(鲁京津琼专用)2020版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用(第2课时)教案(含解析)

1、第2课时导数与函数的极值、最值题型一用导数求解函数极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f' (x),且函数y= (1 x)f ' ( x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()5x< 2 时，f ' (x)>0 ;f ' (x)<0 ;A.函数f(x)有极大值 B.函数f(x)有极大值 C.函数f(x)有极大值 D.函数f(x)有极大值 答案 D 解析由题图可知，当 当一2Vx<1时f(2)和极小值f(1)f(2)和极小值f(1)f(2)和极小值f( -2) f ( 2)和极小值f(2)当 1

2、<x<2 时，f ' ( x)<0 ; 当 x>2 时，f ' (x)>0.由此可以得到函数 f(x)在x=- 2处取得极大值, 在x=2处取得极小值.命题点2求已知函数的极值例2 (2018 泉州质检)已知函数f(x)=x 1+月(aCR,e为自然对数的底数)，求函数f(x) e的极值.a e a解 f (x) = 1,= ex ,当awo时，f' ( x)>0 , f(x)为(一°°,十8)上的增函数，所以函数f(x)无极值.当 a>0 时，令 f' (x) = 0,得 ex= a,即 x= in

3、 a,当 xC(8, in a)时，f' (x)<0；当 xC(ln a, +8)时,f' (x)>0,所以f(x)在(00, in a)上单调递减，无极在(in a, +oo)上单调递增，故f(x)在x= in a处取得极小值且极小值为 f (in a) = in a, 大值.综上，当awo时，函数f(x)无极值； 当a>0时，f(x)在x= in a处取得极小值in a,无极大值.命题点3根据极值(点)求参数例3若函数f(x) = 慨。+*+1在区间g, 4上有极值点，则实数a的取值范围是( 3 23A.c 102,3B.c 1023C.10了'1

4、7D.172, 4答案 Dx 因为a=2时，f(x)在区间4上不存在极值点， a 2斛析因为 f (x) = § 2* + x+1,所以 f' (x)=x2ax+1.x2ax+ 1 = 0 在区间；3函数f(x) =1|x2+x+1在区间；，4上有极值点，可化为 3 23有解,rr1 1即计在区间3,4上有斛,设 t(x)=x+；则 t' (x) = 1 -2, xx1令 t (x)>0,得 1<x<4,令 t (x)<0,得 3Vx<1.-41，工、U，所以t(x)在(1,4)上单调递增，在 1上单调递减.3所以 t(x)min=t(1

5、) =2,又 t - =?, t (4) =17, 334所以ae 2,.思维升华函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤确定函数的定义域；求导数f ' ( x);解方程f ' (x) = 0,求出函数定义域内的所有根； 列表检验f ' ( X)在f ' ( X)= 0的根X0左右两侧值的符号.(2)根据函数极值情况求参数的两个要领列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.验证：求解后验证根的合理性.跟踪训练1 设函数f (x) = ax3- 2x2+ x + c.(1)当a=1,且函数f(x)的图象过点(0,1

6、)时，求函数f(x)的极小值；(2)若f(x)在(8,+8)上无极值点，求 a的取值范围.2解 f ( x) = 3ax 4x+ 1.(1)函数f(x)的图象过点(0,1)时，有f (0) =c=1.当 a=1 时，f(x) =x3-2x2+x+ 1, f' (x) = 3x24x+ 1,由f' (x)>0,解得 x<1 或 x>1；3由 f' (x)<0,解得 1<x<1.3一，-1 f，所以函数f(x)在8,-和(1 , +8)上单调递增，3_ 1，一，在1上单倜递减，3所以函数f(x)的极小值是f(1) =132X12+1+1

7、= 1.(2)若f ( x)在(8, +OO )上无极值点，则f(x)在(一8,+8)上是单调函数，即 f' ( x) = 3ax24x+1 >0 或 f' ( x) = 3ax24x+1 wo 恒成立.当a=0时，f' (x)=4x+1,显然不满足条件；当awo时，f' (x)>0或f' (x)wo恒成立的充要条件是 = ( 4)2 4X3ax1W0,即16- 12a<0,解得 a>4.3综上，a的取值范围为4, +00 .3题型二用导数求函数的最值. ，一一 x 1例4 (2018 贵阳检测)已知函数f(x)= 一lnx.x求

