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1、首页>>高中数学>>学生中心>>课外阅读>>数学故事欣赏首页>>高中数学>>学生中心>>课外阅读首页>>高中数学>>学生中心>>数学达人简历首页>>高中数学>>教师中心>>教材培训>>视频介绍普通高中课程标准实验教科书·数学1第一章“集合与函数概念”简介当前位置：人教网2010>>高中数学>>教师中心>>同步教学资源>>课程标准实验教材>>教材介绍>&g

2、t;必修1王嵘本章学生将学习集合与函数概念的基础知识。集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容。本章中只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力。函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言来刻画函数，函数的思想方法将贯穿于高中数学课程的始终。一、内容和课程学习目标本章中，学生将学习集合与函数概念。通过本章的学习，应当使学生：1了解集合的含义与表示，理解集合间的关系和运算，感受集合语言的意义和作用。2进一步体会函数是描述变量之

3、间的依赖关系的重要数学模型，会用集合与对应的语言描述函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。3了解函数的构成要素，会求简单函数定义域和值域，会根据实际情境的不同需要选择恰当的方法表示函数。4通过已学过的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性的含义，会用函数图象理解和研究函数的性质。5根据某个主题，收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物（开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹、欧拉等）的有关资料，了解函数概念的发展历程。二、内容安排本章共安排了3个小节，1个实习作业和3个选学内容，教学时间约需13课时，大体分配如下（仅供参考）：1.1 集合约4

4、课时阅读与思考 集合中元素的个数 1.2 函数及其表示                               约4课时阅读与思考 函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质约3课时信息技术应用 用计算机画函数图象实习作业约1课时小结约1课时本章知识结构如下：【教会孩子独立思考的七个方法】1常说：

5、你先想想看；2遇到困难不立即帮助；3不管问题多荒唐都认真回答；4孩子想说说不出时，不立刻帮说出来；5不打扰孩子热衷的事，即使到睡觉时间；6对孩子的“新发现”，表示惊奇和赞叹。7教孩子做事，用语言解说，并要孩子复述。1集合语言是现代数学的基本语言。在高中数学课程中，它也是学习、掌握和使用数学语言的基础，因此把它安排在了高中数学的起始章教科书从学生熟悉的集合（有理数的集合、直线或圆上的点集等）出发，结合学生身边的实例引出元素、集合的概念，介绍了表示集合的列举法和描述法及Veen图；类比实数间的相等、大小关系，通过对具体实例共性的分析、概括出了集合间的相等、包含关系；针对具体实例，通过类比实数间的加

6、法运算引出了集合间“并”的运算，并在此基础上进一步扩展，介绍了“交”的运算和“补”的运算。这里采用类比方式处理集合间的关系和运算的目的在于体现知识之间的联系，渗透数学学习的方法。与以往相比，教科书对函数概念的处理方式发生了很大的变化。改变了以往先映射后函数的顺序，直接通过三个背景实例，在问题的引导下分析概括出运用集合与对应语言描述的函数定义。这样，既衔接了初中阶段将函数看成变量之间的依赖关系的认识，又进一步提升到用集合与对应的语言来刻画函数。为了理解函数概念的本质，教科书从函数的三要素、函数的符号、函数表示法三个角度对函数概念进行细化，最后将函数概念推广到了映射。这样处理的目的是将重点放在对函

7、数概念本质的理解上。教科书在不同的时机为学生提供了进行判断、练习、比较、讨论交流的机会，以便使学生通过主动思考与动手操作更好地理解函数概念。在函数的表示法中，教科书选取了两个贴近学生生活的实例（高一学年三位同学的数学成绩问题，汽车票价问题），展示了如何在实际情境中根据不同的需要选择恰当的表示方法，并结合相关内容介绍了分段函数及其应用。在讨论函数性质时，教科书通过问题，引导学生经历了“三步曲”：第一步，观察具体函数的图象，描述图象特征；第二步，结合相应的数值表，用日常描述性语言描述函数特征；第三步，引进数学符号，用形式化语言描述函数性质。希望通过这样的安排，帮助学生更好地认识函数的性质，并体会从

8、直观到抽象的过程。在这个过程中，教科书为学生提供了实际操作、自我探究的机会，例如由学生亲自给出函数最小值的定义等。函数概念是数学中的基本概念之一，它的发展成熟经历了漫长的岁月，融入了众多数学家的智慧。教科书在本章末安排了关注于函数概念的发展及在此过程中起重大作用的历史事件和人物的实习作业，让学生通过自己的实践和与他人的合作共同了解函数概念的发展历程，感受数学文化。三、编写本章时考虑的几个问题1利用丰富的背景实例创设问题情境，引导学生理解抽象的数学概念。本章学习的数学知识都是基础性知识，它们的使用贯穿了整个高中数学的学习，而它们又具有较高的抽象性，如函数、函数的单调性等概念。每一个抽象概念的产生

