(通用)数学高考5个大题诀窍立体几何问题重在“建”——建模、建系讲义(理)(普通生,含解析)

1、立体几何问题重在“建”建模、建系思维流程一一找突破口技法指IA迁移搭桥立体几何解答题建模、建系策略立体几何解答噩平疗冷型立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合,wtii' 毓彳眯刃的原则是建模、建系.某个几何体为依托，分步设问，逐层加深.解决这类题目建模一一将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型 及角度、距离等的计算模型.建系一一依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系, 利用空间向量求解.典例(2018 全国卷n )如图，在三棱锥 RABC43, AB= BC= 2，2,PA= PB= PC= AC= 4, O为 AC的中点.(1)证明：POL平面ABC(2)若点M在BC

2、上，且二面角M-PAC为30°,求PC与平面PA所成角的正弦值.快审题求什么想什么证明线面垂直，想线面垂直成立的条件.求线面角的正弦值，想平面的法向量及直线的方向向量.给什么用什么给出边的长度，用勾股定理证线线垂直.给出一面角的大小，可求出点M的位直.差什么找什么差点M的坐标，利用垂直关系建立空间直角坐标系，找出平面PAM平面PAC勺法向量.稳解题(1)证明：因为 PA= PC= AC= 4,O为AC的中点,所以 POL AG 且 PO= 2V3.连接OB因为AB= BC=所以 ABC等腰直角三角形,一八一 1八所以 PO + OB= pB2,且 OBL AC OB= qAC= 2.

3、:淳冠：启用正战幺*或可成模得族青t妁模熨所以POL OB又因为0mAO O所以POL平面ABC一v Gr 1一 一建系，利阳垂近(2)以0为坐标原点，&美系立立空阿宣i南老标系'-0B的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C- xyz.由已知得 C(0,0,0) , B(2,0,0),A(0 , - 2,0) , C(0,2,0) , R0Q2 V3)，刀=(0,2,2 小).取平面pac勺一个法向量7CB =(2,0,0)设 M(a,2 a, 0)(0< aw 2),则 = (a,4 a, 0).设平面PAM勺法向量为n=(x, y, z).7±_

4、AP , n= 0,由_AM, n= 0,2y + 2V3z=0,ax+4- a y=0,令 y = /3a,得2=a, x = /3(a-4),所以平面PAM勺一个法向量为 n=(J3(a-4), J3a, a),所以cos <7Cb, n>2 '3a- 4213 a 4 2+3a2+a2聃法向量.枸选二|面商模型,乙J ,1由已知可得 |cos OB, n> | = cos 30所以诟舟"=*243 a 4+ 3a + a 2一 4八斛得a=;或a = 4(舍去).3所以n=建模：计算科平曲; j的最向量艮衣畋的 0方向向置，构止计: ,、算燧面角模刈

5、J又1C.= (0,277.2V3).，.所以 cos PC, n>23. 64 16 164 ,24+12 -w + w +石 339所以p*平面pa所成角的正弦值为j.题后T道利用法向量求解空间角的关键在于“四破”(1)求证：平面 PABL平面 ABCD，R0 ， 0,1) .(2018 惠州第二次调研)如图，在四麴t P-ABCDK底面ABCD是边长为 2 的菱形，/ ABC= 60。，PAL PB, PC= 2.(2)若PA= PB,求二面角 A-PGD的余弦值.解：(1)证明：取AB的中点Q连接CQ PQ四边形ABCD1边长为2的菱形,.AB= BC= 2.Z ABC= 60&

6、#176;,.ABB等边三角形,. COLAR OC= '3.一 一 1 一. PAL PRPO= 2AB= 1. PC= 2,，oP+ oC= pC, . col po ABH P0= 0,，COL 平面 PAB. CO?平面 ABCD平面PABL平面 ABCD(2) . PA= PRPOL AO由(1)知，平面 PABL平面 ABCD POL平面ABCD直线OC OB OP两两垂直.以 O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系。xyz.则 a。,。,。)，A(0, 1,0), C(V3, 0,0), d(V3, - 2,0)7<p = (0,1,1), 言=(V3, 0, -

7、1), 15c = (0,2,0).设平面APC勺法向量为m= (xi, yi, zi),m- AP = 0,由 _m-血=0,yi + zi= 0,J3xi zi = 0,取Xi=1,得m= (1, 3,43)为平面APC勺一个法向量,设平面PCD勺法向量为n=(X2, y2, Z2),n PC = 0, 由二n , DC= 0,x/3X2 Z2 = 0 ,2y2= 0,取X2=1,得n=(1,0 ,，3)为平面PCD勺一个法向量,m.ncos( n n> = ;:,| m | | n |由图知，二面角 A-PCD为锐二面角,面角A-PCD的余弦值为7专题过关检测A大题考点落实练1 .

