2020-2021大连中考数学压轴题之初中数学旋转(中考题型整理,突破提升)

1、2020-2021大连中考数学压轴题之初中数学 旋转(中考题型整理，突破提升)一、旋转1. (1)如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC与BD相交于点O,过点O作直线EFL BD,交 AD于点E,交BC于点F,连接BE、DF,且BE平分/ABD. 求证：四边形 BFDE是菱形；直接写出/ EBF的度数；(2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究，如图 ，点G、I分别在BF、BE边上，且BG=BI,连 接GD, H为GD的中点，连接 FH并延长，交ED于点J,连接IJ IH、IF、IG.试探究线段 IH与FH之间满足的关系，并说明理由；(3)把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究，如图 ，当矩形AB

2、CD满足AB=AD时，点E是对角 线AC上一点，连接 DE、ER DF,使4DEF是等腰直角三角形，DF交AC于点G.请直接写出线段AG、GE、EC三者之间满足的数量关系.【答案】(1)详见解析；60。. (2) IH= J3fH； (3) EG2=AG2+C左【解析】【分析】(1) 由DOEBOF,推出EO= OF, OB= OD,推出四边形 EBFD是平行四边形， 再证明EB= ED即可. 先证明/ABD= 2/ADB,推出/ ADB= 30°,延长即可解决问题.(2) IH= J3FH.只要证明JF是等边三角形即可.(3)结论：EG2=AG2+cE?.如图3中，将4ADG绕点D

3、逆时针旋转90。得到ADCM,先证 明DE84DEM,再证明 ECM是直角三角形即可解决问题.【详解】(1)证明：如图1中，四边形ABCD是矩形, .AD/BC, OB= OD,/ EDO= / FBO, 在 DOE和BOF中，EDO= FBOOD=OB,EOD= BOF.,.DOEABOF7,EO= OF, 1.OB=OD, 四边形EBFD是平行四边形，EF± BD, OB=OD,.EB=ED, 四边形EBFD是菱形.BE平分/ABD,/ ABE= / EBD, .EB=ED,/ EBD= / EDB,/ ABD=2Z ADB, / ABD+Z ADB=90 °,，/AD

4、B=30； /ABD=60 ；/ ABE= / EBO= / OBF= 30 °,/ EBF= 60 °.(2)结论：ih=J3fh.理由：如图2中，延长BE至1J M,使得EM=EJ,连接MJ.V1. 四边形EBFD是菱形，/ B= 60 ;,-.EB=BF= ED, DE/ BF,/ JDH= / FGH, 在 DHJ和AGHF中，DHG= GHFDH=GH , JDH= FGH .DH乒GHF, .DJ=FG, JHF,.EJ= BG= EM=BI,.BE=IM = BF, / MEJ= / B= 60 ； .MEJ是等边三角形，.-.MJ=EM=NI, ZM = Z

5、B=60在ABIF和AMJI中，BI=MJB= M , BF=IM2 .BIFAMJI,.IJ= IF, /BFI=/MIJ, HJ= HF,.-.IH± JF3 / BF+Z BIF= 120 :4 / MIJ+Z BIF= 120 ；/ JIF= 60 ；， JIF是等边三角形，在 RtIHF 中，. /IHF= 90°, /IFH= 60°,/ FIH= 30 °,5 IH= 73 FH.(3)结论：EG2=AG2+C邑理由：如图3中，将4ADG绕点D逆时针旋转90°得到ADCM,6 / FA。/ DEF= 90 °,7 .AF

6、ED四点共圆，/ EDF= / DAE= 45 : / ADC= 90 ；8 / ADF+Z EDC= 45 °,9 / ADF= / CDM,10 / CDM+Z CDE= 45 = / EDG, 在ADEM和 DEG中，DE=DEEDG= EDM , DG = DM11 .DEGADEM,.GE= EM,12 / DCM= / DAG= / ACD= 45 ； AG= CM, / ECM= 90 ° EC2+CM2= EM2,13 EG= EM, AG=CM, .GE2=AG2+C邑【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定

7、和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转 化的思想思'考问题.2.如图所示，(1)正方形ABCD及等腰RtAEF有公共顶点 A, / EAF=90°,连接BE、DF.将RtAEF绕点A旋转，在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图(1)给予证明；(2)将(1)中的正方形 ABCD变为矩形 ABCD,等腰RtAEF变为RtAEF,且AD=kAB,AF=kAE,其他条彳不变.(1)中的结论是否发生变化？结合图(2)说明理由；(3)将(2)中的矩形 ABCD变为平行四边形 ABCD,将RtA AEF变为AAEF,且/BAD=