9、与发展总有它的现实或数学理论发展的需要，强调概念产生发展的背景，联系学生原有的认知基础，有利于学生理解抽象概念的内涵。因此，教科书就本章数学概念的特点选取了具有时代特点、贴近学生实际的事例创设情境。例如在引入元素和集合时，教科书安排了8个实例，既包括学生熟悉的“120以内的质数”“所有的正方形”等例子，又有与生活密切相关的“新华中学2004年9月入学的高一学生的全体”等例子；在引入函数一般概念时，选取了生活中的实例：炮弹的高度与时间的关系、南极臭氧空洞面积从1979年到2001年变化的图象、“八五”以来我国城镇居民恩格尔系数变化数据表；在介绍函数基本性质时，教科书运用了学生熟悉的二次函数、一次

10、函数的图象和数值表。在这些背景实例中，教科书在每一次知识的转折点上，都力求提出具有启发性、挑战性的问题，引导学生经历观察、思考、探究、交流、反思的过程，逐步获得对抽象概念的理解。例如，在函数单调性学习时，教科书在通过对图象观察，获得图象的特征后提出问题：“如何用数学形式化的语言描述函数图象的上升、下降呢？”，根据数值表就二次函数得到文字语言描述后，给出思考问题“对于用函数解析式f(x)=x表示的函数，如何用数学形式化的语言描述随着x的增大，相应的f(x)随着减小、随着x的增大，相应的f(x)也随着增大？”。丰富的背景实例、恰当的问题串和精辟的分析展现了知识发生发展的过程，反映了从具体到抽象、特

11、殊到一般的原则。对于学生，这些问题串就是他们在学习过程中主动思考、主动探究的“指示牌”，通过层层深入的思考与探究，经历数学知识的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉。2重视数学思想方法的渗透，体现数学的文化价值“科学性”与“思想性”是本套教科书努力创新的一个方面。根据本章数学知识内容的特点，教科书充分渗透了数形结合的思想方法。无论是利用Veen图表示集合的关系和运算，还是从对函数图象特征的描述入手，逐步获得严格的形式化的函数性质的定义，几乎在本章的每一处都充分体现了这一思想方法。并且，教科书还为学生掌握这一思想方法提供了许多机会，期望学生在阅读、思考与运用中逐渐掌握数形结合的方法，感受几何直观对

12、理解抽象概念和解决问题中的作用。教科书尽最大可能地展示了联想、类比、推广等研究数学问题中常用的逻辑思考的方法。例如通过类比方法的运用，类比数的大小、相等关系引入集合间的包含、相等关系；通过类比数的加法运算引出集合“并”的运算；通过推广函数概念获得了映射概念，等等。教科书中展示逻辑思考方法，可以使学生体会数学思考和探索活动的基本规律，养成良好的思维习惯，形成有条理地、符合逻辑地进行思考、推理、表达与交流的能力。数学是人类文化的重要组成部分，是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力。本章对数学文化给予了很大的关注，不仅提供了“阅读与思考 函数概念的发展历程”，而且还安排了让学生通过收集资料、阅

13、读思考、合作交流等学习方式完成实习作业，希望学生通过学习本章不仅在数学知识和能力方面得到提高，而且能够感受到数学文化的熏陶，逐步地认识数学的科学价值和人文价值，提高科学文化素养。3提供积极思考、自主探索的空间，使学生主动地学习丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念。学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式。本章在知识内容的呈现上为引导学生的积极思考、自主探索留下了比较充分的空间，采取的主要方法有：（1）设置具有启发性和挑战性的问题，引发学生的思考和探究。例如：思考

14、60; 我们知道，实数有加法运算。类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？考察下列各个集合，你能说出集合 与集合A，B之间的关系吗？A=1，3，5 ，B=2，4，6 ，C=1，2，3，4，5，6 ；A=有理数，B=无理数，C=实数。（2）在适当的时候提出学习要求或预留空白，为学生提供动手实践的机会。例如1.2节的例5的边框中提出如下要求：是否可以设计一个表格，让售票员和乘客非常容易地知道任两站之间的票价？（3）通过拓展性栏目，引导学生根据自己的兴趣，翻阅更多的资料，经过阅读自学、独立思考、讨论交流获取更多的知识。例如1.1集合中的“阅读与思考 集合中元素的个数”。四、对教学的几个建议1把

15、集合作为一种语言来学习根据标准的要求，高中数学课程只将集合作为一种语言来学习。因此，学习集合初步知识的目的主要在于能使用最基本的集合语言表示有关数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力。在教学中，可以将集合语言与自然语言及图形语言进行比较，并注意创设让学生使用集合语言进行表达和交流的丰富情境和机会，特别是在学习集合间的关系和运算时，要重视使用Venn图，以便学生在实际使用中逐渐熟悉自然语言、集合语言、图形语言的各自特点，并能根据实际需要进行相互转换，从中感受集合语言的意义和作用。例如利用问题“在平面直角坐标中，集合 就表示直线y=x，从这个角度看，集合表示什么？集合C、D之间有什么关系吗？请分