8、如图，在四棱柱 ABCDABCD中，AA1底面 ABCD四边形 ABCD 为菱形，AA= AB= 2, /ABC= 60°, E, F分别是BC AC的中点.(1)求异面直线EF, AD所成角的余弦值；(2)点M在线段AD上，AM=入，若CM平面AEF求实数 入的值.AiD解：(1)因为AAL平面ABCD AE?平面ABCD AD?平面ABCD所以 AA± AE A1A±AD在菱形ABC由，/ ABC= 60°,连接 AC则 ABB等边三角形.因为E是BC的中点，所以BCL AE因为BC/ AD,所以AE± AD以A为坐标原点，AE为x轴，AD

9、为y轴，AA为z轴建立如 图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0 , 0), Q#, 1,0) , D(0,2,0), A(0,0,2) , E(V3, 0,0) , F 乎,2, 1 ,黄=(0,2,0) , EF =,13所以cos血，IeF >TAD .百i|晶厂苗2：2一彳所以异面直线EF AD所成角的余弦值为*.AiM(2)设Mx, v，z)，由于点 M在线段 AiD上，且入，Ai D所以 AiM=入 AiD,则(x, v，z-2)=入(0,2 , - 2).解得M0,2入，2 2入)，所以屈=(-木,2入i,2 2入).设平面AEF的一个法向量为 n=(xo, yo, zo)

10、.因为 HE =(J3, o,o),庙=型二,i ,22族- n= o, 所以AF , n = o,:3xo= o,即乎xo+；yo+zo= o,取 yo= 2,得 zo= i,则平面AEF的一个法向量为n=(o,2 , i)., _._.I ,由于CM平面 AEF则n CM=o,即2（2入一i） （2 2入）= o,解得 入=|.32 .(2oi9届高三河北三市联考)如图，三棱柱ADEBCGK 四边 形 ABCD1矩形，F是 EG的中点，EALAB, AD= AE= EF= i,平面 ABGE ，平面ABCD(i)求证：AU平面FBC(2)求二面角 BFGD的正弦值.解：(i)证明：.四边形

11、 ABCD1矩形,BCL AB又平面八86艮平面ABCD. BCL平面 ABGE. AF?平面 ABGEBCL AF在AFB中，AF= BF= '2, AB= 2, . aF+bF=ab即 AH BF,又 BFn BC- B,，AF，平面 FBC(2)分别以AD AB AE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间 直角坐标系，则A(0,0,0) , D(1,0,0) , C(1,2,0),旦0,0,1),R0,2,0) , F(0,1,1) , .-.-DE =(-1,0,1) , "DC = (0,2,0),设 ni = (x, y, z)为平面CDEFF勺法向量，ni , DC

12、= 0,则 一ni - IDE = 0,2y=0,x+ z = 0,令x=1,得z = 1,即ni = (1,0,1)为平面CDEF勺一个法向量,取山=原 =(0,1,1)为平面BCF的一个法向量,cosn2>n 1 - n 21=一.|n 1|n 2|2'，二面角B_FGD的正弦值为 平3 .如图，在四棱锥 E-ABCDK底面ABC西直角梯形，其中CD/ AB BCL AB 侧面 ABEL平面 ABCD且 AB= AE= BE= 2BC= 2CD=2,动点F在AE上，且EF= X FA(1)试探究 入的值，使CE/平面BDF并给予证明；解：(1)当入=,CE/平面BDF证明如下