8、f (x)的单调区间；，一一 ，1(2)求函数f(x)在大e上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数). e解 (1) f (x) =x- ln x= 1 In x, xxf(x)的定义域为(0 , +8).由 f' ( x)>0 ,得 0<x<1，由 f ' (x)<0 ,得 x>1, .f (x) = 1- In x在(0,1)上单调递增，在(1 , +°°)上单调递减. x(2)由(1)得f(x)在1, 1上单调递增，在1 , e上单调递减, e又 f - = 1 -e- In 1=2- e,ee f(x)在e 上的最大

9、值为 f(1) =1 ；ln1 =0. e1f(e) = 1 1 lne = - 1，且 f 1 <f(e),ee e .f (x)在, e上的最小值为f - =2e. ee,1 .f (x)在e上的取大值为 0,取小值为2 e.思维升华(1)若函数在区间a, b上单调递增或递减，f(a)与f(b) 一个为最大值，一个为 最小值；(2)若函数在闭区间a, b内有极值，要先求出a, b上的极值，与f(a), f(b)比较，最大 的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；(3)函数f(x)在区间(a, b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.

10、跟踪训练2 (2017 北京)已知函数f(x)=excosx x.(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程；,一一 兀(2)求函数f(x)在区间0,上的最大值和最小值.解 (1)因为 f(x) =excosx-x,所以 f' ( x) = ex(cos x sin x) 1, f ' (0) = 0.又因为f(0)=1,所以曲线y = f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y= 1.(2)设 h( x) = ex(cos x-sin x) - 1,贝U h' ( x) = ex(cos x sin x sin x cosx) = 2exsin x.兀

11、当 xe 0, 2"时，hz (x)<0 ,兀所以h(x)在区间0,上单调递减，兀所以对任意xC 0, 有h(x)<h(0) =0,即 f' ( x)<0 ,兀所以函数f(x)在区间0,上单调递减，兀一一兀兀因此f (x)在区间0, 2上的最大值为f(0) =1,最小值为f =一万.题型三函数极值、最值的综合问题. ax2+bx+c _.一 .例5(2018 珠海调研)已知函数f(x) =x(a>0)的导函数y = f (x)的两个零点为一3e和0.求f (x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为一e3,求f(x)在区间 5, +8)上的最大值.到

12、小 一 / 、2ax+bex ax2+bx+c ex解(1) f (x) =re2 .ax + 2a b x+ b c =x.e令 g( x) = ax2 + (2 a b) x + b c,因为ex>0,所以y= f' (x)的零点就是g(x) = ax2+(2ab)x +bc的零点且f' (x)与g(x) 符号相同.又因为 a>0,所以当一3Vx<0 时，g(x)>0,即 f' (x)>0 ,当 x<3 或 x>0 时，g( x)<0 ,即 f' ( x)<0 ,所以f(x)的单调递增区间是(一3,0),

13、单调递减区间是(一0°, 3), (0 , 十°°).(2)由 知，x= 3是f (x)的极小值点，9a 3b+ c3= e ,e所以有g0=b-c=0,g -3 =- 9a 3 2a b + b c=0,解得所以a = 1, b = 5, c= 5,2 ., x + 5x + 5 f(x) =e.因为f(x)的单调递增区间是(一3,0),单调递减区间是(一0°, 3) , (0 , +°°),所以f(0) =5为函数f(x)的极大值,故f(x)在区间5, +8)上的最大值取f(5)和f(0)中的最大者，而f(5)=3 = 5e5&g

14、t;5 e=f(。)，所以函数f(x)在区间 5, +8)上的最大值是 5e5.思维升华(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小.(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. .一.32.2 .一.跟踪训练3 已知函数f (x) =ax + 2x - 4x+ 5,当x=w时，函数f( x)有极值，则函数f (x) 3在3,1上的最大值为.2解析 f (x) = 3ax+4X 4,由f' I = 0可彳导a=1,经验证f |为极值；333 一 2，f(

15、x) =x + 2X 4X+5,2f ( x) = 3x +4x 4.令 f' (x) = 0,解得 x=- 2 或 x= 2.3当x变化时，f ' ( x), f (x)的取值及变化情况如表所示:x-3( 3, -2)-2一 2一2 一2, 3232七 11f' (x)十十0一0十十f (x)81395274函数f (x)在3,1上的最大值为13.利用导数求函数的最值例(12 分)已知函数 f(x) = lnx-ax(aR) .(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f (x)在1,2上的最小值.规范解答，1解 (1) f (x) =一一a(x&

16、gt;0), x一 一 1当awo时，f (x)=a>0,即函数f(x)的单倜递增区间为(0, +8). 2分 x1一,11当a>0时，令f (»=呈一a=0,可得x = a，、“1 i一， 1 - ax当 0<x<一时，f (x) =>0;ax、“1 ,1 - ax当 x>一时，f ( x) =<0,ax1故函数f(x)的单调递增区间为 0,-, a工，一一1八单调递减区间为a，+8 .4分综上可知，当awo时，函数f(x)的单调递增区间为(0, +8)；当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为0, 1 ,单调递减区间为 3，+8 .

