二维热传导方程隐式差分格式系数矩阵特征值的求取

1、大庆石油学院学报二维热传导方程隐式差分格式系数矩阵特征值的求取冯凤萍1,周瑞芬2(1.大庆石油学院数学系,黑龙江大庆163318;2.大庆石油学院机械科学与工程学院,黑龙江大庆163318)摘要:给出了二维热传导方程隐式差分格式.对该差分格式的未知量和右端项以矩阵形式表示,的矩阵表示新形式.,该类线性方程组时的收敛速度分析奠定了基础.关键词:隐式差分格式;矩阵特征值;稳定性中图分类号:O177:1000)030088030引言.对高维方程差分格式系数矩阵特征值的求取是比较困难的.文献1,2给出了求矩阵特征值的方法,但其结果只求得矩阵特征值的近似值.文献3给出求Poisson方程第一边值问题差分

2、格式矩阵的特征值的求取方法.基于文献3,笔者给出了二维热传导方程第一边值混合问题隐式差分格式的矩阵特征值的求取方法.1二维热传导方程及其隐式差分格式1.1第一边值混合问题222+=a,(x,y)(0,1)(0,1),t0,x2y2tu(0,y,t)=1(y,t),u(1,y,t)=2(y,t),u(x,0,t)=1(x,t),u(x,1,t)=2(x,t),(1)u(x,y,0)=g(x,y).式中:u(x,y,t)为待求函数;1(y,t),2(y,t),1(x,t),2(x,t),g(x,y)均为已知函数;a为已知常数.该问题是利用已知边界条件和初始条件求u(x,y,t).1.2隐式差分格式

3、的构造把正方形的每边n等份,设x,y,t分别为X-Y方向网格步长和时间网格步长,并约定记号mx,jy,mt),2xuim,j=uim+1,j-2uim,j+uim-1,j,2yuim,j=uim,j+1-2uim,j+uim,j-1.ui,j=u(ix,jy,m+t)处用差分逼近微分得首先使式(1)的第1个方程在点(i2m+1m222222mm+1mm+1(2)=+.2ui,j+2ui,j2ui,j+2ui,j(x)(y)t2(x)2(y)此差分格式局部截断误差为O(x)2+(y)2+(t)2),且为隐格式.收稿日期:20041013;审稿人:张长海;编辑:关开澄基金项目:黑龙江省自然科学基金

4、项目(A0019)作者简介:冯凤萍(1965-),女,讲师,主要从事应用数学方面的研究.88第3期冯凤萍等:二维热传导方程隐式差分格式系数矩阵特征值的求取取x=y,令r=,将式(2)化简得2(x)21(1-r2x-r2y)uim+2x+r2y)uim,j.=(1+r,j(3)mmmmmm将边界条件和初始条件离散后,并令um=(u1,1,u1,2,u1,n-1,un-1,1,un-1,2,un-1,n-1),则差分格式的求解成为求解一个线性代数方程组Aum+1=Bum+f,(4)式中:A为系数矩阵;矩阵B、向量f和向量um均为已知值.通过线性代数方程组(4)即可利用第m层的待求函数值求得第m+1

5、层的函数值.2隐式差分格式系数矩阵特征值的求取由于是二维差分格式,系数矩阵A,常困难.令U=ui,j,F=fi,j,则线性代数方程组(4)(5)Tn-1U+U其中,-2-r2r+-r(6)Tn-1=.-r-r2r+此时,系数矩阵Tn-1+2In-1-In-1A=-In-1-In-1-In-1Tn-1+2In-.Tn-1是特殊的三对角矩阵,关于它们的特征值已有结果2,即Tn-1的特征值+0.5,j=1,2,n-1;j=21-cosn相应的特征向量zj=sin,sin,sinnnNT,j=1,2,n-1.利用Tn-1的特征值和特征向量可求出矩阵A的特征值和特征向量.T定理1矩阵A的特征值为pq=z

6、q按列拉直的列向量,其中p=1.p+q,特征向量vpq是矩阵zp2,n-1;q=1,2,n-1.证明因为TTTzq+zq=zq,pzpqzppqzp(zq+zp(zq,pzp)qzq)=pqzp(Tn-1zp)zq+zp(qzq)TTTTTTTTT=zq,pqzpTT(Tn-1zp)zq+zp(Tn-1)zq)=zq,pqzpTT(zpzq),Tn-1(zpzq)+(zpzq)Tn-1=pq所以由式(6)和式(5)的等价关系得(下转第93页)89第3期关江等:一类退缩抛物型偏微分方程组解的加权L1模的有界性及爆破性(u+v)-(t)eJtm+m|u+v|m(u+v)22tmdx,从而,(17)

7、(t)Je(u+v)dx=J(t).解式(17)便得(u+v)dx=e-tJ(t)J(0)=(u0+v0)dx.若将式(16)以|u+v|f+gmm替换,定理3的结论同样成立.参考文献:1FiloJ,KacurJ.Localexistenceofgeneralnonlinearparabolic,J,(11):1597-1618.2JongUK.Smoothsolutionstoaquasilinearsystemofmodel,NonlinearAnalJ.TMA,1984,8(10):1121-1144.3YagiA.Globalpopulationdynamics,NonlinearAn

8、alJ.TMA,1993,21(8):603-630.4YamadaY.quasilinearparabolicsystemswithcross2diffusioneffects,NonlinearAnalJ.TMA,1995,24(9):1395-1412.(上接第89页)Avpq=pqvpq.利用定理1,可得出这类系数矩阵的特征值-cos+1,p=1,n-1;q=1,n-1.pq=p+q=22-cosnn(7)相应的特征向量vpq是矩阵zpzq按列拉直的列向量.T3结束语给出了二维热传导方程第一边值混合问题隐式差分格式,并给出该差分格式的矩阵特征值的一种求取方法,使原系数矩阵的特征值的求解简便,利于对该差分格式的稳定性和收敛速度作进一步的分析和估计.该方法可方便的推广到对称发展方程的差分格式矩阵特征值的求解.参考文献:1ChatelinF.EigenvaluesofMatrices