2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

1、2019-2020学年高二第一学期（上）期末数学试卷（文科）、选择题1.已知集合 A= x|x- 1 >0, B= 0, 1, 2,则 An B=()A. 02.向量1=(4,A.-4B. 15) ,(入，1)B工3C. 1 ， 2若（ZE）”总则入的值是（）D. - 23 .甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为K甲、K乙标准差分别为b甲、b乙，则（6030123456* 式次)A. K甲VK乙，（T甲V（r乙B. K甲VK乙，（T甲>（t乙C. 国甲工乙，（T甲V（T乙D. 乙，（T 甲 >o乙A. y=x+加C. y= x+或 y= - x+VD

2、. x = 1 或 y = x+/24 .已知圆的方程是 x2+y2=1,则在y轴上截距为加的切线方程为（）B. y= - x+1/211 J_5 .已知 a= ", b= log 2, c= 口割上3 ,则( 上32A. a>b>cB. a>c>bC. c>a> bD. c>b>a6 .为计算S= 1-+-+-+-,设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）0 生 W JLUUA. i = i +1i = i +2B.C. i = i +3D. i = i +47.若双曲线过点（& V2）,且渐近线方程为产士聂则该双曲线的方

3、程是（ 0B :一 .一B.'-C.8.王昌龄从军行中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”“返回家乡”的（A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件SB的长为（9.三棱锥S- ABCM其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱A. 2B. 4 .7D.16 二10.已知函数 ¥二在在点 M （兀,0）处的切线-=x+b=y,XJ LA.a=-1,b=1 B.a=- 1, b= - 1C.a=1,b=1D.a= 1, b= - 111.如果角。满足 sin0 +cos =a/2,那么 tstnS-tan的值是A. 一 1B. -

4、2C. 1D. 212 .已知函数f （x）=宜上旦:，xCR若对任意0 （ 0,都有f （sin。）+f （1-可）>0成立，则实数 22m的取值范围是（）A. （0, 1）B. （0, 2）C.（-巴 1）D.（一巴 1二、填空题（5*4 = 20）"x-2y-2<013 .若x, y满足约束条件士工-丫+1）0 ,则z = 3x+2y的最大值为 .y<014 .正方体 ABCB ABCD中，则GA与平面 ABC哧成角的正弦值为 .15 .欧阳修在卖油翁中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若

5、铜钱直径4厘米，中间有边长为 1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是 .16 .过点M （1,1）作斜率为 二的直线与椭圆C：相交于A, B,则直线AB的方程；2/ L若M是线段AB的中点，则椭圆 C的离心率为 .三、解答题（1012*5 = 70,需写出必要的推导过程和演算步骤）17 .在ABC43,角A,B,C所对的边分别为a,b,c, ABC勺面积为S,.（1）求角A的大小；（2）若超=近，求b+c的值.18 .交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数T.其范围为0, 10,分别有五个级别：TC 0 ,

6、2）畅通；TC 2 , 4）基本畅通；TC 4 , 6）轻度拥堵；TC 6 , 8）中度拥堵；TC 8 , 10严重拥堵.在晚高峰时段（T> 2）,从贵阳市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.（1）求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段各有多少个？（2）用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽出6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；（3）从（2）中抽取的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率.a3=4,且 a5, 3a4, a6构成等差数列,数列bn满足 bn= log 2an+log 2an+i.(I

7、)求数列an , bn的通项公式；(n)若数列bn的前n项和为S,数列Cn满足%二4 J ，求数列Cn的前n项和Tn.20 .如图，在四棱锥 P- ABCDK底面ABCDJ平行四边形，AB= 2A4 2, PD=BD=VsAD,且PDh底面ABCD(2)若Q为PC的中点，求三棱锥 A- PBQ勺体积.(1)证明：BCL平面PBD21 .已知函数 f (x) = (xk) ex (ke R).(1)求f (x)的单调区间和极值；(2)求f (x)在xC 1 , 2上的最小值.22 .已知圆 M x2+ (y-2) 2=1,直线l : y=- 1,动圆P与圆M相外切，且与直线 l切，设动圆圆心 P

8、的轨迹为E.(I )求E的方程；(n)若点 A, B是E上的两个动点，O为坐标原点，且 OA? 0B=- 16,求证：直线 AB恒过定点.一、单选题（5*12=60,每小题只有一个正确选项）1 .已知集合 A= x|x- 1 >0, B= 0, 1, 2,则 An B=（A 0B. 1C 1 , 2D. 0 , 1 , 2解：A= x|x- 1>0 = x|x>1 , B= 0 , 1, 2, .An B= x|x>1 A0, 1,2 = 1,2.故选：C2 .向量 （ - 4, 5） , E=（入，1）,若（；-E）/1，则入的值是（）5_4_4_A. -BC, -D