16、别用集合语言和几何语言说明这种关系”，可以使学生体会集合语言表达数学内容的特点，在不同语言的转换中感受集合语言的作用。在教学时，可以充分利用教科书提供的机会或开发一些情境，逐渐发展学生使用集合语言进行交流的能力。2函数概念的处理方式与以往相比，本章发生变化最大的就是函数概念的处理方式，在教学时，应给予充分的重视。从“先讲映射后讲函数”转变为“先讲函数后讲映射”的主要理由在于这样可以使学生更好地理解函数概念的本质。其一，在初中函数学习基础上继续深入学习函数，衔接自然，利于学生在原有认知基础上提升对函数概念的理解；其二，单刀直入进入函数概念的学习更有利于学生将注意力放在理解函数概念本质上，而不必花

17、大量精力学习映射、认识映射与函数间的关系后才能理解函数概念。从丰富的具体事例中概括函数的本质特征，得出函数概念，体现了从具体到抽象的认知规律，有利于学生建立关于抽象的函数概念的背景支持。在教学中，可以多为学生提供丰富的背景实例，也可以让学生自己举出一些函数实例，引导学生通过自己的观察、分析、归纳和概括，获得用集合与对应语言刻画的函数概念。当然，对函数概念本质的理解并非一次就可以实现的，要通过与初中定义的比较、与其它知识的联系以及不断的应用等才能逐步理解。除了在本章要适当地为学生提供反复理解函数概念的机会外，在后续的学习中，应当通过基本初等函数的学习，引导学生以具体函数为依托，反复地、螺旋上升地

18、理解函数的本质。3重视信息技术的使用考虑到我国不同地区信息技术硬件条件的差异性，以及可用于数学教与学的不同软件各具优势，教科书没有在正文中详述信息技术的使用，只在适于使用信息技术的地方利用边框给予提示，但在信息技术应用栏目中对用计算机做函数图象做了较为详细的介绍。本章有许多可以使用信息技术的机会，例如函数的求值，作函数的图象，研究函数的性质等，这主要是基于信息技术的图象功能和数值计算功能，它不仅能便捷地计算函数值、迅速绘制函数图象，而且许多软件具有交互式的动态环境，非常有利于学生的主动探究。因此，有条件的学校应尽量地加强数学教学与信息技术的整合，积极开发使用信息技术的空间，让学生利用信息技术探

19、索函数的图象与性质等，从而更好地理解函数概念。普通高中课程标准实验教科书·数学1第二章“基本初等函数（）”简介郭慧清指数函数、对数函数和幂函数是描述现实中某些变化规律的重要的数学模型，是高中阶段学习的三类重要且常用的基本初等函数，也是进一步学习数学的基础。本章中，学生将在第一章学习函数概念的基础上，通过三个具体的基本初等函数的学习，进一步理解函数的概念与性质，学习用函数模型研究和解决一些实际问题的方法。一、内容和课程学习目标本章主要学习指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数的概念和性质。通过本章学习，应使学生达到以下的学习目标：1了解指数函数模型的实际背景。2理解有理指数幂的含义，

20、通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。3理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。4在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。5理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。6通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。7知道指数函数y=ax 与对数函数y=loga x互

21、为反函数（a > 0, a1）。8通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x2, y=x3, y=1/x, y=x1/2 的图象，了解它们的变化情况。二、内容安排全章分为三节，教学时间约需15课时，具体分配如下（仅供参考）：21 指数函数                             

22、;     约6课时22 对数函数                            约6课时23 幂函数                

23、;                约1课时小结                                 

24、0;         约2课时本章知识结构如下：1本章首先涉及指数幂的扩充。学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂，学习了整数指数幂的运算法则有了这些知识作准备，教科书通过实际问题引出了分数指数幂，说明了扩张指数取值范围的必要性，由此先将平方根与立方根的概念扩充到n次方根，将二次根式的概念扩充到一般根式的概念，然后进一步探究了分数指数幂及其运算性质，最后通过有理指数幂逼近无理指数幂，通过一个实例介绍了无理指数幂的概念，将指数的范围扩充到了实数。2指数函数是

