(完整word版)高中数学的八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球

1、八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型(三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径)图1图2图3方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式图4222(2R)2 a2 b2c2,即 2R J a2 b2 c2 ,求出 R例1 (1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为A. 16 B . 20 C . 244,体积为16,则这个球的表面积是(D . 32(2)若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为<3 ,则其外接球的表面积是解：(1) Va2h 16, a 2, 4R2 a222a h 4 4 16 24, S 24 ,选 C； 4R2 3 33 9, S 4 R2

2、 95MN,若侧棱SA 2J3,则(3)在正三棱锥S ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且 AM正三棱锥S ABC外接球的表面积是。 36解：引理：正三棱锥的对棱互垂直 。证明如下： 如图(3) -1 ,取AB, BC的中点D,E ,连接AE,CD , AE,CD交于H ,连接SH ,则H是底面正三角形ABC的中心， SH 平面ABC , SH AB ,AC BC, ADBD, CD AB, AB 平面 SCD,AB SC,同理:BC SA, AC SB,即正三棱锥的对棱互垂直,本题图如图(3)-2,AM MN , SB/MN ,AM SB, AC SB, SB 平面 SAC,SB S

3、A, SB SC, SB SA, BC SA,SA 平面 SBC,SA SC,故三棱锥S ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，(2R)2 (2.3)2 (2.3)2(2.3)236 ,即 4R2 36 ,正三棱锥S ABC外接球的表面积是36(3)题-210 C.36、4、40 D. 33,那么它的外接球的表面积是（4）在四面体S ABC中，SA 平面ABC , BAC 120 ,SA AC 2, AB 1,则该四面体的外接球的表面积为（D ） A.11B.7（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为 何体外接球的体积为1的等腰直角三角形

4、和边长为 1的正方形，则该几解析:(4)在 ABC中，BC2 AC22AB 2ABBC cos120 7BCJ7 , ABC的外接球直径为2rsinBCBAC（5）三条侧棱两两生直,ab12bcabcac(6) (2R)b24222(2R)2 (2r)2 SA2)240万设三条侧棱长分别为24, a 3, b2 q D23c 3, R 4a,b,c ( a,b,cR ),则4,c 2, (2R)22.2a b229, S 4 R 29V 4 R33类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）,321 .题设：如图5, PA平面ABC解题步骤：第一步：将 ABC画在小圆面上， A为小圆直径的一个端

5、点，作小圆的直 径AD，连接PD ,则PD必过球心O ;第二步：O1为ABC的外心，所以OO1 平面ABC,算出小圆Q的半r （三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得asin Absin Bc1 2r), OO1 PA ；sinC2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 PA2 (2r)2 2R P PA2 (2r)2 ； R2r2 OO12R ,r2 OO122.题设：如图6, 7, 8, P的射影是 ABC的外心 三棱锥P ABC的三条侧棱相等 三棱锥P ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点 P点也是圆锥的顶点P图8-3解题步骤:第一步：确定球心 O的位置，取ABC的外心

6、Oi,则P,O,Oi三点共线;第二步：先算出小圆 O1的半径AO1 r ,再算出棱锥的高 PO1 h （也是圆锥的高）第三步：勾股定理：OA2 O1A2 O1O2R2 （h R）2 r2 ,解出R方法二：小圆直径参与构造大圆。例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（）CA. 3 B. 2C. 16D ,以上都不对3解：选 C, ( 3 R)2 1 R2, 3 2 3R R2 1 R2, 4 2.3R 0,23,S4 R2163类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）图9-1图9-2P图9-3图9-4391 .题设：如图9-1 ,平面PAC 平面ABC，且AB BC （即AC

7、为小圆的直径）第一步：易知球心 。必是 PAC的外心，即 PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC 2r ;第二步：在 PAC中，可根据正弦定理 一c 2R,求出Rsin A sin B sin C2 .如图9-2 ,平面PACOC2 O1C2 O1O23 .如图9-3 ,平面PAC平面ABC ,且ABR2 r2 O1O2平面ABC ,且ABBC （即AC为小圆的直径）AC 2R2O1O2BC （即AC为小圆的直径），且P的射影是ABC的外心 三棱锥P ABC的三条侧棱相等三棱P ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点 P点也是圆锥的顶点解题步骤:第一步：确定球心 O的位置，取 ABC的外心

8、O1,则P,O,O1三点共线;第二步：先算出小圆 O1的半径AO1 r ,再算出棱锥的高 PO1 h （也是圆锥的高）；第三步：勾股定理： OA2 O1A2 O1O2R2 （h R）2 r2 ,解出R4.如图9-3 ,平面PAC 平面ABC，且AB BC （即AC为小圆的直径），且PA AC ,则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：（2R）2 PA2 （2r）22R VPA2 （2r）2 ； R2 r2 OOi2R 、r2 OQ2例3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1,底面边长为2J3,则该球的表面积为 （2）正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为 J2 ,各顶点都在同

9、一个球面上，则此球的体积为解：（1）由正弦定理或找球心都可得 2R 7, S 4 R2 49 ,4（2）万法一：找球心的位置，易知r 1 , h 1, h r ,故球心在正万形的中心 ABCD处，R 1, V 一3方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC的外接圆，此处特殊， Rt SAC的斜边是球半径，42R 2, R 1 , V (3)在三麴t P ABC 中，PA PB PCJ3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60 ,则该三棱锥外接球的体积为（A.B.C. 4D.解：选D,圆锥A, B,C在以r3八J的圆上,2（4）已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球径，且SC 2 ,则此棱锥的体积