8、/ EAF=q其他条彳不变.(2)中的结论是否发生变化？结合图 (3),如果不变，直接 写出结论；如果变化，直接用 k表示出线段BE、DF的数量关系，用 a表示出直线BE、DF 形成的锐角3.图1图2图3【答案】(1) DF=BE且DFLBE,证明见解析；(2)数量关系改变，位置关系不变，即DF=kBE, DF± BE； (3)不改变.DF=kBE, 3=18。”【解析】【分析】(1)根据旋转的过程中线段的长度不变，得到AF= AE,又/ BAE与/ DAF都与/ BAF互余，所以/BAE=/DAF,所以FAg4EAB,因此BE与DF相等，延长 DF交BE于G, 根据全等三角形的对应

9、角相等和四边形的内角和等于360°求出/ EGF= 90°,所以DF± BE;(2)等同(1)的方法，因为矩形的邻边不相等，但根据题意，可以得到对应边成比例，所以FA2 4EAB,所以DF=kBE,同理，根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角 和等于360°求出/EHF= 90°,所以DF, BE;(3)与(2)的证明方法相同，但根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360 °求出/£人5+/ EHF= 180 °,所以 DF 与 BE 的夹角 3= 180 -【详解】(1) DF与BE互相垂直且相等.证

10、明：延长 DF分别交AR BE于点P、G在正方形ABCD和等腰直角4AEF中AD= AB, AF= AE,Z BAD= Z EA已 90 ° Z FAA Z EAB FA® EAB/AFA/AEB, DF=BEZ AFD+Z AFG= 180 ,Z AEG+ZAFG= 180 , Z EA曰 90 ； Z EG三 180 - 90 = 90 :DFXBEDF= kBE, DF± BE.能尤AB AE Z BAD= Z EAF=a Z FAA Z EAB FAA EABDF AF kBE AE2 .DF= kBE.FADAEAB,Z AFD Z AEB,Z AFD+

11、Z AFH= 180 ,Z AEH+ZAFH=180 ；3 Z EA3 90 °,4 Z EH已 180 - 90 = 90 ；DFXBE(3)不改变.DF= kBE, 3=180 - a. 延长DF交EB的延长线于点 H,(2)数量关系改变，位置关系不变.AF= kAE.AD=kAB,ADAB"k AEAD AFAB AE / BAD= / EAF= a/ FAD= / EAB.FADAEABDF AF , k BE AE.DF= kBE由 FAD EAB得 / AFD= / AEB / AFD+/AFH= 180 ° / AEB+/AFH= 180 °

12、; 四边形AEHF的内角和为360 : / EAF+Z EHF= 180 ° / EAF= a, / EHF= 3 ,a+ 片 180 :3= 180 - a【点睛】本题(1)中主要利用三角形全等的判定和性质以及正方形的性质进行证明；(2) (3)利用相似三角形的判定和性质证明，要解决本题，证明三角形全等和三角相似是解题的关 键，也是难点所在.3.如图1,在AABC中，/ACB=90°,点P为 A AB呐一点.(1)连接PB, PC,将ABCP沿射线CA方向平移，得到 ADAE点B, C, P的对应点分别为 点D、A、E,连接CE. 依题意，请在图2中补全图形； 如果BP&

13、#177;CE, BP=3, AB=6,求CE的长(2)如图3,以点A为旋转中心，将 AABP版时针旋转60彳导至iJAMN,连接PA PR PC, 当AC=3, AB=6时，根据此图求 PA+PB+PM最小值.【答案】(1)补图见解析；【解析】(1)连接P® PC,将4BCP沿射线CA方向平移，得到 DAE,点B、C、P的对应点分别为点D、A、E,连接CE,据此画图即可； 连接BD、CD,构造矩形ACBD和CE的长;RtA CDE,根据矩形的对角线相等以及勾股定理进行计算，即可求得如图，连接BD、CD(2)以点A为旋转中心，将 4ABP顺时针旋转60°得到AAMN,连接B

14、N,根据 PAM、 ABN都是等边三角形，可得 PA+PB+PC=CP+PM+MN|后根据当 C P、M、N四点共射 线，PA+PB+P必值最小，此时 4CBN是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题 BCP沿射线CA方向平移，得到 ADAE, .BC/ AD 且 BC=AR / ACB=90 ； 四边形 BCAD是矩形，CD=AB=6, .BP=3,，DE=BP=3 . BPXCE, BP/ DE,DE± CE, .在 RUDCE中，CE =，CD - DE = ；：砧-“超=3口 ；(2)证明：如图所示,CA当C、P、M、N四点共线时，PA+PB+PCM小由旋转可得， AMN0 A