25、高中新引进的第一个基本初等函数，因此，教科书先给出了指数函数的实际背景，然后对指数函数概念的建立、指数函数图象的绘制、指数函数的基本性质的发现与指数函数的初步应用，作了完整的介绍。指数函数是本章的重点内容之一3教科书从具体问题引进对数概念。从对数概念的建立过程可以看出，教科书是从指数运算与对数运算的互逆关系来建立对数概念的（这与历史上对数的发明先于指数不同），这为学生学习时发现与论证对数的运算性质提供了方便。与传统教科书另一个较明显的区别是，这里加强了对数的实际应用与数学文化背景。4对数函数同指数函数一样，是以对数概念和运算法则作为基础讲授的对数函数的研究过程也同指数函数的研究过程一样，目的是

26、让学生对建立和研究一个具体函数的方法有较完整的认识。在学习了指数函数与对数函数后，以两个底数相同的指数函数与对数函数介绍了反函数的概念。对一般的反函数概念，教科书根据标准的要求没有作更多的介绍，这也是与传统教科书有区别的另一个地方。5幂函数是实际问题中常见的一类函数，教科书是从具体问题中归纳了以1、2、3、 、1这五个数作为指数的幂函数y=x， ，并通过它们的图象归纳出这五个幂函数的基本性质。三、本章编写中考虑的几个问题1.以适当的问题带动学生的学习，使他们在解决问题的过程中自主地建构知识问题是思维的动力，是生长新思想、新方法与新知识的种子。课程内容“问题化”，实际上是将那种从定义到概念到定理

27、，再用概念和原理解决问题的“演绎式”教材体系，转化为问题引导的，体现知识发生发展过程的，从大量的、丰富的具体事例中通过归纳概括而获得数学的概念与法则的“归纳式”教材体系。这样的转化有利于学生学习方式的改进，能促使他们积极主动学习。本章充分关注高中学生的心理发展和分析能力、思维能力明显增强的特点，强调以问题激发学生的学习动机和兴趣，引起学生的“认知冲突”，使他们带着问题学习。例如，在“指数”与“指数函数”的内容中，教科书先给出了两个实际例子：GDP的增长问题、碳-14的衰减问题。前一个问题是为了让学生回顾初中已经学习过的整数指数幂，体会其中的函数模型；后一个问题是为了让学生进一步感受到指数函数的

28、实际背景，激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的强烈欲望，为新知识的学习作铺垫。又如，在2.1.2的“指数函数及其性质”的学习中，教科书安排了问题“例8截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口约为多少（精确到亿）？”在学习“对数”概念时，教科书首先提出的问题是：“在2.1.2的例8中，我们能从关系中，算出任意一个年头的人口总数。反之，如果问哪一年的人口数约为18亿，20亿，30亿？该如何解决？”，这样的问题可以使学生看到指数函数、对数函数的研究源于社会生活、生产的需要，可以促进学生在解决问题的过程中理解知识。2强调学生的动手操作和

29、主动参与，让他们在观察、操作、探究等活动中归纳和发现知识与结论，使学生学习方式的改进落在实处为了促进学生主动学习，提高他们分析问题和解决问题的能力，教科书充分重视为学生提供动手操作与主动参与的机会。例如，在“无理数指数幂”的学习中，不仅让学生根据提供的数据表格，观察无理指数幂是怎样用有理指数幂来逼近的，同时还安排了“思考”，让学生自己动手制表、观察并说明无理指数幂的含义。又如，在绘制指数函数与对数函数图象的过程中，教科书没有提供完整的自变量与函数值的对应值表，而是留空让学生自己填充。再如，在“幂函数”的基本性质的处理上，教科书设计了如下活动：探究 观察图2.3-1，将你发现的结论写在下表内：&

30、#160; 定义域值域奇偶性单调性定点3. 积极探索数学课程与信息技术的整合，适当体现信息技术的应用为了更好地发挥信息技术的作用，为学生进行自主探究、理解数学本质提供有力的认知工具，本章加强了信息技术与课程内容的整合。如“用有理指数幂逼近无理指数幂”中的近似计算，利用“碳14”含量测定生物体死亡时间等。特别是在利用指数函数与对数函数的图象发现指数函数与对数函数的基本性质的内容中，教科书安排了以下的内容：探究 选取底数（ ）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内作出相应的指数函数的图象。观察图象，你能发现它们有哪些共同特征？探究 选取底数（）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内作出相应的对数函数的

31、图象。观察图象，你能发现它们有哪些共同特征？上述探究活动，为学生使用信息技术发现指数函数与对数函数的基本性质提供了机会，可以让学生在信息技术构建的动态环境下，通过观察函数图象的连续变化，发现指数函数与对数函数的一些基本性质。4. 重视数学知识与实际问题的联系，关注数学应用，让学生体会数学是自然的并且是有用的为了使学生感受指数函数、对数函数的现实和数学背景，使学生感到引进和研究它们的必要性，在本章的每一个概念的产生过程中，都注意了通过具体实例，展示函数模型的实际背景，使学生理解不同的变化现象应当用不同的函数模型来描述。同时，在例题、练习、习题与复习参考题中，安排了较多的实际应用问题，如人口问题、