17、5分aa(2)当1W1,即a>l时，函数f(x)在1,2上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2) =ln2 a一2a.6分一 1 一 1 .当->2,即0<aW5时，函数f(x)在1,2上是增函数，所以f(x)的取小值是f(1)= a.7a2分当1<1<2,即1<a<1时，函数f(x)在1,；上是增函数，在 2上是减函数.a 2aa又 f(2) f(1) = ln2 -a,一,1所以当2<a<ln2时，最小值是f (1) = a；当 ln2 & a<1 时，最小值为 f(2) =ln2 -2a.11 分综上可知，当0<

18、a<ln2时，函数f(x)的最小值是f(1) =a；当a>ln2时，函数f(x)的最小值是f(2) =ln2 2a.12分16用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤第一步：(求导数)求函数f(x)的导数f' (x)；第二步：(求极值)求f (x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：(求端点值)求£(*)在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进比较，确定 f(x)的最大值与最小值;第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范1.函数f(x)的定义域为R,导函数f' (x)的图象如图所示，则函数f(x)(

19、)A.无极大值点、有四个极小值点B.有三个极大值点、一个极小值点C.有两个极大值点、两个极小值点D.有四个极大值点、无极小值点答案 Cx= xi解析 设(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为 xi, X2, X3, X4. 当x<xi时，f' (x)>0, f(x)为增函数，当 xi<x<x2时，f' (x)<0, f(x)为减函数，贝 为极大值点，同理，x=x3为极大值点，x=x2, x=x4为极小值点，故选 C.2.函数f (x) = 1x3 4x+4的极大值为()3A.28B. 6C.3答案 A2解析 f (x) =x 4=(x+

20、2)( x2),f(x)在(8, 2)上单调递增，在(2,2)上单调递减,在(2 , +8)上单调递增，所以f(x)的极大值为f (-2)=28. 33.函数y= xex的最小值是()A. 1B. e1C. D.不存在e答案 C解析 因为 y = xex,所以 v = ex + xex= (1 +x)ex.当 x> 1 时，y' >0；当 x< 1 时，y' <0, 所以当x = - 1时，函数取得最小值，且ymin= 1.故选C.e4. (2018 南昌调研)已知e为自然对数的底数，设函数 f(x) = (ex1)( x1)k(k=1,2), 则()A

21、.当k=1时，f (x)在x=1处取得极小值B.当k=1时，f (x)在x=1处取得极大值C.当k=2时，f (x)在x=1处取得极小值D.当k=2时，f (x)在x=1处取得极大值答案 C解析当 k=1 时，f' (x) =ex x1, f' (1)w0, x= 1不是f (x)的极值点.当 k=2 时，f' ( x) = (x1)( xex+ex 2),显然f ' (1) = 0,且在x= 1附近的左侧f ' ( x)<0 ,当 x>1 时，f ' (x)>0 , f (x)在x=1处取得极小值.故选 C.5.已知函数f (

22、x) =x3 + ax2+ bx+ a2在x= 1处有极值10,则f(2)等于()A. 11 或 18B, 11C. 18D. 17 或 18答案 C解析 ,函数 f (x) =x3+ax2+bx+ a2在 x=1 处有极值 10,，f (1) = 10,且 f ' (1) = 0,又2f ( x) = 3x +2ax+ b,1 + a+b+a2=10,a=3, a=4,解得或3+2a+b=0,b=3b=- 11.a = - 3,而当时，函数在x=1处无极值，故舍去.b=3 .f (x) =x3 + 4x答案 平，+ 00 2解析 f (x) = 3x 3a = 3(x+a)( xa)