15、PB,，PB=MN易得APM、4ABN都是等边三角形，PA=PMPA+PB+PC=PM+MN+PC=C NBN=AB=6, / BNA=60 ； / PAM=60 °/ CAN=Z CAB+Z BAN=60 +60 = 120 ；/ CBN=90 °在RtABC中，易得BC =，AB匚/三,在RtA BCN中，CN = ；瞋+肃=守+ ：拓=：*甲尊睛”本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定和性 质、矩形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和 全等三角形，依据图形的性质进行计算求解 .4.如图1, 4ABC是边长

16、为4cm的等边三角形，边 AB在射线OM上，且OA=6cm,点D 从。点出发，沿 OM的方向以1cm/s的速度运动，当 D不与点A重合时，将4ACD绕点C 逆时针方向旋转 60°得到4BCE连结DE.(1)求证：4CDE是等边三角形；(2)如图2,当6vtv10时，4BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出 4BDE的最小 周长；若不存在，请说明理由；(3)如图3,当点D在射线OM上运动时，是否存在以 D、E、B为顶点的三角形是直角 三角形？若存在，求出此时 t的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)存在【解析】试题分析：(1)由旋转的性质得到 /DC&

17、amp;60。，DC=EC,即可得到结论;(2)当6vt10时，由旋转的性质得到 BE=AD,于是得到Cadbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根据等边三角形的性质得到DE=CD,由垂线段最短得到当CD, AB时，4BDE的周长最小，于是得到结论；(3)存在，当点D于点B重合时，D, B, E不能构成三角形，当04<6时，由旋转的性质得到/ABE=60°, / BDE< 60°,求得/ BED=90°,根据等边三角形的性质得到Z DEB=60 ；求得 /CEB=30 ；求得 OD=OA-DA=6-4=2,于是得到 t=2 + 1琢当 6<

18、;t< 10s 时，此时不存在； 当t>10s时，由旋转的性质得到 /DBE=60°,求得/BDE>60°,于是得到 t=14+ 1=14>.试题解析：(1)证明：二,将4ACD绕点C逆时针方向旋转 60°得到4BCE/ DCE=60 ； DC=EC, .CDE是等边三角形；(2)存在，当6<t< 10时， 由旋转的性质得，be=ad, /.Ca dbE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE, 由(1)知，4cde是等边三角形， de=cd, Ca dbe=CD+4, 由垂线段最短可知，当CD± AB时，4BDE的周

19、长最小，此时，CD=2,3 cm, .BDE的最/、周长=CD+4=2 百+4;(3)存在，二当点D与点B重合时，D, B, E不能构成三角形，当点D与点B重合时，不符合题意；当04<6时，由旋转可知， Z ABE=60°, /BDEv 60°,/ BED=90 :由(1)可知，4CDE是等边三角形，/ DEB=60 :/ CEB=30 ； / CEB=Z CDA,/ CDA=30 ; / CAB=60 ；/ ACD=ZADC=30 :DA=CA=4,.OD=OA- DA=6-4=2,2 .t=2 + 15 2 当 6vtv 10s时，由 ZDBE=120 °

20、;>90°, ，此时不存在；当t>10s时，由旋转的性质可知，Z DBE=60 °,又由(1)知 ZCDE=60°,/ BDE=Z CDEfZ BDC=60 +z BDC,而/ BDC>0°,3 / BDE> 60 ；4 只能 / BDE=90 ；从而 / BCD=30°,5 .BD=BC=4,1. OD=14cm, - t=14 + 1=sl4综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.点睛：在不带坐标的几何动点问题中求最值，通常是将其表达式写出来，再通过几何或代 数的方法求出最值；像第三小问

21、这种探究性的题目，一定要多种情况考虑全面，控制变 量，从某一个方面出发去分类.5. (12分)如图1,在等边4ABC中，点D, E分别在边AB, AC上，AD=AE,连接BE, CD,点M、N、P分别是 BE、CD BC的中点.(1)观察猜想：图1中，4PMN的形状是；(2)探究证明：把 4ADE绕点A逆时针方向旋转到图 2的位置， PMN的形状是否发生 改变？并说明理由；(3)拓展延伸：把 4ADE绕点A在平面内自由旋转，若 AD=1, AB=3,请直接写出 4PMN 的周长的最大值.AA3C B P C图】圉2【答案】(1)等边三角形；(2) 4PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形，理