32、碳14考古问题、增长率问题、细胞分裂问题、地震震级计算问题、溶液酸度的测量问题、臭氧层保护问题等，以加强本章研究的基本初等函数与现实的联系性。四、对教学的几个建议1突出指数函数与对数函数是现实世界中的重要数学模型，强调它们的实际背景和应用价值。把指数函数、对数函数等作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，要求结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法，强调指数函数、对数函数、幂函数是三类不同的函数增长模型，这是本章学习要求的重要变化。因此，要加强让学生通过具体实例了解指数函数、对数函数模型实际背景的教学；要利用适当的事例，让学生体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型

33、的增长含义；另外，还可以要求学生通过收集现实生活中普遍使用的函数模型实例，去了解这些函数模型的广泛应用。2引导学生体会数学知识结构的严谨性。本章中，指数幂概念及其运算性质的拓展内涵了数学研究中对数学知识发展的逻辑合理性、严谨性的要求，教学中要引导学生认真体会。指数幂的运算性质，是在根式与分数指数幂的基础上，先将整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂的运算性质；然后在有理指数幂逼近无理指数幂的思想指导下，再将有理指数幂的运算性质推广到了实数范围。指数幂的运算性质的每一次推广，都需要考虑严谨性的要求。3充分发挥函数图象的几何直观作用，加强数形结合思想教学。数形结合、几何直观等数学思想方法是本章学习中

34、的重要思想方法，它们对于理解本章的几个基本初等函数的性质（例如增长模式）是十分重要的，同时信息技术又使得函数作图变得方便、快捷，并且可以构建一种动态环境，为学生利用图象直观研究函数性质提供了有力工具。因此，教学中应充分注意发挥函数图象的作用，让学生自己作出函数图像，通过观察图象变化规律来研究函数的性质。4恰当使用信息技术教科书虽然没有明确提示利用信息技术研究指数函数、对数函数和幂函数的图象与性质，但本章中有许多内容适合使用信息技术，例如指数、对数值的计算；借助计算工具，比较指数函数、对数函数与幂函数增长的差异；借助计算器或计算机画出具体的指数函数、对数函数的图象，探索并理解它们的单调性与特殊点

35、，等等。因此，只要条件允许，教学中就应当充分使用信息技术。5注意把握教学要求与以往教材比较，本章在内容、要求以及处理方式上都发生了许多变化，归纳起来有如下几点：（1）以往教材要求掌握有理指数幂的运算性质，不要求学生了解无理指数幂，不要求用有理指数幂逼近无理指数幂；本章要求通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算，并体会“用有理数逼近无理数”的思想。（2）以往教材在对数换底公式上没有要求；这里要求学生知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。（3）以往教材要求掌握指数函数、对数函数的概念、图象和性质；这里要求能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与

36、特殊点。（4）以往教材要求了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数；这里对反函数的处理，只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，只通过比较同底的指数函数和对数函数，说明指数函数y=ax和对数函数y=loga x互为反函数（a > 0,a1），不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数。（5）以往教材不要求学习幂函数；这里要求通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x2, y=x3, y=1/x, y=x1/2 的图象，了解它们的变化情况。（6）以往教材对指数函数与对数函数的应用没有给出明确的要求；这里要求学生在解决简单实际问题

37、的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用。教学中要切实关注上述变化，把主要精力用在让学生通过具体实例了解指数函数模型、对数函数模型的实际背景，通过实例体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义，以及了解这些函数模型的广泛应用上，而不要过分地追求那些细枝末节（如求定义域、值域，讨论复合函数的单调性、奇偶性等）。2004-09-10普通高中课程标准实验教科书·数学1第三章“函数的应用”简介白涛在本章，学生将在已学过的函数概念、指数函数、对数函数、幂函数的基础上，结合实际问题，感受运用函数概念

38、建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题同时还将学习利用函数的性质求方程的近似解，了解函数的零点与方程根的联系一、内容与课程学习目标本章学习的主要内容是函数与方程（函数的零点与方程根的关系），函数模型及其应用。本章学习的目标是：1结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系2根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法3利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函

39、数类型增长的含义4收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用二、内容安排全章共有2节和一个实习作业，另外还有三个选学内容，教学时间约需8课时，大体分配如下（仅供参考）：3.1 函数与方程                             

40、              约2课时阅读与思考    中外历史上的方程求解信息技术应用  借助信息技术求方程的近似解3.2 函数模型及其应用                        &

41、#160;            约4课时信息技术应用  收集数据并建立函数模型实习作业                                

42、0;                约1课时小结      约1课时本章知识结构如下：（1）建立函数模型解决问题的过程 （2）本章知识安排的前后顺序 1本章的主要内容是方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解、几种不同的函数增长模型、函数模型的应用举例建立实际问题的函数模型，利用已知函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解，是在