9、. - 2435解：向量 a= （ 4, 5） , b=（入，1），则之-b= （ - 4-入，4）,又（a - b） “ b，所以4入4入=0,斛得入=一.5故选：C.A.K甲V K乙,o甲Vo乙3 .甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为x甲、x乙标准差分别为b甲、b乙，则（B. K甲V K乙,o甲>o乙C.X甲>工乙，o"甲Vo乙D. X甲乙，o甲>o乙解：甲乙两名同学 6次考试的成绩统计如图,甲乙两组数据的平均数分别为K甲、K乙标准差分别为b甲、b乙,由折线图得： X甲K乙，b甲V（r乙,故选：C.4.已知圆的方程是 x2+y2=1,

10、则在y轴上截距为五的切线方程为()a. y=x+加b. y=-x+&C. y=x+&或 y= - x+y2D. *=1或丫 = *+员解：在y轴上截距为 加且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y=kx+R,I f- ID. 1,，k= ± 1,故所求切线方程为 y = x+%，或y= - x+值.故选 C.1 1 上5.已知 a= 2, b=log 若，c=10sl守，贝U ()23 aA. a>b>cB. a>c>bC. c>a> bD. c>b>a一0解：. 0<a=3 <2 = 1,b= lo

11、g 2"< log 21 = 0, oc= 口气互=log 23 > log 22=1, 2c>a>b.故选：C.6.为计算S= 1-+-+-+-,设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入()O 生 W JLUUA. i = i +1B. i = i +2C. i = i +3D. i = i +4解：模拟程序框图的运行过程知,该程序运行后输出的是S>= N- T= (1 + (! +23 499100）；累加步长是2,则在空白处应填入 i=i+2.故选：B.7.若双曲线过点（3, V2）,且渐近线方程为 y=士聂则该双曲线的方程是（）22222 xp

12、j £一12 # - 1n x 2 1A丫 B 丁.：1C ,亏 LD 解：根据题意，设双曲线标准方程为：号一¥之二工（X卉0）,双曲线过（a, E）,代入方程得入=-1,，双曲线方程：v*-=.9故选：A.8.王昌龄从军行中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A.充分条件C.充要条件B.必要条件D.既不充分也不必要条件解：“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件.故选：B.9.三棱锥S- ABCM其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（s解：由已知中的三视图可得SC1平面ABCD. 16 二且底面 ABC为

13、等腰三角形，在ABB AC= 4, AC边上的高为2月,故 BC= 4,在 RtASBO,由 SC= 4,可得SB= 4五，故选：B.10 .已知函数 产注”三在点M (兀，0)处的切线 rx+by,则()XnA. a= - 1, b= 1 B. a= - 1, b= - 1 C. a= 1, b= 1 D. a= 1, b= - 1_ , axcosx-asinx解：由题意可得，y =2，x =.为1故在点 M (兀,0)处的切线方程为 y=-(xjH ) =-x+b,故选：C.11 .如果角。满足 台in S+c口s 8 =旧，那么131n日十五/g-的值是（）A. - 1B. - 2C.

14、 1D. 2O = 2解：sin +8S 8 1+2sin 0 cos 0 = 2,即 sin 0 cos顼/ 1 口 ,1 sin 8 ss 8那 a tan 曰,白 =+ + -» e 于=2,tan ° cos sin sin cds f故选：D.X _-5£J12 .已知函数f (x), xCR若对任意ee ( 0,都有f (sin 9) +f (1-m> >0成立，则实数m的取值范围是()A. (0, 1)B. (0, 2)C.(-巴 1)d. (-8, 1解：f (x)的定义域为 R, f (- x) = - f (x);f' (

15、x) = ex+e x >0；.f (x)在R上单调递增；由 f (sin 0) +f (1-mj) >0 得，f (sin 0) >f (m- 1)；sin 0 > m 1 ；即对任意。C (0, 都有mr 1 < sin。成立;2-.1 0V sin 0 < 1 ；，m- 1 wo；，实数m的取值范围是(-巴1.故选：D.、填空题(5*4 = 20)"x-2y-2<013 .若x, y满足约束条件( s-y+l>0 ,则z = 3x+2y的最大值为 6I y<0解：作出不等式组对应的平面区域如图:, 一一 3 1由 z = 3

16、x+2y 得 y=x+z,2 221平移直线y= - -x+z,z最大,由图象知当直线 y=-母x+£z经过点A (2, 0)时，直线的截距最大，此时最大值为z=3X2=6,故答案为：614 .正方体ABC» ABCD中，则GA与平面ABC叫成角的正弦值为解：设正方体ABC» ABGD的棱长为1, 以D为原点，建立空间直角坐标系，A(1, 0, 0) , C (0, 1, 1),AC1= ( - 1, 1, 1),平面 ABCD勺法向量(0, 0, 1),设CA与平面ABC所成角为0 ,则 sin 0 = |cos < ACi n>|1 V3 3，GA

17、与平面ABC所成角的正弦值为 返.315 .欧阳修在卖油翁中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为 1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是解：正方形的面积 S= 1X1=1,铜钱的半径为2,则铜钱的面积 S=兀X 22= 4兀，则油恰好落入孔中的概率P= -=r,4元16 .过点M （1,1）作斜率为 二的直线与椭圆 C:三十宁13卜0）相交于 A B,则直线 AB的方程 x+2y 2a2 b2-3=0 ;若M是线段AB的中点，则椭圆 C的离心率为返

