第三节 误差的估算

1、第三节 误差的估算由于物理量的数值的获得途径有直接测量和间接测量两种，无论直接测量，还是间测量都有误差，误差的计算也分两种情况。广义地讲，两种情况的处理都属于误差计算。然而，间接测量是由直测量决定的，以直接测量为基础的，间接测量的误差是由直接测量通过给定的函数关系确定的。因此，狭义地讲，常把直接测量的误差计算称为误差计算，而将间接测量的误差计算叫误差传递。此外，由于严格意义上的误差是无法计算的，因而只能通过各种方法进行近似计算，故将误差计算称为误差的估算，而且可有多种方法进行估算。下面就介绍几种常用的误差估算方法。一、直接测量的误差估算1算术平均误差在测量列Xi中，各次测量的误差的绝对值的算术

2、平均值叫算术平均误差。记为DX。按定义 DX=1nnni=1nXi-X 或 DX=DXi=1i其中n为测量次数，DXi=Xi-X。2.绝对误差误差的绝对值叫绝对误差。狭义的绝对误差，如上面的DXi，DX。而广义的绝对误差还有后面要讨论的Sx，sx，s，Q等。3.相对误差绝对误差与平均值的百分比叫相对误差，又叫百分误差。记为Er。其估算方法为 DXX Er=100% 广义地讲，后面要讨论的4.标准偏差 SxX、sX等都可叫相对误差。按定义，标准误差是测量列中各次误差的方均根，记为sx。当n时 sx=1n(Xii=1n-a) 2需要注意的是，上式是在测量次数很多时，测量列按正态分布时所得到的结果。

3、实际上，由于真值无法获得，而测量次数也只能是有限的。因此，标准误差sx只能通过偏差进行估算。由统计理论可推导出，对有限次测量的标准偏差Sx的计算公式为：Sx=1n-1(Xi=1ni-X)2即最后是用Sx代替sx。通常所说的标准误差，实际上就是Sx。5.算术平均值的标准偏差算术平均值的标准偏差与测量列标准偏差的关系为 Sx=1nSx二、间接测量的误差计算（误差的传递） 上面所讨论的误差计算方法是对直接测量而言的，在此基础上我们可以进一步讨论间接测量的误差计算问题。我们知道，间接测量是由直测量通过一定的函数关系决定相应的间接测量的误差，它们之间的这种关系叫误差的传递，相应的计算公式叫误差传递公式。

4、下面我们首先讨论误差传递公式的一般形式，然后再将其运用于一些具体情况。1.误差传递公式的一般形式设间接测量量f与彼此独立的直接测量量x、y、z(只取3个)间的函数关系为 f=f(x,y,z)测量结果用平均值和绝对误差表示为 x=xDxy=yDyz=zDz和 f=fDf其中,f=fx,y,z。将f(x,y,z)在x,y,z点按泰勒级数展开有ffff(x,y,z)=fx,y,zx-x+y-y+z-zyzx)()()()()() +(高阶小量)将此结果与前面假定关系式f=fDf比较，忽略高阶小量，并考虑到误差传递中通过组合可能产生的最大值，取间接测量的绝对误差为 Df=相对误差为Dff=lnfxDx

5、+lnfyDy+lnfzDzfxDx+fyDy+fzDz根据标准差的定义，由上述展开式，在考虑到x,y,z是彼此独立的情况，可得标准差的传递公式的绝对形式为s=fxs22xff+ys22yf+zs22z相对形式为sff=lnfxsfx22xlnfs+ylnfx22ylnfs+z22z其中fx、lnfx分别为、在x,y,z点处的值。()为了较好地使用标准误差的传递公式，需要说明的是：(1)如果f由x,y,z按加(减)关系确定时，常用标准误差传递的绝对形式计算。 (2)如果f由x,y,z按乘(除)关系确定时，常用误差传递的相对形式计算。 (3)如果x,y,z彼此不独立，还需计算相关系数(协方差)。例如：若f=xy，当x=y（仅数值相等）时的误差传递，与取x=y（x与y完全相关）后f=x的误差2传递是不一样的。因为，当f=xy时有 sysf， =x+fxy再取x=y时，化为s22sff=2sxx。而当f=x2时sff=2sxx。可见，前者在取x=y时，仅为数值上相等，而它们仍是彼些独