2020高考数学一轮复习课时作业55直线与圆锥曲线(理)

1、课时作业55直线与圆锥曲线基础达标221.过椭圆X6+2=1内一点R3,1),求被这点平分的弦所在直线方程.解析：设直线与椭圆交于A(X1, yi)、B(X2, y2)两点,由于A B两点均在椭圆上,X2y* 2故而十h1，2X21610两式相减得X1 + X2X1 X216y1 + y2 y1 y4=0.2019 郑州入学测试22Ab2已知椭圆C:=1( a>b>0)的离心率为，3 2,以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8.(1)求椭圆C的方程；.、1 .一 (2)如图，斜率为-的直线l与椭圆C交于A, B两点，点R2,1)在直线l的左上方.若ZAPB= 90° ,

2、且直线 PA PM别与y轴交于点 M N,求线段 MN勺长度.解析：(1)由题意知c=.：3 a 2 '2ab=8,a2= b2+ c2,解得a2 = 8,b2=2.所以椭圆C的方程为x+y=1.821(2)设直线 l : y= 2x+m| A(xi, yi), B(x2, v2 ,1 .y = X+m联立，得22x- + y=i,82'消去y,化简整理，得 x2 + 2m奸2m24=0.则由 =(2 m24(2m24)>0,得一2Vm<2.由根与系数的关系得，xi + x2= _2m xix2= 2m2-4,， yi iy2 i因为 kP/A=-5, kpE3=-

3、一小xi 2x2 2yi iy2 i yi i x2 2+ y2 i xi 2所以 kPA+ kPB=-+-=xi 2x22xi 2x22i . . i . 一上式中，分子=2xi + mi- i (x22)+ 2x2+ mv-1 (xi 2)=xix2+ (m- 2)( xi + 垣)一4( m- i)一 2, . 一、,、一= 2m4+(mv2)( -2n) -4(mi- i) =0.所以 kPA+ kPB=0.因为/ AP& 90 ,所以 kPA kPB= i, 则 kPA= i, kPB= i.所以 PMN等腰直角三角形，所以 | MN=2xp= 4.3.已知椭圆C：与+

4、63;=i(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0),离心率为 工2.直线y = k(xa b2i)与椭圆C交于不同的两点 M N.(i)求椭圆C的方程；10(2)当 AMN勺面积为时，求k的值.3a= 2,解析：(1)由题意得 9=坐，a 2a| k|又因为点 A(2,0)到直线y= k(x1)的距离d=.,1 + k，_ 1| k| 4+6k2所以 AMN勺面积为S= -| MN d= 1 ： 7 2 , 1 + 2k"k| ；4+6k2,'io 丘/口由1 12k2 =3，解得 k=±1.4. 2019 山西八校联考如图，设椭圆的中心为原点 Q长轴在

5、x轴上，上顶点为 A, 左、右焦点分别为 F1, F2,线段OF, OF的中点分别为 B, B2,且ABB2是面积为4的直角 三角形.= b2+ c2,口山、一，x2 y2解得b=W，所以椭圆C的方程为-+2=1.y=k x-1(2)由 x2 y2一了 十 5=1，得(1 +2k2)x24k2x+2k24= 0.设点M N的坐标分别为(x1, y1), (x2, y2),则 y1=k(x11), y2=k(x21), 224k2k4x1 + x2= ". 2) x 1x2 = c 2)1 + 2k1 + 2k以 | MN = 1 x2 x1 2 + y2 y1 21 k x1 x24

6、x1x22d 1 + k24+6k2=1 + 2k2.(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线l交椭圆于P, Q两点，使得PBXQB,求直线l的方程.22解析：(1)设所求椭圆的标准方程 02+看=1( a>b>0),右焦点为F2( c, 0).因为 ABB2是直角三角形，且| AB| = | AB| ,所以/ BAB=90。， _. C因此 | OA = | OB|，得 b= 2.由 c由 PBXQB,彳#B2P- B2Q= 0, 即 16m 64= 0,解得 m= ±2.所以满足条件的直线l有两条，其方程分别为 x+2y+2= 0和x2y + 2= 0.5