22、由见解析；(3) 6【解析】分析：(1)如图1,先根据等边三角形的性质得到AB=AC, ZABC=ZACB=60°,则BD=CE,再根据三角形中位线性质得PM/CE, PM=- CE, PN / AD, PN=- BD,从而得到22PM=PN, /MPN=60°,从而可判断 PMN为等边三角形；(2)连接CE BD,如图2,先利用旋转的定义，把 4ABD绕点A逆时针旋转60°可得到 CAE,贝U BD=CE, /ABD=/ACE 与(1) 一样可得 PM=PN, / BPM=/ BCE, /CPN=/CBD,则计算出 / BPM+/CPN=120 从而得至ij /

23、 MPN=60 ；于是可判断 PMN为 等边三角形.(3)利用AB- AD由D系B+AD (当且仅当点 B、A、D共线时取等号)得到 BD的最大值为4,则PN的最大值为2,然后可确定4PMN的周长的最大值.详解：（1）如图1. 4ABC为等边三角形，AB=AC, Z ABC=Z ACB=60 °. AD=AE, .1. BD=CE点M、N、P分别是BE、CD BC的中点， .PM/CE, PM = 1CE） PN/AD, PN=BD, 22.PM=PN, / BPM=/BCA=60 ； Z CPN=ZCBA=60 ；/ MPN=60 ； APMN 为等边三角形；故答案为等边三角形；（

24、2） APMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形.理由如下：连接CE BD,如图2. AB=AC, AE=AD, Z BAC=Z DAE=60 °,.把 ABD绕点A逆时针旋转60可得到 CAE,.BD=CE, /ABD=/ACE与（1） 一样可得 PM/CE, PM = 1cE, PN/ AD, PN=1BD, 22.PM=PN, /BPM=/BCE, ZCPN=ZCBD, / BPM+Z CPN=Z CBD+Z CBD=ZABC- / ABD+Z ACBZ ACE=60 +60 = 120 ；/ MPN=60 ； APMN 为等边三角形.（3） PN=；BD, .当BD的值最大时

25、，PN的值最大.,AB- AD<BDqB+AD （当且仅当点 B、A、D共线时取等号）.BD的最大值为1+3=4,，PN的最大值为2, .PMN的周长的最大值为 6.点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线 段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了等边三角形的判定与性质和三角 形中位线性质.6.已知4ABC是边长为4的等边三角形，边 AB在射线OM上，且OA=6,点D是射线OM 上的动点，当点 D不与点A重合时，将4ACD绕点C逆时针方向旋转60°得至IJBCE,连接DE.(1)如图1,猜想：4CDE的形状是 三角形.(2)请证明

26、(1)中的猜想（3）设 OD=m,当6vmv10时，BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出4BDE周长的最小值;若不存在，请说明理由. 是否存在m的值，使4DEB是直角三角形，若存在，请直接写出 m的值；若不存在, 请说明理由.，以 D、E、【答案】（1）等边；（2）详见解析；（3）2 73+4;当m=2或14时为顶点的三角形是直角三角形.【分析】（1）由旋转的性质猜想结论；（2）由旋转的性质得到 /DCE=60°, DC=EC,即可得到结论；（3） 当6vmv10时，由旋转的性质得到 BE=AD,于是得到Cadbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根据等边三角形的性质得到

27、DE=CD,由垂线段最短得到当0D± AB时，4BDE的周长最小，于是得到结论； 存在，分四种情况讨论：a）当点D与点B重合时，D, B, E不能构成三角形；b）当0用<6时，由旋转的性质得到 Z ABE=60°, /BDEv60°,求得/BED=90°,根据等边 三角形的性质得到 /DEB=60°,求得/CEB=30°,求得 OD=OA- DA=6 - 4=2=m;c）当6<m< 10时，此时不存在；d）当m>10时，由旋转的性质得到 Z DBE=60 °,求得/ BDE> 60°,

28、于是得到 m=14.【详解】（1）等边；（2）二将 4ACD 绕点 C 逆时针方向旋转 60° 得到 4BCE 1 / DCE=60°, DC=EC,.CDE 是等边三角形.（3） 存在，当6vt<10时，由旋转的性质得：BE=AD, Cadbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由（1）知，4CDE是等边三角形，. DE=CD, Ca dbe=CD+4,由垂线段最短可知，当CD± AB时，4BDE的周长最小，此时，CD=2 J3 , .8口£的最/、周长=CD+4=2 73+4;存在，分四种情况讨论：a）二当点D与点B重合时，D, B, E

