(完整版)初中函数概念

1、函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x -是自变量，y是x的函数。2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点(1)解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。(2)列表法把自变量x的一系列值和函数 y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。(3)

2、图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画其图像的一般步骤(1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值(2)描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点(3)连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。一次函数和正比例函数1、一次函数的概念：一般地，如果y kx b (k, b是常数，k 0),那么y叫做x的一次函数。特别地，当一次函数 y kx b中的b为。时，ykx (k为常数，k 0)。这时，y叫做x的正比例函数。2、一次函数、正比例函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线一次函数y=kx + b(kw0)的图像是经过点(0, b)的直线(

3、b是直线与y轴的交点的纵坐标，即一次函数在y轴上的截距)；正比例函数 y kx的图像是经过原点(0, 0)的直线。3、斜率：k tany2y1x2 x1直线的斜截式方程，简称斜截式：y = kx+ b( kw 0)由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式、y kx b (tan )x b x(x x1)y1x2x1由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式:k1 k2设两条直线分别为，11 ： y k1x b1 l2 ： y k2x若 11 12 ,则有 11 12k k?且 bb2 o点P (x°, y°)到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0)

4、 的距离:4、两点间距离公式(当遇到没有思路的题时，可用寻求解题方法)b2若l11 2kx。 y° b| kx°y0 b. Ar-2、/、22)d k ( 1) k k 1此方法展思路，以X如图：点A坐标为（Xi, yi）点B坐标为（X2, y2）2则AB间的距离，即线段 AB的长度为X x1 x2 2 y1 y2y kx （k 0）中的常数 k。确定一个一次函数，需要确定5、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式 次函数定义式y kx b （k 0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。6、（1） 一次函数图象是过 两点

5、的一条直线， 凶的值越大，图象越靠近于 y轴。（2）当k>0时，图象过一、三象限，y随x的增大而增大；从左至右图象是上升的（左低右高）；（3）当k<0时，图象过二、四象限，y随x的增大而减小。从左至右图象是下降的（左高右低）；（4）当b>0时，与y轴的交点（0, b）在正半轴；当 b<0时，与y轴的交点（0,b）在负半轴。当 b=0时，一次函 数就是正比例函数，图象是过原点的一条直线（5）几条直线互相平行时，k值相等而b不相等。名称 4、力符号图象经过象限性质%的增大而增大y=kx-bV随N的增大而臧小反比例函数1、反比例函数的概念ki一般地，函数 y （k是常数，k

6、0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成y kx的形式。自变x量x的取值范围是反比例函数中,x 0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数，也可写成xy=k(k 是常数，kw0)两个变量成反比例关系：由xy=k,因为k为常数，kw0,两个变量的积是定值，所以 y与x成反比变化，而正比例函数y=kx(kw0)是正比例关系：由-y=k (k w0),因为k为不等于零的常数，两个变量的商是定值。2、反比例函数y=k(k W0)的图象的画法x画图方法：描点法。由于双曲线的图象有关于原点对称的性质，所以只要描出它在一个象限内的分支，再对称地画出另一分支。一定要注意：k>0,双曲线两分支分

7、别在第一、三象限。k<0,双曲线两分支分别在第二、四象限。(在每一象限内，从左向右上升).因此，它的增减性与一次函数相反.反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称。x轴、y特点：y=K=kx-1(kw0)中，.xw0,.,.yw0,则有双曲线不过原点且与两坐标轴永不相交。但无限靠近x轴。画图时图象要体现这种性质，千万注意不要将两个分支连起来。3、反比例函数的性质和图像反比例函数k的符号k>0图像ky k(k 0)xk<0性质x的取值范围是x 0,y的取值范围是y 0;当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x的增大而减小。x的取值范围是x 0

8、,y的取值范围是y 0;当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内， y 随x的增大而增大。4、反比例函数解析式的确定确定的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数yk一中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的x一个点的坐标，即可求出 k的值，从而确定其解析式。5、反比例函数中反比例系数的几何的意义k如下图，过反比例函数 y k(k x0)图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM, PN,则所得的矩形 PMON的面积S=PM?PN= y?xxyy ；xy k , S二次函数1、二次函数的概念：一般地，如果ax2 bx c(a, b,c是常数,a 0),那么y叫做x

9、的二次函数。y ax2 bx c(a, b,c是常数，a0)叫做二次函数的一般式。b2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于X 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。2a3、二次函数图像的画法五点法：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ,并用虚线画出对称轴(2)求抛物线y ax2 bx c与坐标轴的交点:当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画