23、,由 f' ( x) = 0 得 x= ± a,当一a<x<a时，f ' (x)<0 ,函数f(x)单调递减；当x>a或x<a时，f' (x)>0,函数f(x)单调递增，f(x)的极大值为f( - a),极小值为f (a).- 11x+ 16,f(2) =18.6.若商品的年利润 y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为 y= x3+ 27x+ 123(x>0),则获得最大利润时的年产量为()A. 1百万件B. 2百万件C. 3百万件D. 4百万件答案 C解析 V, = 3x2+27= 3(x + 3)( x3),

24、当 0<x<3 时，v' >0；当 x>3 时，v <0.故当x=3时，该商品的年利润最大.3 a.7. (2018 海南联考)右*=1是函数f(x) =x+x的一个极值点，则头数 a=.答案 32 a解析 f' (x) = 3x2f ' (1) = 3a=0,得a=3.经检验，符合题意.8.函数f (x) = x、3_33_3_ f( a) = a + 3a + a>0JeL f(a) = a -3a + a<0,解得a12.a的取值范围是乎，+8 .9.已知函数f (x) =- x3+ ax2-4在x= 2处取得极值，若 m

25、e 1,1,则f(m)的最小值为3a2x +a(a>0)的极大值是正数，极小值是负数，则 a的取值范围是答案 4解析 f ' (x) = 3x2 + 2ax,由 f(x)在 x=2 处取得极值知 f' (2)=0,即一3X4+2aX2 =0,故 a= 3.由此可得 f (x) = x3+3x24.f ' (x) = 3x2+6x,由此可得f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，.当 1,1时，f ( m) min = f (0) = 4.10. (2018 长沙调研)已知 y=f (x)是奇函数，当 xC (0,2)时，f (x) =ln x-ax

26、 a>2 ,当 xC (2,0)时，f(x)的最小值为1,则a =.答案 1解析 由题意知，当x (0,2)时，f(x)的最大值为一1.令( x) = - a= 0,彳导 x = -, xa1 一 .，当 0<x<-时，f (x)>0; a1 , 一当 x>-时，f (x)<0. a，f(x)max= f - =ina1 = 1 解得 a=1. a11.已知函数f(x) = ax2blnx在点A(1 , f(1)处的切线方程为 y=1.求实数a, b的值；(2)求函数f (x)的极值.b解 (1) f (x)的te义域是(0 , +°°)

27、 f (x) = 2ax xf(1) =a= 1, f' (1) = 2a-b=0,将a= 1代入2a b= 0,解得b= 2.(2)由(1)得 f (x) = x2 2ln x( x>0),2 2x2-2所以 f (x)=2x 一=,x x令 f' (x)>0,解得 x>1,令 f' (x)<0,解得 0Vx<1,所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1 , +8)上单调递增，所以f (x)极小值=f (1) = 1 ,无极大值.x3+x2, x<1,12. (2018 武汉质检)已知函数f(x)=aln x, x>1.(1

28、)求f(x)在区间(8, 1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在1, e(e为自然对数的底数)上的最大值.2解 当 x<1 时，f (x) = 3x + 2x= x(3 x2),令 f' (x) = 0,解得 x=0 或 x=2.3当x变化时，f ' ( x), f (x)的变化情况如下表：x(°°, 0)020, 32323，1f' (x)一0十0一f (x)极小值极大值故当x=0时，函数f(x)取得极小值f (0) =0,函数f(x)的极大值点为x = 2. 3(2)当一1W x<1时，由 知，函数f(x)在1,0和2, 1上单

29、调递减，在 0, 2上单调 33递增.24,因为 f( -1) = 2, f - = , f(0) =0, 32 7所以f(x)在1,1)上的最大值为2.当 1WxWe 时，f(x)=alnx,当 awo 时，f (x) W0；当a>0时，f(x)在1 , e上单调递增，则f(x)在1 , e上的最大值为f(e) =a.故当a>2时，f(x)在1, e上的最大值为a；当a<2时，f(x)在1, e上的最大值为2.313 .函数 f(x)= x3x1,右对于区间3,2上的任意xi,X2,都有 |f (Xi) f (X2)|wt,则实数t的最小值是()A. 20B.18C. 3D. 0答案 A 2解析 因为 f ( x) = 3x 3= 3(x1)( x+1),令f' (x) = 0,得x= ±1,可知一1,1为函数的极值点.又 f( 3) = 19, f( -1) = 1, f (1) =- 3, f (2) =1,所以在区间3,2上，f (x)max= 1) f (x) min =一 19.由题设知在区间3,2上,f ( x) max f ( x) min W t