29、不能构成三角形，当点D与点B重合时，不符合 题意；b）当 0 用 <6 时，由旋转可知， Z ABE=60 °, /BDEv 60°,，/BED=90°,由（1）可知， CDE是等边三角形，/ DEB=60 °,/ CEB=30 °. / CEB=Z CDA,/ CDA=30 :/CA&60；Z ACD=Z ADC=30 ； . DA=CA=4, . OD=OA DA=6 - 4=2, . m=2;Sic）当 6vmv10 时，由 Z DBE=120 °> 90°,，此时不存在；d）当m>10时，由

30、旋转的性质可知，Z DBE=60°,又由（1）知/CDE=60°,Z BDE=Z CDEnZ BDC=60 +Z BDC,而 / BDC> 0 °, . / BDE>60 °, .只能 / BDE=90 ；从 而/BCD=30°,BD=BC=4,，OD=14,，m=14.综上所述：当 m=2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.【点睛】 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判 定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.7.如图 1, 4ABC 中，CA=CB, Z ACB=90 

31、6;,直线 l 经过点 C, AFL 于点 F, BEX l 于点 E （1）求证：4AC阵 ACBE；（2）将直线旋转到如图 2所示位置，点 D是AB的中点，连接DE.若AB=4J2 ,/CBE=30 ；求 DE 的长.J图1靶7月【答案】（1）答案见解析；（2）应褥【解析】试题分析：（1）根据垂直的定义得到 /BEC=/ACB=90。，根据全等三角形的性质得到 /EBO/CAF,即可得到结论；（2）连接CD, DF,证得BCEACF,根据全等三角形的性质得到 BE=CF, CE=AF,证得 DEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到EF=J2dE, EF=C&BE,进而得

32、至ij DE的长.试题解析：解：（1） . BEX CE,ZBEC=Z ACB=90°, / EBG/BC曰/ BCE+/ACF=90 ； . . / EBO/CAF. -. AFX l 于点 F, . / AFC=90 ：AFC BEC 90在ABCE与AACF中， EBC ACF , /.AACFACBE(AAS)； BC AC(2)如图 2,连接 CD, DF. . BEX CE, . / BEC=/ACB=90°, / EBG/BCE=/ BC&/ACF=90 ； . . / EBO/CAF. -. AFX l 于点 F, . / AFC=90 ：AFC B

33、EC 90在 ABCE 与 ACAF 中， EBC ACF ,， BC珞 CAF (AAS); BC ACBE=CF. ,点 D 是 AB 的中点,，CD=BD, / CDB=90 ； . . / CBD=/ACD=45 ；而BE CF /EBO/CAF, ./EBD=/DCF.在 BDE与CDF中， EBD FCD ,BD CF.,.BDEACDF (SAS , ，/ EDB=/FDC, DE=DF, / BDE+/ CDE=90 ； / FDG/ CDE=90 :即 / EDF=90 ； . EDF是等腰直角三角形，. EF=6 DE,EF=CE+CF=CE+BE. / CA=CB, /

34、ACB=90 ； AB=4亚，. BC=4 .又一/ CBE=30°,.CE=1bC=2, BE=V3cE=273,EF=CE+BE=2+2V3 , 1- DE=F = 2 3 =& +76 .点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形 斜边上的中线的性质，证得 BCEACF是解题的关键.8.如图1, 4ACR 4AED都为等腰直角三角形，/ AED=/ ACB=90°,点D在AB上，连CE, M、N分别为BD、CE的中点.(1)求证：MNLCE;(2)如图2将4AED绕A点逆时针旋转 30°,求证：CE=2MN.B【答

35、案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）延长DN交AC于F,连BF,推出DE/ AC,推出EDNsCFN,推出DE ENCF CN吧NF求出DN=FN, FC=ED得出 MN是中位线，推出 MN / BF,证 CAEBCF 推出 /ACE4 CBF,求出 / CBF+/ BCE=90；即可得出答案；（2）延长 DN至IJG,使DN=GN,连接CG,延长DE、CA交于点K,求出BG=2MN,证 CAEBCG,推出BG=CE即可得出答案.试题解析：（1）证明：延长 DN交AC于F,连BF,3图1. N为CE中点，.EN=CN,1 .ACB 和 4AED 是等腰直角三角形，/

