(完整word版)高中数学必修5第三章不等式单元测试及答案

1、、选择题第三章不等式1 .已知 x> -,则 f（x） = x 4x + 5 有（）.2 2x 4A.最大值5B.最小值-C.最大值1442 .若x> 0, y>0,则（x+2）2 + （y+工）2的最小值是（）.2y2xA. 3B. 7C. 43 .设a>0, b>0则下列不等式中不成立的是 （）.D.最小值1D.1八 CA. a+ bd>2J2 .abC.22a_b_>a+b .abD. 2ab > Jaba b4.已知奇函数 f（x）在（0, + °°）上是增函数，且f（1） =0,则不等式f(x) gx) <0x

2、第14页共11页A. (-1, 0)U(1, +8)B. (8, 1)U(0, 1)C. (8, 1) U(1, +8)D. ( -1, 0) U (0, 1)一 ：一2-,5,当0vxv时，函数f(x)= 1+cos2x+ 8sin x的最小值为().2sin2xA. 2B, 2<3C. 4D. 4g6.若实数a, b满足a + b=2,则3a+3b的最小值是().A. 18B, 6C, 2 <3D, 2痣x > 04 7 .若不等式组x + 3y >4,所表示的平面区域被直线y = kx+分为面积相等的两33x+ y < 4部分，则k的值是（4C.一3D.7A

3、.一38 .直线x+ 2y+3=0上的点 P在x-y=1的上方，且 P到直线2x+y6=0的距离为34，则点P的坐标是(A. ( 5, 1)B. ( -1, 5)C. ( -7,2)D. (2, -7)9 .已知平面区域如图所示，z= mx+ y(m>0)在平面区域内取得最优解(最大值)有无数多个，则m的值为()7A.20B.20D.不存在10.当x>1时，不等式x+ L>a恒成立，则实数 ax 1的取值范围是()A. (8,2B. 2, +oo )C. 3, +8)(第9题)D.(巴 3二、填空题11,不等式组(x-y+ 5)( x+ y) > 0所表示的平面区域的面

4、积是0<x< 3x+2y-3<012.设变量x, y满足约束条件x+ 3y- 3>0,若目标函数z= ax+y(a>0)仅在点(3,y 一 1 w 00)处取得最大值，则 a的取值范围是 .13 .若正数 a, b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是 .14 .设a, b均为正的常数且 x> 0,y>0, + b = 1,则x+ y的最小值为 . x y15 .函数y=loga(x+ 3) - 1( a>0,且a1)的图象恒过定点 A,若点A在直线 mx+ ny12+ 1 = 0上，其中mn>0,则2的最小值为.m n16 .某工厂的年

5、产值第二年比第一年增长的百分率为p1,第三年比第二年增长的百分率为P2,若P1 + P2为定值，则年平均增长的百分率p的最大值为 三、解答题V217 .求函数y= x +7x + 10 (x>1)的最小值.x + 118 .已知直线l经过点P(3, 2),且与x轴、y轴正半轴分别交于 A, B两点，当 AOB面积最小时，求直线l的方程.(第18题)19.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨;生产每吨乙产品要用 A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润每吨乙产品可获得利润 3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过不超过18吨.那么该企业可获得

6、最大利润是多少？5万元，销售13吨，B原料20. (1)已知xv 5 ,求函数 y=4x1+-1的最大值;4x 5(2)已知x, yCR*(正实数集)，且1 + 9=1,求x+ y的最小值;x y,2(3)已知 a>0, b>0,且 a2+ b- = 1,求 a#+b2 的最大值.参考答案1. D、,2解析：由已知f(x) = x 4x+52x4,、2(x 2) +1 1 g 1 - (x2)+2(x-2)2x-2x> 5 , x 2>0, 211、11-(x 2)+- . 2J(x-2)=1 ,2x- 22 V x-2当且仅当x2=',即x= 3时取等号.x-

7、22. C1c 1c解析：(x+)2+(y+)2 2y2x9 x , 1=x2 + + y 4y万 + y2+ -+T17x 4xx2+3 +4x22 1y 24y- x2+47>2Vx2 5"当且仅当x2 =24xx=时取等号; 221 c 21”y 47Jy 斤'1当且仅当y2= -2 , 4y三2时取等号;22x+y >2jx y =2(x> 0, y>0),当且仅当- = , y2=x2 时取等号 y x . y xy x. x2+工 + y2+r + - + >1 + 1 +2=4,前三个不等式的等号同时成立 4x4y y x2时，原式

8、取最小值，故当且仅当x= y=2时原式取最小值 4.3. D解析：方法一：特值法，如取a = 4, b=1,代入各选项中的不等式，易判断只有 二abJaba b不成立.A： a+b+ 1= >2vab +>2a ab, ab2 Jab $ = 2 i 2 ,不等式成立. abB：a + b>2 vab >0, 1 + 1 >2a baL>0,，-1相乘信 (a + b)(一a1 . 一+ - ) >4成立.bC：a2+b2=(a+b)2-2ab>(a+ b)222b =2D：a b又 Jab w2a+b>2Vab2.2a b2ab>a

9、+b成立.<201 =2,ab方法二：可逐项使用均值不等式判断T。1 x(第4题)不成立.4. D解析：因为f( x)是奇函数，则f( x) = f(x),f( x)f( x) <021cxl <0 xf(x) V0,满足 x 与 f(x)异xx号白x x的集合为所求.因为f(x)在(0, +8)上是增函数，且 f(1)=0,画出f(x)在(0, +8)的简图如图，再根据 f(x)是奇函数的性质得到 f(x)在 (8, 0)的图象.由f(x)的图象可知，当且仅当xC (-1, 0)U(0, 1)时，x与f(x)异号.5. C解析：由 0vxv，有 sinx>0, cos

