加试模拟训练题

1、加试模拟训练题1、一圆0切于两条平-0行线h,l2,第二个圆e Q切 li于A ,外切0于C ,第三 个圆。2切|2于B，外切0于D，外切0i于E，AD交BC于Q，求证Q是CDE的外心。,111 *2.已知an1 -(n N ).23n试证：当n 2时，2ana?2(asa1)23nn4n个点组成2n3平面上给定4n+1个点，任意三点不共线，证明：可以用其中的 对，连接每对点的 2n条线段至少有n个不同的交点.4. 1987可以在b进制中写成三位数xyz，如果x y z 1987，试确定所有可能的x, y, z和b。2加试模拟训练题（13）1、一圆o切于两条平行线l1,l2,第二个圆e O1切

2、li于A ,外切O于C ,第三个圆。2切|2于B，外切O于D，外切Oi于E，AD交BC于Q，求证Q是CDE的外心。证明 由 AO1 II BO2，知 AO1EBO2E，从而有 AEO1BEO2，即 A, E, B点共线。同理由OF I BO2 ,可得B,D,F三点共线。又因为11EDB 180 EO2B 180 AQEEAF ,所以代 E,D, F 四点共圆，22BEgBA BDgBF，即点B在e O1与eO的根轴上。又因为 C在e O1与eO的根轴上,所以BC是e O1与e O的根轴。同理 AD是e O2与e O的根轴，因此Q为根心，且有QC QDQE，即Q是CDE的外心。2.已知an试证：

3、当n2时,2ana?a33证明：（1）2时,左边=2a2(11)292;右边=a24a222，所以，所证不等式成立(2)假设 n k(k22）时不等式成立，即aka22厅a33akk）k成立-1时,ak1(ak土)2 ak21_ k 1 (k 1)22aka332(ak1 九 1k 1(k 1)1 * (n N ). na2a3akak 1、11a22(丄a3akak 1、k2 k 12(=)2一）23kk 1 k (k1)23kk 1k(k 1)2a2a3akak 1) k2 k 1) k(kka22(2a3aka k 1 亠) k 113k1)23kk 1,所以，当n k 1时，不等式也成

4、立由（1）、（2）可知，当n N,n 2时，所证不等式成立.3.平面上给定4n+1个点，任意三点不共线，证明：可以用其中的4n个点组成2n对，连接每对点的 2n条线段至少有n个不同的交点.A取BCDE四点解：利用数学归纳法，当n=1时，五个点A、B、C、D、E的凸包分凸五边形、四边形、三角形，假设当n=4k+1时命题成立，那么由于平面内有限点的连线是有限多条，因此，存在一条直线L,它与给定点中任意两点的连线均不平行，将 同一侧，经过平行移动可以使 L的另一侧给定点的个数由 取这5个点，这5个点中两对点所成的两条线段的交点为 下的1个点与其余4（n-1）个点，根据归纳假设它们可产生L平行移动，最初给定点在L的0逐渐增加至5,我们开始时就选 M,剩n-1个不同交点.这 n-1个交点与M位于直线L的两侧，从而得到n个不同的交点.得证.y z 1987，试确定所有4. 1987可以在b进制中写成三位数 xyz，如果x可能的x, y, z和b。（ 1987年加拿大数学竞赛试题）2解：易知xb1987,x y z225 ,从而 x(b 1)y(b1)162 ,即(b1)(b1)xy 19622 32 109由b10知b19。由 19622b 1知b.196345故9b145 ；又因为 19622 32 109有 12 个正约数，分别为1,2,3