一元二次方程培优提高例题

1、一元二次方程培优提高例题考点一、概念(1)定义：只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程就是一元二次 方程。(2)-般表达式：ax2+bx + c =工0)难点：如何理解“未知 数的最高次数是2”：该项系数不为“0”；未知数指数为“2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题:例1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是(A3（x +1）2= 2（x +1）_L+l-2 = 0JCxax2+hx + c = O变式：当kDx2+2x = x2+1时，关于X的方程販+3是一元二次方程。例2、方程（,” +2）小+3沐+1 = 0是关于X

2、的一元二次方程，则m的值为_o针对练习：1、方程加=7的一次项系数是_ ,常数项是_02、若方程（，fo是关于x的一元一次方程，求m的值；写出关于x的一元一次方程。3、若方程（,”一甘+册心是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是4.若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）B.m=2,n=l考点二、方程的解是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知夕+y一3的值为2 ,则4/ + 2”的值为_例2关于X的一元二次方程（_2川+/一4 = 0的一个根为A.m=n=2C.n=2,m=lD.m=n=l概念: 使方程两边相等的未知数的值，就0,则a的值为

3、说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3已知关于x的一元二次方程宀心皿旳的系数满足则此方程必有一根为_说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数 式的值。y2-8y+ 5/7/ = 0的两个根,则m的值为针对练习: 1已知方程宀心10=0的一根是2,则k为_另_根是2.已知关于X的方程芒+“2=0的一个解与方程吕=啲 解相同。(1)求k的值；方程的另一个解。 3.已知m是方程宀 2“的一个根，则代数式 5、方程(a-b)x2+(b-c)x + c-a = 0的一个根为()A -i例4、已知淞是方程A2-4x + m = 0的两个根,4、已知

4、是x2-3x 4-1 = 0的根,贝|2t/2-6a =方程形式：如(ax + m)2= (bx + n)296、若力+5 一3 = 0,妙4 32 =考点三、解法方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法=m(m 0),= x = y/m对于(十)(cix + /7)2= (bx + n尸等形式均适用 直接开方法典型例题：例解方程：(1)2X2-8 = 0;(3X1-x)2-9 = 0;例3、若9(1)2 =16(卄2尸，则X的值为_o针对练习：下列方程无解的是()A.X2+3 = 2X2-1B.(2)2=0C. 2x + 3 = -xD/+9 = 0方程特点：左边可以分解为两个一次因式关

5、键点：降次类型 f 直接开方法：-(2)25 -16，=0；例么解关于X的方程:ax2-b = 0Tnp|t -因式分解法:(= x = x. fiJcx = x2方程形式：如(ax + m)2= (bx + n)29的积，右边为“0”,方程x2+ px + q = 0的二根为舜,则F + pX + = (X-M)(X-X2)(x + ax+ )= (% +ax + c),册=|，兀2 =3变式1 :(/ +Z?2)2-(2+庆)一6 = 0,勉2+b =_ O变式2:若A-2+xy + y = 4 , y2+ + x = 28, 则x+y的值为_o例亠方程宀卜卜6“的解为()A.X = -3

6、 x 2 = 2D 斗=2 = -2E.X = 3, x 2 = 2C.x=3, x2= -3例乳 解方程：，+2（、$+1卜+2巧+4 = 0例乐已知2x2-3xy-2y2=0，则三的值为_变式：已知2x -3xy-ly2= 0，日.x 0,y 0, 则 Q 的值X 为_oA2+2ax + a2=0典型例题:例1.2x（x 3）= 5（x 3）的根为（）例2若(4x + )/ + 3(4x + y)-4 = 0 ,则4x+y的值为_方程x2+ px + q = 0的二根为舜,则F + pX + = (X-M)(X-X2)针对练习：1.下列说法中:-x2+ 6x - 8 = (x - 2)(x

7、 - 4)- 5b + 6Z? =(a 2)(“ 3)4，一),2=(/+刃(仮 + &)(低一“)5方程(3x +1)2-7=0可变形为(3x + l + )(3x + l - )= 0正确的有()A.1个B2个C.3个D.42、以1+、厅与1为根的一元二次方程是()3.写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为倒数:写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为,且两根互为相反数:_4.若实数X. y满足(x+y-3Xx+)+2=o,则x+y的值为C 1或25、方程：宀丄=2的解是_A.X2-2x-6 = 0B Ibx+b2_4ac4(r在解方程中，多不用配方法；但常利用配方

