定解问题和本征值问题

1、1典型方程与定解问题典型方程与定解问题许多物理规律、过程和状态都可以用微分方程来许多物理规律、过程和状态都可以用微分方程来表述。表述。根据物理规律建立方程根据物理规律建立方程 泛定方程（共性）泛定方程（共性）根据边界及初始状况建立根据边界及初始状况建立定解条件（定解条件（个性个性）u边界条件：物理系统与外部的相互作用边界条件：物理系统与外部的相互作用u初始条件：物理系统过去的历史初始条件：物理系统过去的历史求一个微分方程的解使之求一个微分方程的解使之满足一定的初始条件和边满足一定的初始条件和边界条件的问题界条件的问题 问题泛泛定定方方程程定定解解条条件件定定解解220u220uaut 220t

2、tuau 波动方程波动方程描述现象：声波、电磁波描述现象：声波、电磁波等波动过程等波动过程输运方程输运方程描述现象：热扩散、物质描述现象：热扩散、物质扩散等扩散过程扩散等扩散过程稳定场方程稳定场方程 描述现象：电势、稳定温描述现象：电势、稳定温度场分布等与时间无关的度场分布等与时间无关的稳定场。稳定场。一、常见的偏微分方程一、常见的偏微分方程3一般情况一般情况稳定态稳定态输运输运方程方程u不随不随t 变化变化泊松方程泊松方程拉普拉斯方拉普拉斯方程程波动波动方程方程u不随不随t 变化变化泊松方程泊松方程拉普拉斯方拉普拉斯方程程即即 u 随随 t 周期的变化周期的变化 k=w/a为波数为波数亥姆霍

3、兹方亥姆霍兹方程程2uuft 2222uauft 2/uf 20:0fu 20:0fu 22/ufa 22( , , , )( , , )0i tu x y z tv x y z evk v 4二、定解条件二、定解条件n初始条件：初始条件：v输运方程：输运方程：v波动方程：波动方程：0( , )|( )tu r tr 初初始始分分布布00( , )|( )( , )( )ttu r tr u r trt 初初始始位位移移分分布布 初初始始速速度度分分布布5n边界条件边界条件v第一类边界条件：直接规定了所研究物理量在第一类边界条件：直接规定了所研究物理量在边界上的数值。边界上的数值。v第二类边界

4、条件：第二类边界条件：规定了所研究的物理量在边规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值。界外法线方向上方向导数的数值。v第三类边界条件（混合边界条件）：第三类边界条件（混合边界条件）：规定了所规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值。界上的数值。1|uf 2ufn 3uuHfn 6例例1：长为：长为l的均匀杆的导热问题的均匀杆的导热问题（1）杆的两端温度保持零度；）杆的两端温度保持零度；（2）杆的两端均绝热；）杆的两端均绝热；（3）杆的一端恒温零度，另一端绝热。）杆的一端恒温零度，另一端绝热。三种情况下的边界条件分别为：三种

5、情况下的边界条件分别为：设设u(x,t)为杆为杆的温度函数的温度函数 以上均为齐次边界条件。00,0 xx luu （1 1）00,0 xx luuxx（2 2）000,00,0 xx lx lxuuuuxx （3 3）或或722220uaut例例2 2：弦弦振振动动问问题题 - - = = 初始条件：初始条件：边界条件：边界条件：初始时刻的位移初始时刻的位移初始时刻的速度初始时刻的速度 00( , )|( )( , )( )ttu r tru r trt 0001( , )|( , )|0203( )xx lxlx lu x tu x tuxYSuuu tkx 或或、两端固定两端固定端点受力

6、端点受力弹性受力弹性受力8n衔接条件：反映两种介质交界处物理状况的衔接条件：反映两种介质交界处物理状况的 条件。条件。II,CuIIII,Cu交界面上交界面上电学问题：电位连续，电位移矢量法向分量连续；电学问题：电位连续，电位移矢量法向分量连续；热传导问题：热流强度矢量法向分量连续；热传导问题：热流强度矢量法向分量连续；扩散问题扩散问题：扩散流强度矢量法向分量连续。扩散流强度矢量法向分量连续。IIIIIIIIIuuuuCCxx 9例例3：两种电介质的界面：两种电介质的界面 /上的电势。上的电势。连接条件：连接条件：（电势连续）（电势连续）（电位移矢量的法向分量（电位移矢量的法向分量连续）连续）

7、121212uuuunn 10n其它边界条件其它边界条件v有限性条件：在没有源处，物理量一般有界有限性条件：在没有源处，物理量一般有界v无穷远条件：无穷远条件：v周期性单值条件周期性单值条件lim0ru= =或或有有限限数数(2 )( )uu11=- 本征值、本征函数和本征值问题本征值、本征函数和本征值问题0(0)( )0XXXX l ？( )0a ( )xxX xCeDe 00llCDCeDe 代代入入边边界界条条件件：00CD 00CDl 代代入入边边界界条条件件：( )0b ( )X xCDx 00CD 仅仅有有零零解解仅仅有有零零解解12( )0c ( )cossinX xCxDx0sin0CDl 代代入入边边界界条条件件：0sin0Dl 或或2( )sin() (1,2,3,)nnnXxDxnl ，其其中中仅有零解仅有零解(1,2)lnn 0(0)( )0XXXX l 可见：可见： 的取值不是任意的，只能取某些特定的的取值不是任意的，只能取某些特定的数值才有满足条件的非零解。这些特定的数值才有满足条件的非零解。这些特定的 值称值称为为本征值本征值，相应的非零解称为，相应的非零解称为本征函数本征函数