13、:(2)当入=1时，求直线CE与平面BDF所成角的正弦值.连接AC交BD于点G连接GF,. CD/ AR AB= 2CDCG CD 1. GA AB 2'1 EF CG 1EF= 2% 铸 GA= 2，GF"CE又CE?平面BDF GF?平面BDF，CE/平面 BDF(2)取AB的中点Q连接EQ则EQL AB,平面ABEL平面 ABCD平面 ABEH平面ABC&AB,. EQL平面 ABCD连接 DQ BQ/ CD 且 BQ= CD= 1,四边形BQDCJ平行四边形，BC/ DQ又 BCL AB, . ABL OD则OD OA OE两两垂直，以 O为坐标原点，OD O

14、A OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz,则 a。,。,。） , A（o,i,o）, b（o, 1,0）,中,0,0）, qi , i, 0）, E（0,0 ,取.当入=1 时，有 IF ="FA , F 0, 2,日,"BD =（1,1,0）, "Bf = 0, |,岑，&=（-i,i,木）.设平面BDF的法向量为n=（x, V，z）,x + y= 0,即|y+察=0,令 z=J3,得 y= 1, x= 1,则n = （1 , 1,、/3）为平面BDF的一个法向量， 设直线CE与平面BDF所成的角为0 ,| 1 1 + 3|1贝

15、U sin 0 = |cos CE, n> | =尸（=-5X ;551故直线CE与平面BDF所成角的正弦值为-.54. （2018 成都一诊）如图，在边长为5的菱形ABC用，AC= 6,现沿对角线 ACffiAADC!折至! APC勺位置得至IJ四面体 P-ABC如图所示.已知 PB= 4 ,'2.（1）求证：平面PACL平面ABC（2）若Q是线段AP上的点，且 NQ = 1扉，求二面角 QBGA的余弦值.3解：（1）证明：取AC的中点Q连接PQ BO四边形ABCD1菱形，.PA=PC POLACDC= 5, AC= 6,. OC= 3, PO= OB= 4,. PB= 4 ；

16、2pO+oB=pB.POLOB. OBT AC= Q . POL平面 ABCPC?平面PAC 平面 PAC1平面 ABC(2) -. AB= BCBOL AC故OB OC OFW两垂直.以O为坐标原点，OB OC OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直 角坐标系Qxyz.则 B(4,0,0) , q0,3,0) , P(0,0,4) , A(0 , - 3,0).设点 Q(x, y, z).由7Q = 1,得 Q0, 2,3.后=(-4,3,0) , 1Q = -4, -2, 4.3设m=(xi, yi, zi)为平面BCQ的法向量，ni , BC = 0, 由ni , BQ

17、= 0,4xi+ 3yi = 0,得.c . 4c-4xi- 2yi +-zi= 0,3取 xi=3,则 ni=(3,4,i5)取平面ABC勺一个法向量ni . n2 .cosni, n2> = ;|ni| n2|n2= (0,0,i).i5 3 70=0+42+i52 =10，二面角 QBCA为锐角,二面角 QBCA的余弦值为3 i0i0B组一一大题专攻补短练1 .在三棱锥 P-ABO43, PA= PB= PC= 2, BC= i, AC=$，ACLBC(i)求点B到平面PAC的距离.(2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值.解：(i)以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C作平

18、面ABC 的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，取 AB的中点D,连接PDDC因为 AC明直角三角形且 AC= J3, BC= i,所以AB= 2,所以 PAB为正三角形，所以PDL AB且PD= p在 PDO, PG= 2, PD=串,DO 1,所以 pC=pD+ dC,所以 PDL DC 又 ABH DC D,所以PDL平面ABC则 N4 0,0) , R0,1,0) , D手，2, 0 , P坐，21, V3 , Q0Q0) , "ca =h/3,0,0) , "CD =拿 1, 0 , "CP =革所以异面直线pa与bc所成角的余弦值为4.2.已知四棱锥 P-

19、ABCDfr,底面ABCD1梯形，BC/ AD ABL AD 且AB= BC= 1, AD= 2,顶点P在平面 ABCDJ的射影 H在AD上，PA XPD.(1)求证：平面 PABL平面PAD(2)若直线AC与PD所成角为60°,求二面角 A PCD的余弦值.解：(1)证明： PHL平面 ABCD AB?平面 ABCD PHL AB . ABL AD ADA PH= H, AD?平面 PAD PH?平面 PAD 中，"Cb =(0,1,0), 22221设平面PAC勺法向量n = (x, y, z),J3x= 0,即先 2y+V3z"取y = 243,得n=(0,