8、思想求解代数式典型例题: 例 X 试用配方法说明12“啲值恒大于0。例2.已知x. y为实数，求代数式宀）*一4）+啲最小 值。例3.已知，+）2+46）+13 = 0,“为实数，求的值。针对练习:1试用配方法说明-曲+74的值恒小于0。2、已知宀g-x-丄4 = 0,则尤+丄=XXX -3.若/=2-7-3X2+12X-9, 则t的最大值为_,最小值为_O1、 关于X的方程宀如心）的两根同为负数，则（）A.卩且“0:B “且卬0C.卩o日.彳oD. 日/ 2、 如果方程宀2“,”=。有两个同号的实数根，则啲取值范围是（）A.w 00类型四.公式法的值或极值之类的问j例4.分解因式:4.v2+

9、12x + 3(1)条件：(d工0,且b? - 4ac 0)公式：“ 土加-,升应2_仏“)2a典型例题：例K选择适当方法解下列方程：（5）3（x _卅3尤 +1） = （x _必2兀 +5）说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。例2.在实数范围内分解因式:说明：对于二次三项式ax2+hx + c的因式分解，如果在有理数范围内不能分解,一般情况要用求根公式，这种方法首先令ax2+bx + c=Q9求出两根，再写成ax +bx + c ax一x)(x -x2).分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.（l）3（l

10、 + x）2=6.（x + 3X-V + 6）= -8X2-4X+ 1=0（4）3X2-4X-1 = 0（1）疋-2亦-3；（2 ）- 4x2+ 8兀 一1 （3）2x2-4xy-5y2程组。型例题:例2.如果，+“亠。，那么代数式宀2宀7的值。例3已知是一元二次方程宀3x + l=0的一根，求=的值。说明：在运用降次思想求代数式的值的时候，要注意两方面的问题：能对已知式进行灵活的变形；能利用已知条件或变形条件, 逐步把所求代数式的高次籌化为低次,最后求解。例4、用两种不同的方法解方程组2x_y = 6,(1) 1例亠已知关于X的方程T -&+ 2)x + 2R=0(1)求证：无论k取

11、何值时，方程总有实数根;(2)若等腰AABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根，求AABC的周长。例4.已知二次三项式9宀(加+6)“，2是一个完全平方式， 试求加的值.说明：若二次三项式为一个完全平方式，则其相应方 程的判别式 =0即：若b2-4ac = 09则二次三项式ax2+bx+c(a0)为完全平方式；反之，若ax2+Z?x + c (a H 0)为完全平方式，则b -4ac = 0.例5、冲为何值时,方程组mx+ y = 3有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？针对练习： X 当k_时，关于x的二次三项式宀心+9是完全平方式。2、当取何值时，多项式次是一个完全平方式? 这个完

12、全平方式是什么？3.已知方程卅+“。有两个不相等的实数根，则m的值是_4为何值时，方程组!my -4x-2y + l=0(2)有两组不相等的实数解;(3)没有实数解.A A A 5当斤取何准时，方程X2-4u +4x+ 3r-2?+4 =0均为有理数？考点五、方程类问题中的“分类讨论” 典型例题：例1.关于X的方程(? +1)亍+2皿3 = 0有两个实数根，则m为只有一个根，则m为_例2不解方程，判断关于x的方程宀2(一小一根的 情况。例3.如果关于X的方程宀心+2“及方程_2“0均有实 数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求岀这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。(1)有两组相等的实数

13、解，并求此解;的根与程组化为解一元二次方程的问j考点六、根与系数的关系前提：对于+bx+c = O而言,当满足心0、时，才能用韦达定理。(2)主要内容:X+X, = - ,xxx-,= aa应用：整体代入求值。典型例题：例 叭 已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2X2-8X+7=0的两根，则这个直角三角形的斜边是()说明：要能较好地理解.运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握，+、Qb、ab、/+戸之间的运算关系.例2、解方程组:说明：一些含有x+八F+F、心的二元二次方程组, 除可以且A.V3B.3C.6D.V6卜+y = 10,xy = 24;x2+ y1= 10,x+y=2程组化为解一元二次方程的问j代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方有时，后者显得更为简便.例3、已知关于X的方程“+(2)2 = 0有两个不相等的 实数根勺宀，(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数虬使方程的两实数根互为相 反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。例4、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程 (二次项系数为1)时，小明因看错常数项，而得到解为8和2,小红因看错了一次项 系数，而得到解为9和-1。你知道原来的方程是