10、为（O的求面上,AABC是边长为1的正三角形，SC为球。的直B.D.解：OO1 ,R2 r21（；）23, 6 一，h32.633 sh1招2 6工类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）10-3,直三棱柱内接于球图 10-2 ,图题设：如图10-1 , 是任意三角形）（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以第一步：确定球心。的位置，。1是 ABC的外心，则OOi 平面 ABC ;第二步：算出小圆Oi的半径AOi1r , OOAA121.h ( AA12h也是圆柱的高）；22r Rr2 g)2 ,解出 R_ 2 _ 22 _ 2h第三步：勾股定理:OA O1A O1OR (-)2例

11、4 （1） 一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上， 9且该六棱柱的体积为 -，底面周长为3,则这个球的体积为 81解：设正六边形边长为 a ,正六棱柱的图为 h,底面外接圆的关径为 r ,则a ，23123.33.39- c 2.321、2.底面积为 S 6 （一） , V柱 Sh h 一， h v3 , R （） （） 1 ,4288822R 1,球的体积为V(2)直三棱柱 ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB AC AA 2 , BAC 120 ,则此球的表面积等于2、3解：BC 2<3 , 2r 4, r 2, R ，5

12、, S 20sin120(3)已知 EAB所在的平面与矩形 ABCD所在的平面互相垂直，EA EB 3, AD 2, AEB 60 ,则多面体E ABCD的外接球的表面积为。 16解析：折叠型，法一：EAB的外接圆半径为r1 J3, OO1 1,DR <1 3 2 ；法二：01M今,202DR2-4, R 2, S 16(4)在直三棱柱ABC的表面积为AB1cl 中，AB 4,AC 6, A -,AA1 316034则直三棱柱 ABC A1 B1cl的外接球解析：BC2 16 36 2 4 6 1 28, BC 2v7, 2r22,7 4. 72. 7r ,3332R22AA1、2r（一

13、）28340160 S -类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠 (如图11)图1110第一步：先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，找出 BCD和 ABD的外心H1和H2;第二步：过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心 O,连接OE,OC ；2.22第二步：解 OEHi,算出OHi,在Rt OCHi中，勾股定理： OH1 CHi oc例5三棱锥P ABC中，平面PAC 平面ABC , PAC和 ABC均为边长为2的正三角形，则三棱 锥P ABC外接球的半径为.解析：2r1 2r22sin 60r1R202 H2r121 4 5-

14、 .15 ,R 3 3 33法二：02HO1HAH1,R2 AO2 AH2 01H2 0102 - , R3,15类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等， 求外接球半径 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；(AB CD , AD BC , AC BD )第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c, AD BC x, AB CD y, AC BD z ,列方程组,2ab22cb22c2a2x2y2z22(2R) ab2补充:VaBCDabc1abc61 .4 abc3第三步：根据墙角模型,2R 222a2b2c2.x y2 z图12R

15、2222222x y zx y z,R J,求出 R, 88例如，正四面体的外接球半径可用此法。例6 （1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形 （正四面体的截面）的面积是 （2） 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（A 遍 B . C .434. 312解：（1）截面为 PCO1,面积是J2 ；（2）高h R 1 ,底面外接圆的半径为R 1,直径为2R 2,设底面边长为a,则2R a 2, a <3, S a2 33 sin 6044（1）题解答图 ，1三棱锥的体积为V

16、 Sh3312(3)在三棱锥 A BCD中，AB CD 2,AD BC 3,AC BD 4,则三棱锥 A BCD外接球的表面积为29解析：如图12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长,设长宽高分别为a,b,c,则a2 b2 9,b222c a 162(a222_b c ) 9 4 16 29,2(a2 bb2292，4R229一,S229(4)如图所示三棱锥 A BCD ,其中AB CD 5, AC BD6,ADBC7,则该三棱锥外接球的表面积为.解析：同上，设补形为长方体,三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为2(a2 b2 c2) 25 36 49 110, a2 b2 c2

17、55, 4R2 55,【55 ;对称几何体；放到长方体中】(5)正四面体的各条棱长都为 J2,则该正面体外接球的体积为a,b,c,解析：这是特殊情况,但也是对棱相等的模式，放入长方体中,55类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型PCO图13题设： APB ACB 90 ,求三棱锥PABC外接球半径(分析：取公共的斜边的中点O,连接OP,OC ,则 OA OB OC-1OP -AB, 2。为三棱锥P ABC外接球球心，然后在 OCP中求出半径)，当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。例7 (1)在矩形A

18、BCD中，AB 4, 则四面体ABCD的外接球的体积为(BC3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 B AC D ,A.建12解：(1) 2R AC 5,(2)在矩形ABCD中,的外接球的表面积为125. 9R V2AB 2, BC3R3)1256 4125383,沿BD将矩形1253125,选C6ABCD折叠，连接AC ,所得三棱锥 A BCD解析：(2) BD的中点是球心O, 2R BD 43 , S 4 R2 1317图14图15类型八、锥体的内切球问题1.题设：如图14,三棱锥P ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步：先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心；1 一

19、_第二步：求DH BD, PO PH r, PD是侧面 ABP的高； 3第三步：由 POE相似于 PDH ,建立等式： 店 PO,解出r DH PD2 .题设：如图15,四棱锥P ABC上正四棱锥，求其外接球的半径第一步：先现出内切球的截面图，P,O,H三点共线；1第二步：求FH BC, PO PH r , PF是侧面PCD的高； 2第三步：由 POG相似于 PFH ,建立等式：OG 受，解出 HF PF3 .题设：三棱锥 P ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为 r ,建立等式VP ABCABCVOPABPACVO PBCVP ABC1sS ABC3_ SPAB r. SPAC33一(S ABC3S PABSPACS PBC ) r第三步:解出3VP ABCSo abcSo pabSo pacSo pbc习题：1 .若三棱锥A. 3ABC的三条侧棱两两垂直， 且SA 2 ,SB SC4,则该三棱锥的外接球半径为解：【A