而求得D的坐标.解答：解：1 根据题意，将点 B - 2, 0代入yi=kx+2 , 0= - 2k+2 . k=1 .- A 1,

31、 3.将其代入-,可得：m=3.2点D的坐标是二，：或3,- 2.5点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法与数形结合的数学思想，熟练掌握待定 系数法是解此题的关键.18. 10分2021?石景山区一模某公司决定从厂家购进甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超过77000元，甲、乙型号的显示器价格分别为1000元/台、2000元/台.1求该公司至少购置甲型显示器多少台？2假设要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，问有哪些购置方案？考点：一元一次不等式的应用.分析：1设该公司购进甲型显示器 x台，那么购进乙型显示器x - 50台，根据两种显示器的

32、总价不超过77000元建立不等式，求出其解即可；2由甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数可以建立不等式x韦0 - x与1 的结论构成不等式组，求出其解即可.解答：解：1设该公司购进甲型显示器x台，那么购进乙型显示器x - 50台，由题意，得1000x+2000 50 - x <77000解得：x丝3.该公司至少购进甲型显示器23台.2依题意可列不等式：x<50 - x,解得：x5. 23 纟 <25./ x为整数， x=23, 24, 25.购置方案有： 甲型显示器23台，乙型显示器 27台； 甲型显示器24台，乙型显示器 26台； 甲型显示器25台，乙型显示器 25台.点

33、评：此题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，一元一次不等式的解法的运用，方案设计的运用，解答 时根据条件的不相等关系建立不等式是关键.四、解答题此题共 20分，每题5分19. 5分2021?石景山区一模 如图，在四边形 ABCD中，AB=2 , / A= / C=60° DB丄AB于点B, / DBC=45 ° 求BC的长.A考点：解直角三角形.分析： 过点D作DE丄BC于点E.先解直角 ABD，得出亠上厂 J 再解等腰直角三角形DBE ,得出 |&E=DE=BDXsin45<> =V&,再解直角 CDE ,得出比一刊历，那么根据BC=BE+

34、CE即可求解.tan60解答：解：过点D作DE丄BC于点E./ DB 丄 AB , AB=2 , / A=60 °.&D二拯=2<3./ Z DBC=45 ° DE 丄 BC ,匕 Z C=Z A=60 ° Z DEC=90 ° , F _ . '.点评：此题考查了解直角三角形，难度适中.准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.20. 5分2021?石景山区一模为响应推进中小学生素质教育的号召，某校决定在下午15点至16点开设以下选修课：音乐史、管乐、篮球、健美操、油画.为了解同学们的选课情况，某班数学兴趣小组从全校三个年级中各调

35、 查一个班级，根据相关数据，绘制如下统计图.人敎L0J-三个班级參加遗修课的 人数统计图初二班參加各葵遼修课的人数分布统计图丽切班 目初二班 初三(切班=g765音乐吏管乐 篮妹僮美換油画谍程图t(1) 请根据以上信息，直接补全条形统计图(图 1)和扇形统计图(图 2);(2) 假设初一年级有180人，请估算初一年级中有多少学生选修音乐史？(3) 假设该校共有学生 540人，请估算全校有多少学生选修篮球课？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图.专题：数形结合.分析：(1)初二(5)班选篮球的有6人，用6除以20%得到全班人数为 30,然后用30减去其他四类选修的人数 得到选修管乐的人数

36、为 6，再用6除以30即可得到管乐所占的百分比；(2) 用180乘以选修音乐史所占的百分比即可估计初一年级中选修音乐史的人数；(3) 用540乘以三个班中选修篮球课所占的百分比.解答：解：(1)如图；(2) 180 X=48 (人)，8+746-F6+3所以初一年级有180人，估算初一年级中有48人选修音乐史;(3) 540=135 (人)，所以估算全校有135修篮球课.人数三个班级参加选修课的 人数统计图初二 班拿加各类选修课前人数分布统计图fal管乐 篮球僱美接 图1=三三三=三=_初一班目初二班初三班点评：此题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的

37、矩形直条,然后按顺序把这些直条排列起来也考查了用样本估计总体和扇形统计图.21. (2021?石景山区一模)如图，O O是厶ABC的外接圆，AB=AC，连结CO并延长交O O的切线AP于点P.(1) 求证：/ APC= / BCP ;(2) 假设 sin/APC=,BC=4，求 AP 的长.考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质.分析：(1) 连结AO并延长交BC于D、卩于E,利用切线的性质和垂径定理即可证明AP / BC,进而可证明: / APC= / BCP;(2) 设OA=3k , OP=5k，贝U OC=OA=3k，因为BC / AP，所以 PAOs CDO，根据相似三角形的性质:对

38、应边的比值相等即可求出AP的长.解答：(1) 证明：连结 AO并延长交BC于D、定于E, AP切O O于点A , AP 丄 AE ,/ AB=AC , AE丄BC, AP / BC , / APC= / BCP,(2) 解：/ AE 丄 BC ,一二;二， ,设 OA=3k , OP=5k，贝U OC=OA=3k ,/ BC / AP , PAOs CDO , ，厂1，：，E D7CE点评：此题利用了垂径定理的推论、切线的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数，题目的难度中等, 是常见中考题型.22. (5分)(2021?石景山区一模)实验操作(1) 如图1,在平面直角坐标系 xOy中，