36、AED=/ ACB=90 ,° DE=AE AC=BC/ EAD=Z EDA=Z BAC=45 ,°2 .DE/ AC,3 .EDNACFN,DEEN DN一 一 ，CF CNNF4 .EN=NC, .DN=FN, FC=ED5 .MN是43口5的中位线,MN / BF, . AE=DE DE=CF，AE=CF Z EAD=Z BAC=45 ； / EAC玄 ACB=90 ,°在ACAE和ABCF中，CA= BCCAE= BCF , AE=CF .CAEABCF (SAS , / ACE玄 CBF,叫 Z ACE-+Z BCE=90,° / CBF吆 B

37、CE=90,°即 BF± CE, MN / BF, MN ICE.(2)证明：延长 DN至IJG,使DN=GN,连接CG,延长DE、CA交于点K,3由G. M为BD中点，2 .MN是ABDG的中位线，.BG=2MN,在EDN和？CGN中，DN = NGDNE= GNC , EN = NC3 .EDNACGN (SAS), DE=CG=AE / GCN=Z DEN,4 .DE/ CG,/ KCG=Z CKE5 / CAE=45 +30 +45 = 120 ；/ EAK=60 ,° / CKE4 KCG=30,°/ BCG=120,°在4CAE和4

38、BCG中，AC=BCCAE= BCGAE=CG .CAEABCG (SAS , BG=CE .BG=2MN, .CE=2MN.【点睛】考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线，平行 线性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力.9.已知：在 ABC中，BC=a, AC=b,以AB为边作等边三角形 ABD.探究下列问题： (1)如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3,且/ ACB=60 ,则CD,； (2)如图2,当点D与点C位于直线 AB的同侧时，a=b=6,且/ ACB=90 ,则CD=; (3)如图3,当/ACB变化，且点D与点C位于直线AB的两侧时，求

39、 CD的最大值及相应 的/ ACB的度数.【答案】(1) 3%/； (2) 3；63巴 (3)当/ACB=120时，CD有最大值是a+b.【解析】【分析】(1) a=b=3,且/ACB=60, AABC是等边三角形，且 CD是等边三角形的高线的 2倍，据 此即可求解；(2) a=b=6,且/ACB=90, AABC是等腰直角三角形，且 CD是边长是6的等边三角形的 高长与等腰直角三角形的斜边上的高的差；(3)以点D为中心，将4DBC逆时针旋转60。，则点B落在点A,点C落在点E.连接AE, CE,当点E、A、C在一条直线上时， CD有最大值，CD=CE=a+b 【详解】(1) ,. a=b=3

40、,且 /ACB=60,.ABC是等边三角形，3,3，OC=工,，CD=" 3k石-3V2；(3)以点D为中心，将4DBC逆时针旋转60°,则点B落在点A,点C落在点E.连接AE, C匕 . CD=ED, / CDE=60 ； AE=CB=a .CDE为等边三角形, .CE=CD当点E、A、C不在一条直线上时，有 CD=CE< AE+AC=a+lb当点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=a+b只有当 /ACB=120 时，/CAE=180, 即A、G E在一条直线上，此时 AE最大 ./ACB=120,°因此当/ACB=120时，CD有最大值是

41、a+b.CD有最大值的条件,本题主要考查了等边三角形的性质，以及轴对称的性质，正确理解 是解题的关键.10.如图所示，在 4ABC中，D、E分别是AR AC上的点，DE/ BC,如图，然后将DM ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图 ，然后将BD、CE分别延长至M、N,使 = BD, EN= *CE,得到图 ，请解答下列问题：(1)若AB=AC,请探究下列数量关系: 在图中，BD与CE的数量关系是 在图中，猜想AM与AN的数量关系、/ MAN与/ BAC的数量关系，并证明你的猜 想；(2)若AB= k AC(k> 1),按上述操作方法，得到图 ，请继续探究：AM与AN的数量关 系、/

42、MAN与/ BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证 AM=AN , / MAN= / BAC理由如下: .在图中，DE/BC, AB=AC .AD="AE."AR = ACtAABCAACE.,.A -A _ , AD = AE 在 ABD与AACE中BD=CE /ACE玄 ABD. 在ADAM与 EAN中， 1. DM=BD, EN=2CE, BD=CE ，DM=EN, / AEN=/ ACE+Z CAE, / ADM= / ABD+Z BAD,/ AEN=Z ADM.y.' AE=AD,AADMAAEN.'.AM=AN, / DAM=/EAN.，/

