32复数代数形式的四则运算

1、 复数代数形式的四则运算复数代数形式的四则运算兆麟中学高二数学组兆麟中学高二数学组 ； 形如形如a a+ +bibi( (a,ba,bR)R)的数叫做复数的数叫做复数. . 全体复数所形成的集合叫做全体复数所形成的集合叫做，一般用字母，一般用字母 表示表示 . .复习：复习：通常用字母通常用字母 表示，即表示，即 biaz ),(RbRa 其中其中 称为称为虚数单位虚数单位。i000000bababb，非纯虚数，纯虚数虚数实数CR ,Rdcba 若dicbia dbca特别地，特别地，a+bia+bi=0=0 . .a=b=0a=b=0必要不充分条件必要不充分条件问题：问题：a=0a=0是是z

2、=a+bi(az=a+bi(a、b b R)R)为为纯虚数的纯虚数的 1.复数加减法的运算法则：复数加减法的运算法则：(1)(1)运算法则运算法则: :设复数设复数z z1 1=a+bi,z=a+bi,z2 2=c+di,=c+di, 那么：那么：z z1 1+z+z2 2=(a+c)+(b+d)i=(a+c)+(b+d)i; ; z z1 1-z-z2 2=(a-c)+(b-d)i=(a-c)+(b-d)i. .即即: :两个复数相加两个复数相加( (减减) )就是实部与就是实部与实部实部, ,虚部与虚部分虚部与虚部分 别相加别相加( (减减).).(2)(2)复数的加法满足复数的加法满足交

3、换律交换律、结合律结合律, ,即对任何即对任何z z1 1,z,z2 2,z,z3 3C,C,有有z z1 1+z+z2 2=z=z2 2+z+z1 1, ,(z(z1 1+z+z2 2)+z)+z3 3=z=z1 1+(z+(z2 2+z+z3 3).).2.复数的乘法与除法复数的乘法与除法(1)(1)复数乘法的法则复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似复数的乘法与多项式的乘法是类似的的, ,但必须在所得的结果中把但必须在所得的结果中把i i2 2换成换成-1,-1,并且把实部合并并且把实部合并. .即即: :(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi(a+bi)(c+d

4、i)=ac+bci+adi+bdi2 2=(ac-bd)+(bc+ad)i.例例1.1.计算计算 )43 ()2()65 (iii解解: :iiiii11)416()325()43()2()65(2)(2)复数乘法的运算定理复数乘法的运算定理 复数的乘法满足复数的乘法满足交换律交换律、结合律结合律以以及乘法对加法的及乘法对加法的分配律分配律. .即对任何即对任何z z1 1,z,z2 2,z,z3 3有有z z1 1z z2 2=z=z2 2z z1 1; ;(z(z1 1z z2 2)z)z3 3=z=z1 1(z(z2 2z z3 3););z z1 1(z(z2 2+z+z3 3)=z)

5、=z1 1z z2 2+z+z1 1z z3 3. .)2)(43)(21 (2iii）（iiiiii1520)2)(211()2)(43)(21 ()(biabia例例2 2：计算：计算222ibabiabia22ba 共轭复数共轭复数z=a+bibiazdicbia)()(dicdicdicbiaidcadbcdcbdac2222i【3.复数的除法法则复数的除法法则】分母实数化分母实数化例例3.3.计算计算)43()21 (ii解解:iiii4321)43()21 ()43)(43()43)(21 (iiii2510543468322iiii5251（2 2）已知）已知 求求iziz2,1212214121)(,zzzzz（3 3）2)1 (i;2iii11i1; iii11; i. i. 1)2() 1 (232132zzziz；，求证：.)2321(2321432341)2321() 1 (222ziiiiiz解：【例例4】14143)21()23(2321)2(2232iziz【探究探究】 i i 的指数变化规律的指数变化规律1,1,4321iiiiii_,_,_,_8765iiii你能发现规律吗？有怎样的规律？你能发现规律吗？有怎样的规律？ni414ni24ni34ni,1,i,1i