39、ABC的顶点的横、纵坐标都是整数，假设将 ABC以点P (1,- 1)为旋转中心，按顺时针方向旋转90°得到 DEF，请在坐标系中画出点 P及厶DEF ;(2) 如图2,在菱形网格图(最小的菱形的边长为1,且有一个内角为60°中有一个等边 ABC ,它的顶点A , B ,C都落在格点上，假设将 ABC以点P为旋转中心，按顺时针方向旋转60。得到 A'B'C',请在菱形网格图中画出4 A B C '.其中，点A旋转到点A所经过的路线长为匚.l-M"' »考点：作图-旋转变换.分析：(1)先做出P点，然后找出点 A、B

40、、C绕点P顺时针旋转90°的位置，然后顺次连接即可；(2)找出点A、B、C绕点P顺时针旋转60°的位置，顺次连接 A'B'、B'C'、C'A'，然后根据弧长公式求出 点A旋转到点A所经过的路线长.解答：解：(1) ( 2)所作图形如下：点A的运动路线二'二一 n1803故答案为：一 n3点评：此题主要考查了利用旋转变换作图以及勾股定理的应用，根据网格结构找出对应点的位置是解题的关键.五、解答题(此题共 22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分)223. (7分)(2021?石景山区一模)关于 x的方程mx +2

41、 ( m- 1) x+m - 1=0有两个实数根，且 m为非负整数.(1) 求m的值；(2) 将抛物线 C1： y=mx2+2 ( m - 1) x+m - 1向右平移a个单位，再向上平移 b个单位得到抛物线 C2,假设抛物线 C2过点A (2, b)和点B (4, 2b+1),求抛物线 C2的表达式；(3) 将抛物线C2绕点(n+1, n)旋转180。得到抛物线C3，假设抛物线C3与直线yx+1有两个交点且交点在其对称轴两侧，求n的取值范围.考点：二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点.分析：(1)直接利用根的判别式求出m的取值范围，进而得出答案；(2) 利用(1)中所求得出平移后解析式

42、，进而将 A , B点代入求出即可；(3) 将抛物线C2： y= (x- 2) 2+3绕点(n +1, n)旋转180。后得到的抛物线 C3顶点为(2n , 2n - 3),进 而将横坐标代入直线解析式求出n的取值范围即可.解答： 解：(1) 方程mx2+2 (m- 1) x+m -仁0有两个实数根，/ m和且为，那么有 4 ( m- 1) 2 - 4m (m - 1)为且 m 老/ mW且m和又 m为非负整数，/ m=1 .(2) 抛物线C1： y=x 2平移后，得到抛物线 C2： y= (x - a) 2+b,2 抛物线 C2过点 A (2, b), b= (2- a) +b，可得 a=2

43、,同理：2b+ 仁(4 - a) 2+b，可得 b=3 ,22 C2： y= (x - 2)+3 (或 y=x - 4x+7).(3) 将抛物线C2： y= (x- 2) 2+3绕点(n +1, n)旋转180。后得到的抛物线 C3顶点为(2n , 2n - 3),把 x=2n 代入直线 y=x+1 得,=r-',由题意得，2n - 3 > n+1,即：n > 4.点评：此题主要考查了二次函数几何变换以及二次函数旋转和根的判别式等知识，得出旋转后顶点坐标是解题关 键.24. ( 8分)(2021?石景山区一模)在矩形 ABCD中，AD=12 , AB=8，点F是AD边上一点

44、，过点F作/ AFE= / DFC , 交射线AB于点E,交射线CB于点G.(1) 假设 FG=8 :-：,那么 / CFG= 90°(2) 当以F, G, C为顶点的三角形是等边三角形时，画出图形并求GB的长；(3) 过点E作EH / CF交射线CB于点H，请探究：当GB为何值时，以F, H, E, C为顶点的四边形是平行四 边形.考点：四边形综合题.分析： (1)由矩形的性质得 AD / BC , / D=90 ° 所以/ AFE= / FGB , / DFC= / FCG,进而求得 / FGC= / FCG , 得到FC的长，再利用三角函数求得 / DFC=45 &#

45、176;即可得/ CFG=90 °(2) 先画出图形，由矩形与等边三角形的性质得到/ DFC=60 °利用三角函数求得 FC的长，即为GC的 长，再求BG即可；(3) 过点F作FK丄BC于点K，有矩形的性质推出 / KCF= / KGF , FG=FC ,所以GK=CK .因为四边形FHEC是平行四边形，所以 FG=EG .可得 FGK EGB .所以BG=GK=KC=二3解答： 解：(1) 四边形ABCD是矩形， AD / BC , / D=90 ° / AFE= / FGB , / DFC= / FCG ,/ / AFE= / DFC , / FGC= / FCG ; FC=FG=二：在 Rt FCD 中，./ 门才 DC _ 8 V2sin / DFC节 / DFC=45 ° / CFG=180 ° - / AFE - / DFC=180 ° - 45° 45°90 ° 故答案为：90°(2)图形如下：四边形ABCD是矩形， / D=90° FG