10、出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B,然后顺次连接五点，画出二次函数的图像4.求抛物线的顶点、对称轴的方法22b(1)公式法： y ax bx c a x2a4ac b2，顶点是4ab 4ac b2,2a 4a),对称轴是直线b2a(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y a x h 2 k的形式，得到顶点为(h, k),对称轴是直线x h.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。若已知抛物线上两点(X, y)、(x2,y)(及y值相同)，则对称轴方程可以表示为：x 比一25.抛物线y ax2 b

11、x c中，a,b,c的作用(1) a决定开口方向及开口大小当a 0时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当 a 0时，抛物线开口向下；顶点为其最高点。a相等，抛物线的开口大小、形状相同.a越大，图像开口越小，a越小，图像开口越大。 平行于y轴(或重合)的直线记作 x h.特别地，y轴记作直线x 0.(2) b和a共同决定抛物线对称轴的位置 .由于抛物线y ax2 bx c的对称轴是直线 x ,2ab故：b 0时，对称轴为y轴；0 (即a、b同号)时，对称轴在 y轴左侧；a-b一 0 (即a、b异方)时，对称轴在 y轴右侧. a 22(3) c的大小决定抛物线 y ax bx c与y轴交点的位置.

12、当x 0时，y c,抛物线y ax bx c与y轴有且只有一个交点(0, c)：c 0 ,抛物线经过原点；c 0,与y轴交于正半轴； c 0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立 .如抛物线的对称轴在 y轴右侧，则 2 0.a6、二次函数的解析式有三种形式：(1) 一般式：y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0)(2)顶点式：y a(x h)2 k(a,h,k是常数，a 0)(3)交点式：当抛物线 y ax2 bx c与x轴有交点时，即对应二次好方程ax2 bx c 0有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2 bx c a(x x1 )(x x2)，二

13、次函数y ax2 bx c可转化为两根式 y a(x x1)(x x2)。如果没有交点，则不能这样表示。几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2y ax当a 0时 开口向上当a 0时 开口向卜x 0 ( y 轴)(0,0 )2y ax kx 0 ( y 轴)(0, k),2 y a x hx h(h,0),2,y a x h kx h(h, k)2y ax bx cb 2 4ac b22a4abX 2a/ b 4ac b2(c，)2a 4a如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当Xb二-时，y最值2a,24ac b4a如果自变量的

14、取值范围是X1XbX2,那么，首先要看 是否在自变量取值范围 Xi2aX X2内，若在此范围内,b ,4ac b2*当X= *时'y最值IT-若不在此范围内，则需要考虑函数在XiX X2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当 x x2时，y最大aX2 bx2 c,当 x Xi时，y最小ax2 bx1 c;如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当 x X1时，y最大2axi bXi c,当 x X2 时，y最小2ax2bx2 c。8、二次函数的图象7、二次函数的最值性质(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸； .一b(2)对称轴是x=一, 2a2顶点坐标是(2, 4ac

15、b )；2a4a(3)在对称轴的左侧，即当 x< 2时y随x 2a的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x> 时，y随x的增大而增大，简记左减2a右增；(4)抛物线有最低点，当 x= 上时，y有最小 2a/击4ac b值，y最小值4a(1)抛物线开口向卜，并向卜无限延伸； .一b(2)对称轴是x=一,2a2顶点坐标是(X , 4ac b )；2a4a(3)在对称轴的左侧，即当 x< 上时，y随x 2a的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x> 时，y随x的增大而减小，简记左 2a增右减；(4)抛物线有最高点，当 x二 上 时，y有最 2a一士4ac b大值，y最大值4a9.抛物

16、线的交点(1) y轴与抛物线yax2bx c得交点为(0, c).(2)抛物线与x轴的交点：二次函数 y ax2 bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2 ,是对应二次方程ax2bx c0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元次方程的根的判别式b24ac判定:有两个交点(有一个交点(顶点在x轴上)(I没有交点(3)平彳T于x轴的直线与抛物线的交点同(2) 一样可能有0个交点、1个交点、0)0)0)2个交点标是ax2 bxc k的两个实数根.(4) 一次函数ykx n k 0的图像l与抛物线与x轴相交; 抛物线与x轴相切； 抛物线与x轴相离.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ,则横坐次函数y ax2bxc a