43、建立和运用函数模型的大背景下展开的方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”，建立和运用函数模型中蕴含的“数学建模思想”，是本章渗透的主要数学思想二分法是本章介绍的主要数学方法 2在初中一元二次方程和一元二次函数学习的基础上，教科书通过比较一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象和x轴的交点的横坐标之间的关系，给出了函数的零点的概念，并揭示了方程的根与对应的函数的零点之间的关系然后，通过探究介绍了判断一个函数在某个给定区间存在零点的方法和二分法并且，教科书在 “用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔3教科书运用选自投

44、资方案和制定奖励方案两个问题，引出函数模型增长情况比较的问题，接着运用信息技术从数值和图象两个角度比较了指数函数、对数函数、幂函数的增长情况的差异，说明了不同函数类型增长的含义4函数基本模型的应用是本章的重点内容之一教科书分别以行程问题、人口增长问题、商品定价问题、未成年人的生长发育问题为例，在丰富的实际背景中对不同的变量关系进行了研究，分别介绍了分段函数、指数型函数、二次函数的应用，在这个过程中渗透了拟合的基本思想 三、编写中考虑的几个问题1问题取材广、立意新，以利于增强学生的应用意识函数模型的应用主要围绕具体问题展开研究，问题的取材与设计是这部分内容的关键教科书注意结合不同学生的实际，选择

45、大多数学生熟悉的背景，在例题、练习、习题和复习参考题中，针对不同的函数模型，为学生设计了素材广泛、内容新颖的问题，以利于开阔学生的视野，让学生从中体会函数模型应用的广泛性和重要性在问题的立意上，教科书从函数模型的特点出发，从不同的侧面提出能激发兴趣的问题例如行程问题是学生接触较多的，但要说明速度与时间关系图中的部分面积的实际含义，对学生来说却是新颖的；以往学生主要是建立路程、速度、时间的关系式，对建立汽车里程表读数与时间的分段函数，却具有新的挑战性又如人口问题涉及我国的基本国策，教科书的例题要求根据过去一段时间的人口数据，对何时能达到我国现在的人口数量进行预测，学生就容易对预测的结果进行评价，

46、这对激发学生兴趣有好处又如桶装水的定价问题，将学生置入一个现实环境中，让他们以一个经营者的身份对身边简单的经营问题进行决策，这有利于学生自觉地将所学的知识用于解决实际的问题再如建立身高与体重的函数模型，由于学生会急于了解自己的身高与体重是否正常，所以能激起他们探求这个函数模型的欲望，将这一问题的解决过程变为主动的探求过程通过设计一系列这样的问题，将有利于增强学生的应用意识2以函数模型的应用为主线，多视点宽角度地研究问题本章除了函数模型的应用之外，还要介绍函数与方程的一些关系，以及几种函数模型在增长上的差异教科书在处理上，以函数模型的应用这一主要内容为主线，以几个重要的函数模型为对象或工具，将各

47、部分内容紧密结合起来，使之成为一个整体首先依托二次函数模型，通过研究几个具体的二次函数及其相对应的方程，得到方程的根与函数的零点的关系，然后将此结果化归为一般的结论在此基础上，进一步利用其他函数模型，研究其对应方程的解，将二分法融入函数模型的应用之中对不同函数模型在增长差异上的研究，教科书依然围绕函数模型的应用这一核心，结合具体实例展开讨论，让学生在应用函数模型的过程中，体验到指数函数、对数函数、幂函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点有了这些铺垫，再来具体研究函数模型的应用，在内容上层次分明，系统性强，而学生学习的目的也很明确全章起于函数模型，终于函数模型，函数模型的应用贯穿始终，

48、使看似零散的内容浑然一体，从不同的方面对典型的问题，多视点宽角度地进行了研究3渗透数学思想方法，关注数学文化本章不仅重视数学与实际的联系，而且还重视数学思想方法的渗透本章所涉及的数学思想方法主要包括：由实际问题抽象为函数模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；研究函数与方程关系的过程中蕴涵的函数与方程的思想；用二分法求方程近似解的过程中解法的程序框图所蕴涵的算法思想为体现函数建模思想在解决问题中的作用，教科书结合具体问题，从运用函数模型、比较常见函数模型的特点、介绍典型的函数模型、建立函数模型等多个侧面全面地作了体现为渗透函数与方程的思想，教科书一方面对函数的零点与方程的根进行专门研究，另一