18、.-2 -解：由题意可知：直线的点斜式方程：y- 1 = - （x- 1）,2整理得：x+2y-3=0, 2222解：设 A （X1, y。, B （X2, y2）,则一二1，一=1 ，.M是线段AB的中点,=1,两式相减可得（勺十£ 2）（K 1 一乂2）（了1*2）（¥芋2）=0,rr 212即了(-万)整理得：a=&b,c=7a2-b2=b. c b 2e 丁友二T椭圆c的离心率.2故答案为：x+2y- 3=0,三、解答题（1012*5 = 70,需写出必要的推导过程和演算步骤）17.在 ABC,角 A B,C所对的边分另IJ为 a, b, c, ABC勺面积

19、为S, asinB=VsbcosA.（1）求角A的大小；（2）若 a=V3, S=-,求 b+c 的值.sin Asin B=':sin BcosA,解：（1） asin B= =bcosA,由正弦定理可得,B是三角形内角，sin B* 0, .tan A=V3, A是三角形内角,.冗A=A 3(2) . S=/bcsinA=bc= 2,由余弦定理a2= b2+c22bccosA可得3=b2+c2bc= ( b+c) 2-3bc=(b+c)26,b+c=3.18.交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数T.其范围为0 , 10,分别有五个级别：TC

20、0 , 2）畅通；TC 2 , 4）基本畅通；TC 4 , 6）轻度拥堵；TC 6 , 8）中度拥堵；TC 8 ,10严重拥堵.在晚高峰时段（T> 2）,从贵阳市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.（1）求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段各有多少个?（2）用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽出6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数;（3）从（2）中抽取的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率.0 25 U.2U0 IS 'I InL.TTT'TII.Q5笈活指欺解：（1）由直方图得：

21、这20个路段中，轻度拥堵的路段有（0.1+0.2）X 1 X 20= 6个，中度拥堵的路段有（0.25+0.2 ）X 1X20= 9个，严重拥堵的路段有（0.1+0.2 ） X 1X20= 3个.（2）由（1）知：拥堵路段共有 6+9+3=18个，按分层抽样，从18个路段选出6个，依次抽取的三个级别路段的个数分别为 4乂6=2, 4X9=3. 白即从交通指数在4 , 6） , 6 , 8） , 8 , 10的路段中分别 lololo抽取的个数为2, 3, 1.（3）记选出的2个轻度拥堵路段为 A, A,选出的3个中度拥堵路段为 B, B, R,选出的1个严重拥堵路段为C,则从这6个路段中选出2

22、个路段的所有可能情况如下：（ A, A2） , （A, B） , （A,艮），（A, R）,(A, G) , (A2, B) , (A, B) , (A, BO , 6, C) , ( B, B2) , ( B,B3) ,( B, C) ,(B2, B3),（B2, G） , （®, C1）,共15种情况.其中至少有一个轻度拥堵路段的情况有：（A, A) , (A, B) , (A,B) , ( A, B3) , ( A, C) , ( A2, B) , (A2, B2),(A, B) , 6, G)，共9种.93所以所选2个路段中至少一个轻度拥堵的概率是lb b19.已知数列an为

23、正项等比数列，满足a3=4,且 as, 3a4,a6构成等差数列，数列 bn?两足，bn= 10g 2an+lOg 2Hn+1 .（I）求数列an, bn的通项公式;（n）若数歹U bn的前n项和为S,1数列cn满足 数=4S，求数列cn的前n项和Tn.解：（I）设等比数列an的公比为q (q>0),7由题意，得自二6a4 nq+Q二配解得q=2或q= - 3 （舍），又 a3= 4? ai = 1,所以、二二2fbn = log 2an+log 2an+i =n 1+n = 2n- 1；rn、厂口,14(2口-1)_ 2()%12- 2一门，c . 1一)“ 4n2-1 2 n-l 2

24、n” ', nr Ir/ /I 1 /11、11节(15)十号下)+(2.12n+l)1二2n+lABCD20.如图，在四棱锥 P- ABCD底面ABCD；平行四边形，AB= 2AD= 2, PD=BD=V3AD,且PDL底面(1)证明：BCL平面PBD(2)若Q为PC的中点，求三棱锥 A- PBQ勺体积. AD/ BCBCL BD又.PD_底面 ABCD PD_ BC. PDH BD= D,BCL平面 PBD(2)解：三棱锥 A- PBQ勺体积 V.pbq与三麴t A- QBCC勺体积相等，而 kBC 二%-ABC V%-ABC = +-gX L所以三棱锥A- PBQ勺体积Vf)金.a i oy 4.21 .已知函数 f (x) = (xk) ex (ke R).(1)求f (x)的单调区间和极值；(2)求f (x)在xC 1 , 2上的最小值.解：(1) f' ( x) = x - ( k T) ex,令 f ' (x) = 0,解得 x= k- 1.单调递增.f (1)=xv k - 1时，f' (x) v 0,此时函数f (x)单调递减；x>k - 1时，f' ( x) >0,此时函数f (x) .x=k-1时，函