10、x> 0.,八八2/2 八241+ cos2x + 8sin x 2 cos x + 8sin x cosx , 4sin xf( x) = =+sin 2x2sln xcosx sin x cosx-cosx4sln x, 出口小业 cosx4slnx日口, 1g 用“ ”>2 J =4,当且仅当=，即 tan x= 一时，取= .s sin xcosxsin xcosx20<x<1存在 x 使 tan x=,这时 f(x) mm = 4.226. B解析：= a+b= 2,故 3a+3bR2j3a 3b =2*：3a b =6,当且仅当 a=b=1 时取等号.故3a

11、+3b的最小值是6.7. A解析：不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分 ABC.由 x+3y4 得 A(1, 1),又 B(0, 4), C(0, 4).3x + y=43由于直线y=kx+ 4过点C（0, 4）,设它与直线4像7题）3x+ y= 4的交点为D ,1.贝U 由 Sa BCD= Saabc ,知25 = kx 1+ 4, k =8. AD为AB的中点，即1xd=2解析：设P点的坐标为（Xo, yo）,则Xo+ 2y0+ 3= 0 ,X0 y01 vO,2xo+y0 6xo= - 5, 解得 ,y0=1.点P坐标是（一5, 1）.9. B.5= 3.5.解析：当直线 mx+y

12、= z与直线AC平行时，线段AC上的每个点都是最优解.3-丝 kAC= 5- = -51 m = ,即20二,20m=2010. D解析：由x+1-x-1(x- 1) + 1 ,x-1x>1,x- 1 >0,贝U有(x1) +1.八+1 = 3, x 11, 八- + 1>2.(x 1) - x-1.则 a<3.、填空题(第11题)第一个不等式组所对应的区域如图,11. 24.解析：不等式(xy+5)( x+y) > 0可转化为两个二元一次不等式组.(x-y+ 5)( x+ y) > 00<x< 3x y+ 5> 0xy+5W0x+ y&g

13、t; 0 或 x+ y< 00<x< 30<x<3这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求.第二个不等式组所对应的区域不存在.图中 A(3, 8), B(3, 3), C(0, 5),阴影部分的面积为3 (11+5) =24.2 C、112. a a> 2解析：若z= ax+ y( a>0)仅在点(3, 0)处取得最大 值，则直线z= ax + y的倾斜角一定小于直线 x+ 2y3 = 0的倾斜角，直线z= ax + y的斜率就一定小于直线 x+2y -3=0的斜率，可得：一av 1,即a> 1 .2213. ab>9.解析：由于a, b均

14、为正数，等式中含有ab和a+b这个特征，可以设想使用 史艺 JOb2构造一个不等式.ab=a+b + 3>2y1ab+3,即 ab> 2Vab + 3(当且仅当 a= b 时等号成立),(Tab )2 2痴-3>0, ('ab -3)( Vab +1)>0, v'ab >3,即 ab>9(当且仅当 a=b = 3 时等号成立).14. (8+石)2.解析：由已知0, bx均为正数, x yx+y= (x+y)( a + 2)=a+b+ _ay + >a+b+ 2 I= a+ b+2VOb ,x yx y x y即J x= a+<a

15、b时取等号 d y= b+Jab，ay _ bx即x+yn(ja+和)2,当且仅当dx y a b1=1L x y15. 8.解析：因为y=loga x的图象恒过定点(1, 0),故函数y=loga(x+ 3)1的图象恒过定点A( 2, -1),把点A坐标代入直线方程得 m( -2) +n( 1) +1 = 0,即2m+n=1,而由mn>0知n, 4m均为正, m n +2 = (2m+n)( l+-) = 4+ + 4m>4 + 23 = 8,当且仅当m nm nm n；mn,1n 4m m=-m=N 即：时取等号.2m+ n=1' n216. P.2解析：设该厂第一年的

16、产值为a,由题意，a(1+ p)2=a(1+p1)( 1 + p2),且1 + p1>0,1 + p2>0,22所以 a( 1 + p)2= a( 1 + p1)( 1 + p2)Wa 1_pp2 = a 1+_p_p2 ,解得22pWtp2,当且仅当1 + p1=1+p2,即p1=p2时取等号.所以p的最大值是卫士四22三、解答题17 .解：令 x+1 = t>0,贝U x=t- 1,y=2(t 1) +7(t 1)+10tt2+ 5t + 4 =t+3 tt4当且仅当t= 4 ,即t=2, x= 1时取等号，故x= 1时，y取最小值9. t18 .解：因为直线l经过点P(

17、3, 2)且与x轴y轴者防目交,故其斜率必存在且小于 0.设直线l的斜率为k,则l的方程可写成y2=k(x3),其中k<0.令 x=0,则 y=23k;令 y=0,则 x= + 3.kSa aob = 1(2 3k)( 2 + 3)= 1 12+( 9k)+(-)2k 2k= 12,当且仅当(9k)=( 4),即k = - 2时，Sx aob有最小值12,所求直线方程为k32rrA原料用量B原料用量甲产品x吨3x2x乙产品y吨y3y19.解：设生产甲产品 x吨，生产乙产品y吨，则有关系:y-2=- -(x- 3),即 2x+3y 12=0.x 0y 0则有，目标函数z= 5x+3y3x y <132x 3y <18作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知 当x=3, y=4时可获得最大利润为 27万元.520.解：(1) x< - , - 4x-5<0,故 5-4x>0.41,1、y= 4x 1 +=-(5-4x+)+4.5-4x+ 15 4x4x 55 4xc ,、1>2J5- 4x) =2,5- 4xyw 2+4=2,当且仅当5-4x= - , IP x= 1