49、方面又在求方程的近似解和函数模型的应用中注意函数与方程的联系算法思想虽然是数学模块3的内容，但考虑到学生学习的螺旋上升、循序渐进的特点，所以在用二分法求方程的近似解时，教科书给出了解法的程序框图，渗透了算法的思想，同时也为选修系列1中框图的学习奠定了基础通过教科书来传承古今中外先进的数学文化，介绍数学的发展，反映数学的作用，体现科学的进步，使学生逐步认识数学的科学价值和人文价值，提高科学文化素养，这是本套教科书的一个特色本章在“阅读与思考”栏目专门介绍了方程求解在中外历史上的发展情况，这不仅给学生认识方程的解提供了更广阔的空间，同时还让学生了解到古今中外不少数学家在方程求解中所取得的成就，特别

50、是可以了解我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献本章还在函数模型的应用实例和实习作业中，结合教学内容不失时机地介绍了马尔萨斯人口模型和牛顿冷却模型，将数学成果的介绍与学生的学习、实践融为一体，学生通过本章的学习不仅在数学知识和能力方面可以得到提高，而且还能够感受到数学文化的熏陶4重视信息技术应用如何运用信息技术是本章教科书考虑的一个重要问题信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响，信息技术工具的使用能为学生的数学学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具要让学生较为全面地体会函数模型的思想，特别是运用函数模型研究广泛的社会实际，就会遇到数据、图象等方

51、面处理上的困难在以往，由于缺乏信息技术的支持，使得象求方程近似解这样一些更具普遍性的问题的解决寸步难行，象二分法这样一些重要的数学方法难以在教科书中呈现，函数的应用问题也常常局限在一些狭小的范围内，并且研究的问题陈旧，题目人为编造的痕迹明显，不能有效地激发起学生的学习兴趣，更不利于学生分析问题解决问题能力的培养在本章中，教科书自始至终都充分运用计算器、计算机、数据采集器和传感器等信息技术工具，并在两个不同地方设置了“信息技术应用”栏目，不仅使处理复杂的数据和图象成为可能，还使学生运用信息技术解决本章问题更加得心应手例如，利用信息技术工具，就可以在不同的范围观察到指数函数、对数函数和幂函数的增长

52、差异这样，就使学生有机会接触到一些过去难以接触到的数学知识和思想方法，也使教科书在问题的选择上更具广泛性，并更接近真实学生在学习中，自然会感到耳目一新、亲切自然，并在利用信息技术解决问题的过程中，提高对数学学习的兴趣，加强对数学知识的认识，经历更多的数学建模的过程，增加应用函数模型的机会5重视分析、解决问题能力的培养比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义，是本章的一个重要内容但由于指数函数、对数函数和幂函数的增长变化复杂，这就使得学生在研究过程中可能遇到困难为了解决这一难点，教科书分三个步骤，创设问题情景，并通过恰点恰时而

53、又层层递进的问题串，让学生在不断的观察、思考和探究的过程中，弄清几个函数间的增长差异，并培养分析问题解决问题的能力第一步，教科书先创设了一个选择投资方案的问题情景，在解决问题的过程中给出了解析式、数表和图象三种表示，然后提出了三个思考问题，让学生一方面从中体会直线上升和指数爆炸，另一方面也学会如何选择恰当的表示形式对问题进行分析第二步，教科书又创设了一个选择公司奖励模型的问题情景，让学生在观察和探究的过程中，体会到对数增长模型的特点第三步，教科书提出了三种函数存在怎样的增长差异的问题先让学生从不同角度观察指数函数和幂函数的增长图象，从中体会二者的差异；再通过两个探究问题，让学生对幂函数和对数函

54、数的增长差异，以及三种函数的衰减情况进行自主探究这样的安排可以引导学生积极地开展观察、思考和探究活动，对分析问题、解决问题能力的培养将有积极的推动四、对教学的几个建议1注意由浅入深、循序渐进地建立函数与方程的关系对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则分三步来展开这部分的内容第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质研究方程的解，体现函数与方程的关系第三步，在函数模型的应用过程中，通

55、过建立函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系逐步建立起函数与方程的联系2注意函数与实际问题的联系，体现数学建模的思想我们生活在一个充满变化的多彩世界，其中存在大量问题可以通过体现变量关系的函数模型得到解决，这就为函数的应用的教学提供了大量的实际背景在本章中，实际问题情境贯穿于教科书的始终，无论是对几种不同增长的函数模型的研究，还是对函数模型的应用举例的学习，都是在解决实际问题的过程中进行的，全章大多数内容都是围绕实际问题的讨论而展开的，反映了函数与现实之间的关系，能提高学生对函数是解决现实问题的一种重要数学模型的认识利用函数模型解决实际问题是数学应用的一个重要方面教材一方面注意让