20、2小，1)为平面PAC勺一个法向量, 所以点B到平面PAC勺距离| 演 n| 22/3 2相F!= <13= 13 .(2)因为 PA =-2,-杂,BC = (0 , -1,0),1_2_ 1小x14设异面直线PA与BC所成角为e,则cosI PA "BC > >I PA| I BC|又AB?平面PAB .平面PABL平面PAD(2)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,. PHL平面 ABCDz 轴 P PH则 A(0,0,o), ai,i,o)则 P(0 , a, h).,D(0,2,0),设 AH= a, PH= h(0<a<2

21、, h>0)._ >->-_ 2AP = (0, a, h) , DP=(0, a-2, h), AC= (1,1,0). PALPDAP - DP=a(a 2)+ h2=0.|cos刀,"DP > | =+h212,ACf PD所成角为60。，.(a-2)2= h2,(a-2)( a 1)=0,0<a<2, .l. a=1. h>0, l. h= 1,F(0,1,1)_ >_ 2_ 2_ 2AP= (0,1,1) , AC =(1,1,0) , PC=(1,0 , - 1) , DC=(1, -1,0),AP = 0,AC=0,设平面

22、APC勺法向量为n=(x1, y1, Z1),yd z= 0, 即X1+ y1= 0,令 X1= 1,得 y1 = 1, Z1= 1,，平面APC勺一个法向量为 n=(1 , 1,1), 设平面DPC勺法向量为nn= (X2, y2, Z2).m- PC=0,m- DC = 0,X2 Z2= 0,X2 y2= 0,令 X2= 1 ,得 y2= 1 , Z2= 1,平面DPC勺一个法向量为m= (1,1,1)m.n1 cosmi n> = v7.r= 7.| m| n|3二面角A PCD的平面角为钝角,面角A-PGD的余弦值为1.33. (2018 西安质检)如图，四棱柱 ABC-A1BC

23、1D的底面ABCDI菱形，ACT BD= Q A1O，底面 ABCD AB= 2, AA=3.Afl证明：平面ACO_平面BBDD;(2)若/ BAD= 60°,求二面角 B-OB-C的余弦值.解：(1)证明： AO,平面 ABCD BD?平面 ABCD. AOL BD四边形ABCD1菱形，. COL BD.AOn CO= Q. BDL平面 ACO. BD?平面 BBDD,平面 AiCOL平面 BBDD.,.， . 一 ， 一 、，一 一(2) AOL平面 ABCDCOLBD . . OB OC OA两两垂直，以O为坐标原点， OB, OC,一OA的万向为x轴，y轴，z轴的正万向建立

24、如图所小的空间直角坐标系. AB= 2, AA=3, / BA氏60°,. .OB= OD= 1, OA= OC=木,OA= <aA OA= 6-则 ao,0,0) , B(1,0,0) , C(0 ,0), A(0,0), Ai(0,0 ,炯,. ."OB =(1,0,0) , =AA =(0, 73,邓),OB = "OB+亩=(1，小，杂),"OC =(0, R 0).设平面OBB的法向量为n=(X1, y1, Z1),二OB , n= 0,x1 = 0,X1+ 也y1 + &Z1= 0.则即OB , n= 0,令yR得n=(0, &

25、amp; 1)是平面OBB勺一个法向量.设平面OCB勺法向量m= (X2, 2, Z2),木丫2= 0,"OB 详 0,X2+®2+丑2=0,令Z2=1,得m= (6, 0, 1)为平面OCB勺一个法向量,21 ，cosn, m>=恒| n| , I mm 3/3x77由图可知二面角 B- OB- C是锐二面角,二面角日。设的余弦值为样.4. (2018 潍坊统考)在平行四边形 PAB计，PA= 4, PC= 22, / P= 45°, D是PA的 中点(如图1).将 PCDgC所起到图2中4 P1CD的位置，得到四棱锥 P1-ABCD将 PCDgC所起的过程中，CDL平面P1DA是否成立？请证明你的结论.(2)若RD与平面ABC所成的角为60°,且 P1DA为锐角三角形，求平面RAD平面F1BC 所成角的余弦值.解：(1)将PCD& CD折起过程中，CDL平面