43、MAN= / DAE=/BAC.AM=AN, /MAN=/BAC.(2) AM=kAN, /MAN=/BAC.【解析】(1) 根据题意和旋转的性质可知 AE®4ADB,所以BD=CE; 根据题意可知 Z CAE=BAD AB=AC, AD=AE,所以得到 BA4 4CAE,在 ABM和 ACN 中，DM= BD, EN= CE：,可证ABM0ACN,所以 AM=AN ,即 / MAN= / BAC.(2)直接类比(1)中结果可知 AM=k?AN, /MAN=/BAC.11.如图1,在正方形 ABCD中，点E、F分别在边BC, CD上，且BE=DF点P是AF的中 点，点Q是直线AC与E

44、F的交点，连接 PQ, PD.(1)求证：AC垂直平分EF;(2)试判断4PDQ的形状，并加以证明；(3)如图2,若将4CEF绕着点C旋转180°,其余条件不变，则(2)中的结论还成立【答案】(1)证明见解析;吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由.(2) 4PDQ是等腰直角三角形；理由见解析(3)成立；理由见解析.【解析】试题分析：(1)由正方形的性质得出 AB=BC=CD=AD /B=/ADF=90,/BCA=/ DCA=45 ；由BE=DF得出CE=CF CEF是等腰直角三角形，即可得出结论；1PQ= AF,得出PD=PQ再证明1PQ= AF,得出PD=PQ 再证明点11

45、1(2)由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF,/DPQ=90 ；即可得出结论；(3)由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF,A、F、Q、P四点共圆，由圆周角定理得出/DPQ=2/ DAQ=90°,即可得出结论.试题解析：(1)证明：二四边形ABCD是正方形， . AB=BC=CD=AD / B=Z ADF=90 ,° / BCA=Z DCA=45 ；,.BE=DF.CE=CF AC垂直平分 EF;(2)解：4PDQ是等腰直角三角形；理由如下： 点 P 是 AF 的中点，/ADF=90,°11.PD= AF=PA/ DAP=Z ADP,.AC垂直平分

46、EF,/ AQF=90 ,°1 PQ= AF=PA / PAQ=Z AQP, PD=PQ / DPF=Z PAD+Z ADP, / QPF=Z PAQ+Z AQP,/ DPQ=2/ PAD+2/ PAQ=2 （ / PAD+Z PAQ =2 X 4590 ； PDQ是等腰直角三角形； （3）成立；理由如下：点 P 是 AF 的中点，/ADF=90,°11.PD= AF=PA BE=DF BC=CD / FCQ=/ ACD=45 ,° / ECQ=Z ACB=45 ； .CE=CF /FCQ=Z ECQ .-.CQ± EF, /AQF=90,°1

47、11PQ= AF=AP=PF PD=PQ=AP=PF点A、F Q、P四点共圆， / DPQ=2/ DAQ=90 ； PDQ是等腰直角三角形.考点：四边形综合题.12.（特例发现）如图1,在4ABC中，AG± BC于点G,以A为直角顶点，分别以 AB, AC为直角边，向4ABC外作等腰RtA ABE和等腰RtACF,过点E、F作射线GA的垂线， 垂足分别为P、Q.求证：EP=FQ（延伸拓展）如图 2,在4ABC中，AG± BC于点G,以A为直角顶点，分别以 AB, AC为 直角边，向 4ABC外作RtAABE和RACF,射线 GA交EF于点H.若AB=kAE, AC=kAF

48、请思考HE与HF之间的数量关系，并直接写出你的结论.（深入探究）如图 3,在4ABC中，G是BC边上任意一点，以 A为顶点，向 ABC外作任 意4ABE和 AACF,射线 GA交 EF于点 H,若 / EAB=/ AGB, / FAC=Z AGC, AB=kAE, AC=kAF,上一问的结论还成立吗？并证明你的结论.（应用推广）在上一问的条件下，设大小恒定的角/IHJ分别与4AEF的两边AE、AF分别交于点M、N,若4ABC为腰长等于4的等腰三角形，其中 /BAC=120,且/IHJ=/ AGB= 0 =60 k=2；求证：当/IHJ在旋转过程中， EMH、4HMN和4FNH均相似，并直接写出

49、线段 MN的 最小值（请在答题卡的备用图中补全作图）.【答案】（1）证明参见解析；（2）HE=HF; （3）成立，证明参见解析；（4）证明参见解析，MN最 小值为1.【解析】试题分析：（1）特例发现：易证 AEPBAG, AFQ0CAG,即可求得 EP=AQFQ=AG,即可解题；（2）延伸拓展：过点 E、F作射线GA的垂线，垂足分别为 P、Q.易证1 II ABGsEAP, AC84FAQ,得到 PE=AG, FQ=AG, . PE=FQ 然后证明II EPHA FQHI,即可得出 HE=HF; （3）深入探究：判断 PEAGAB,得到 PE= AG, 1 AQFACGA, FQ=,得到 FQ