56、学生认识常见函数模型的特点，另一方面还注意选择贴近学生生活实际的各种问题，引导学生用已学过的函数模型分析和解决它们，使函数的学习与实际问题紧密联系，并在解决问题的过程中将数学模型的思想逐步细化，从更高的层面上认识函数与实际问题的关系3注意以函数模型的应用为主线，带动相关知识的展开本章除了函数模型的应用之外，还要介绍函数的零点与方程的根的关系，用二分法求方程的近似解，以及几种不同增长的函数模型教科书在处理上，以函数模型的应用这一内容为主线，以几个重要的函数模型为对象或工具，将各部分内容紧密结合起来，使之成为一个系统的整体教学中应当注意贯彻教科书的这个意图，是学生经历函数模型应用的完整过程。4恰当

57、使用信息技术本章的教学中应当充分使用信息技术。实际上，本章的一些内容，因为涉及大数字运算、大量的数据处理、超越方程求解以及复杂的函数作图，因此如果没有信息技术的支持，教学是不容易展开的。因此，教学中应当加强信息技术的使用力度。2004-09-10  发挥数学的内在力量为学生谋取长期利益 人民教育出版社中数室章建跃一、功利化环境下数学教育的问题 当今功利化社会环境下，应试教育占据主导地位，注重考试分数、升学率等眼前利益，忽视理性精神、数学能力和全面发展等长期利益。由于教育观念相对落后，教学方法比较陈旧，导致数学教学中出现诸多问题。例如：数学教学“不自然”，

58、强加于人，对提高学生数学学习兴趣不利；缺乏问题意识，对创新精神、实践能力的培养不利；不重视基本概念、核心数学思想的教学，缺少必须的归纳、抽象、概括活动，对提高学生数学素养不利；重结果轻过程，缺少一以贯之的逻辑思考和数学推理活动，损害数学思维过程的完整性，对提高学生数学思维能力不利；解题教学注重“题型+技巧”，学生机械重复、模仿记忆，缺少独立思考，数学思维发展迟缓，并导致学生数学课业负担过重；等等。这些都与“德育为先，能力为重，全面发展”的要求相违背，对“建设人力资源强国”的战略目标不利，对创造性人才培养更不利。可以说，我们的教育培养出来的是考试“人才”，而不是能够真正解决问题的人才。 

59、;如何改变这种现状呢？我认为，还是要从数学教育内部寻找答案。也就是说，只有全面、清楚地认识数学学科独特的育人功能，从数学教育的内在规律出发，充分发挥数学的内在力量，才能使数学在培养人才（特别是创造性人才）中发挥独特作用。 二、数学的内在力量在哪里 数学的力量在哪里呢?首先我们可以从数学先哲们那里获得启发。 公元前68年，希腊哲学家泰勒斯（Thales）提出不能用神秘宗教来解释自然，要创造一个演绎的方法，利用逻辑的思想来统一自然界与几何的现象。这一思想产生了深远的影响。毕达哥拉斯学派认为，宇宙的实体有两个：一个是数字，万物皆数，数的存在是有限方面的实体；一个是无限的

60、空间，空间的存在是无限方面的实体。数字跟空间结合在一起就产生出宇宙万象。19世纪伟大的法国数学家傅里叶说，数学可以用来决定最一般的规律，同时也可以量度时间、空间、温度，所以数学跟大自然一样广泛、丰富，和大自然走的是相同的轨道，也共同见证着宇宙的包容、简洁、稳定。当代最伟大的数学家之一丘成桐先生说，数学的美，使我们与大自然更接近，大自然的美开阔了我们的胸襟，拓展了我们的视野很幸运的是，自然界的真理往往是极为美妙的。所以从数学的美选择出来的方程、选择出来的图形，往往能够解释大自然里的真理。 先哲们的教导让我们认识到，数学与大自然同构，是探索知识和进行科学研究的最重要工具，不仅能“证明”大

61、自然的规律，而且通过严密的推理还能发现和“预言”大自然的规律。“数学是思维的科学”，因而数学又是一门“关于内心科学”，因此数学是训练学生思维的不可或缺的学科；同时，思维是智力的核心，因此学习数学又是学习者提高智力水平、培育理性精神的康庄大道。 总之，从“数学育人”的角度看，数学教育不仅能培养学生的空间观念、运算能力、思维能力(特别是逻辑思维)等，使学生掌握认识和解决大自然中各种问题的工具，而且能在培育学生的理性精神上发挥不可替代的作用，使学生的内心世界变得更加强大，这就是数学内在力量之所在。 三、数学家的“理性精神” 科学崇尚真理，科学家最讲实事求是，不被表象迷惑，总要“打破砂锅问到底”，不找到现象背后的原因誓不罢休，这就是“理性精神”。但在探寻真理的过程中，数学家的理性精神表现得很独特，他们追究的不仅是大自然的奥秘，而且也是人的内心奥秘，是那种最本源性的、最本质的东西。我们可以看人类数学史、科学史上曾经发生过的事。 微积分本质上是研究运动与变化现象的。例如瞬时速度（瞬时变化率），加速度（变化率的变化率）它改变了科学的面貌。但自然科学家