自然数平方和

1、这里的自然数指的是不包含 0 的传统自然数。1八2+2八2+3八2+4八2+.nA2=?（nT表示nX n= n2为了好打字）一、推导1 、直接推导：1+2+3+4+,+n=(1+n)*n/2+ +2+3+4+,+n=(2+n)*(n-1)/2+3+4+,+n=(3+n)*(n-2)/2+(i+1)+,+n=(n+i+1)*(n-i)/2(i=0,n-1)| |S = (2*nA3+3*nA2+n-2S)/4两边求一下得所求 S此法较为直观正规2、用其他的公式推导：数学归纳容易证明 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 +.+ nx(n+1)=1/3xn(n+1)(n+2)( 法易证，而

2、左式可写成1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + nx(n+1)=(1x1 + 2x2 + . + nxn)+(1+2+.+n) 于是1x1 + 2x2 + . + nxn=1/3xn(n+1)(n+2)-1/2xn(n+1)=1/6xn(n+1)(2n+1)3、二项式推导： 2A3=1A3+3*1A2+3*1+13A3=2A3+3*2A2+3*2+14A3=3A3+3*3A2+3*3+1 (n+1)A3=nA3+3*nA2+3An+1 sum up both sides substract common terms: (n+1)A3=3*b+3*(n+1)*n/2+n+1= solv

3、e for b b=1A2+2A2+.+nA2 此法需要较强的基本功，属奥妙之作4、立方差公式推导(此法高中生都能看懂吧)T M3 - l)3 =冲2 4-l)2 =知+1l3-03 = 3xla-3xl + l23-15 = 3x23-3x2+1扌- 23 = 3x32-3x3+1宀二妒_弟+ 将上面各式相加得： n3=3(la+2: + 3g + - +n3)-3n(n+1)+ 2+2讣护+r? = (n= +泌也f门=畑)(22 65、用现成恒等式推导利用一争恒等式：(M+1/ -卅=3卅+ 3叫十！令川=!, 2 t3f -fn 得2灯 +3x1 + 135-2J = 3x2J+ 3x

4、2 + 1-4J_y = 3m3i + 3x3+1(n +1)3 -n3 = 3xn2 + 3xn +1将上述h各等式加得:(n +1)3 -1 = 3x(l2 + 2? + 32 + + n2) + 3x(1 + 2 + 3 + m:、3x(l2 + 护 +S2 + + X)M(?i+iy -1-3x(1+ 2 + 3+ - + n)-M p+Z+d_3x 警号+i)如 m 冷S + I)心+1小现+ n:.l2 +? + ?+- +J72 =ljKn + lX2n + l)(6类似地，可以利用恒叙：( +厅 7、4n3十帘+4卄1推出：2 +，+n? = ?/t?71；-你确试试看4另外诸

5、柱意到：自楓的立方和，恰好等于自燃数和的平方-这祥记起来容易二、证明1、数学归纳法1A2+2A2+3A2+,+nA2=n(n+1)(2 n+1)/6当n=1时,显然成立.设n=k时也成立,即：1A2+2A2+3A2+,+kA2=k(k+1)(2k+1)/6那么当n=k+1时,等式的左边等于：1A2+2A2+3A2+,+kA2+(k+1F2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1F2=(k+1)k(2k+1)/6+(k+1)=(k+1)2kA2+k+6k+6/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6而等式的右边等于:(当n=k+1时)(k+1)(k+1+1)(2k+2+1)/6=(k+1)(k+

6、2)(2k+3)/6即当n=k+1时，等式左边等于等式的右边所以对于一切n,等式都成立此法给初中和小学生讲是没法了，现在的教育之痛，用某小学老师的话来说，小学生的题是出给家长作的，呜，砖家当道啊，有没有满足他们拔苗助长嗜好的 奥数方法呢2、图形法计算 12+ 22+ 32 + 42。根据平方的含义和乘法的含义，我们可以将这个算式改写：12=1X仁1、22=2X 2=2 + 2、32=3X 3=3+ 3+ 3、42=4X 4=4+ 4 + 4 + 4，则 12 + 22+ 32 + 42=1 + 2 + 2 + 3+ 3 + 3+ 4+ 4+ 4+ 4。把这10个加数排写在一个三角形内(图1)，

7、计算这个算式 的和，就是计算这个三角形内所有数的和。(其实学生如果会算自然数 n项和， 下面的说明就可省了，不过想个个学生成高斯，结果个个搞死了，呵呵)我们对图1进行两次“复制”，得到两个和图1完全相同的三角形，把其中一个 逆时针旋转60得到图2,另一个顺时针旋转60得到图3。先把图2和图3重合，得到图4。图4中，重合的两个图形相对应位置的两个数 相加，它们的和有什么规律呢？我们发现， 从上往下看，第一行两个数的和是8, 第二行两个数的和都是7，第三行两个数的和都是6，第四行两个数的和都是5。 再把图4和图1重合，得到图5。从 图中可以看出，每个圆圈中都有三个数，这三个数的和都是 9, 9=2X4+ 1。 而10=1 + 2+ 3+ 4=(1 + 4) X4-2。图5中所有数的和应是图1中所 有数的和的 3 倍，所以图 1 中所有数的和=9X 10十3= (2X 4+ 1) X (1 + 4) X 4-2-3=4X (1 + 4) X( 2X 4+ 1)X 1/6。即 12 + 22+ 32+ 42=4X (1 + 4)