50、&AG,再判断EPHFQH,即可得出 HE=HF; （4）应用推 广：由前一个结论得到 4AEF为正三角形，再依次判断 MHNsHFNM AMEH,即可得 出结论.试题解析：（1）特例发现，如图: / PEA+/ PAE=90 ,° / GAB+/ PAE=90 , °/ PEA=Z GAB,(3 图IFQ=AG, .1. PE=FQ（2）延伸拓展，如图： /EPA之 AGB, AE=AB, /. APEAAGAB, . PE=AG 同理， 4QF心GAC, / PEA+Z PAE=90 ,° / GAB+Z PAE=90 , ° / PEA=Z

51、 GAB,/ EPA=Z AGB,PE AE.PEAAGAB, .尔； 和PE AE.AB=kAE, .A(； kAE,PEfflAG,同理,FQ AF QFAAGAC, ：AG AC, AC=kAF,FQ氐AG, PE=FQ -EP/ FQ, ，/EPH=/ FQH, Z PHE=Z QHF, . EPH FQH, . HE=Hp(3)深入探究，如图2,FEB在直线 AG 上取一点 P,使得 / EP/AGB,彳FQ/ PE, / EAP+Z BAG=180 / AGB,ZABG+Z BAG=180 - / AGB,/ EAP=Z ABG, / EPAAGB,AAPEA BGA,._ = A

52、H,AB=kAE,PE=AG,由于 / FQA=/ FAC=Z AGC=180 - Z AGB,同理可得,|FQ AF11 AQFsCGA 'd,， -1 AO=kAF . . FQ=AG, . . EP=FQ / EP/ FQ, ，/EPH=/ FQH, Z PHE=Z QHF, . EPH FQH, . HE=Hp(4)应用推广，如图3,在前面条件及结论，得到，点H是EF中点，AE=AF, = / EAB=/ AGB, / FAC=Z AGO.-. / EAB+/ FAC=180，°/ EAF=360 -° ( / EAB+/ FAQ - / BAC=60 AE

53、F 为正三角形.又 H 为 EF中点，Z EHM+Z IHJ=120°, Z IHJ+Z FHN=120 ,HM EH_* _* _ 丽而 _ _Z EHM=Z FHN, / AEF=/ AFE, . HEMs HFN, , EH=FHFilrn,且 / MHN=/HFN=60 , . .MHNshFN, . MHNs HFNs MEH,在 HMN中，/ MHN=60° ,根据三角形中大边对大角， ，要MN最小，只有 HMN是等边 三角形，Z AMN=60 , /AEF=60, MN . . MN/ EF, . AEF为等边三角形，. . MN 为 AEF 的中位线，MNm

54、in =1EF=X 2=1考点：1.几何变换综合题；2.三角形全等及相似的判定性质13.如图1,直线DE上有一点O,过点O在直线DE上方作射线 OC, Z COE= 140。，将一 直角三角板AOB的直角顶点放在点。处，一条直角边 OA在射线OD上，另一边OB在直 线DE上方，将直角三角板绕着点 O按每秒10。的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为 t(1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分/COD,求此时/BOC的度数；(2)若射线OC的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA、OC OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请求出t的取值，若不存在

55、，请说明理由；(3)若在三角板开始转动的同时，射线 OC也绕。点以每秒15°的速度逆时针旋转一周， 从旋转开始多长时间，射线 OC平分/BOD.直接写出t的值.(本题中的角均为大于 0。且 小于180°的角)【答案】(1) ZBOC= 7。° (2)存在，t=2, t=8 或 32； (3)1或37 .22【解析】【分析】(1)由图可知/BOC=/AOB- /AOC, /AOC可利用角平分线及平角的定义求出.(2)分OA平分/COD, OC平分/AOD, OD平分/ AOC三种情况分别进行讨论，建立关 于t的方程，解方程即可.(3)分别用含t的代数式表示出 /COD和/BOD,再根据OC平分/BOD建立方程解方程 即可，注意分情况讨论.【详解】(1)解：. /COE= 140°,/ COD= 180 - / COE= 40 °,又 OA平分/ COD,， 1 一/ AOC= - / COD= 20 , / AOB= 90 °,/ BOC= 90 - / AOC= 70 °(2)存在 当 OA 平分/COD 时，/AOD=/AOC 即 10°t = 20°,