7、. 2019 唐山五校联考在直角坐标系xOy中，长为V2+1的线段的两端点 C, D分别 在x轴、y轴上滑动，CP= "2 PD记点P的轨迹为曲线 E.(1)求曲线E的方程；(2)经过点(0,1)作直线与曲线 E相交于A, B两点，OM= OAF OB当点M在曲线E上时, 求四边形AOBMI面积.解析：(1)设 C(m,0), D(0, n) , Rx, y). 由CP=/ PD 彳#(xm y) =V2( -x, n-y),=a2 b2得 4b2=a2b2,故a2= 5b： c2= 4b2,所以离心率 e = £= 酒.，a 51 c 2在 RtABR 中，OAL BBa

8、,故 $ AB®=2 I BR| I OA= | OI O/A=- b=b2.由2 2题设条件SAABB2=4得b2=4,所以a2=5b2=20.因此所求椭圆的标准方程为 +4 = 1.(2)由(1)知B(2,0) , B(2,0).由题意知直线l的斜率存在且不为 0,故可设直线l 的方程为x= my- 2,代入椭圆方程并整理得 (5)y24my-16=0.设 P(xi, y1) , Qx2, y2), 4m 16则 y1+y2= 2 , y1 , y2 = - 2 .,m m m+5 J m m+5 又RP= (xi 2, y1), RQJ= (X2 2, y2), 所以 BP -

9、艮0= ( xi 2)( x2 2) + y1y2= (my 4)( my 4) + w= ( nm+ 1) yy 4m yd y2)16 R2+116m16R2-64+16=m+5 mn +16= m+5 ,所以x m=一也x, y=W nym=得n=x,由|CD = W+1,得 m2+n原点到直线 AB的距离d=F=W3,V1 + k3所以平行四边形 OAMB勺面积S=|AB d = 芈. 26. 2018 天津卷设椭圆x2+b2=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B已知椭圆的离心»、， ,5率为4点A的坐标为(b,0),且| FB - I AB =（也+1）2,

10、所以（啦+1）2x2+ W； 1-y2=（小+ 1）2,2整理，得曲线 E的方程为x2+y2= 1.(2)设 A(xi, yi), Rx2, y。，由O睡O。OB知点M坐标为(xi + x2, yi + y2).由题意知，直线 AB的斜率存在.设直线AB的方程为y=kx+1,代入曲线E的方程，得(k2+2) x2 + 2kx-1 = 0, 2k1则 x1+ x2=-卜2+ 2, x1x2 =卜2+ 2.y1+ y2= k（x1 + x2） + 2 =卜2+ 2.,2 2V1 + 丫2由点MB曲线E上，知(xi+X2)+、/一=1,rr4k28.i.2 一即k2+22+ k2+2工=1，斛得 k

11、 = 2.oo3 2这时|AE|=Vi+ k2| Xi-X2| =”X1 + X22-4x1x2 = 2-,= 542sin / AOQO为原点），求k的值.2a= 3b.由已知一 .O' 5. r r r 一解析：（1）设椭圆的焦距为 2c,由已知有 了=©,又由a=b + c,可得可得 |FB =a, |AB = #b,由| FE| |AB=6，2,可得 ab = 6,从而 a=3, b = 2.所以，椭圆的方程为:+ 1=1.94(2)设点P的坐标为(x1, y1)，点Q的坐标为(x2, y2).由已知有 y1>y2>0,故 |PQsin / AOQy1 -

12、y2.又因为 |AQ = .in y2OAB 而/ OA屋I 所以 |AQ=/y2. sin 匕 AB4由程0" = ¥sin/AOQ 可得 5y1=9y2.y= kx,6k由方程组x2 y2_消去x,可得y1=j 29+4=1v9 + 4易知直线AB的方程为x+y 2=0,y= kx,由方程组x+y 2= 0消去x,可得y2= =.由5y1 = 9y2,可得5( k+1) = 3吊9k2+4,两边平方,.一 2. 一 1 .11整理得 56k - 50k+11 = 0,解得 k = 或 k=228一一1,11所以k的值为；或.2 28能力挑战,焦点为F1（7. 2018

13、江苏卷如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C过点 J3, 2V3, 0）, F2（ V3, 0）,圆 o的直径为 F1F2.(1)求椭圆C及圆O的方程;(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.若直线1与椭圆C有且只有一个公共点，求点 P的坐标;直线1与椭圆C交于A, B两点.若 OAB勺面积为挛，求直线1的方程.解析：解法一 (1)因为椭圆C的焦点为F1(-a/3, 0), F2(J3, 0), 所以可设椭圆 C的方程为，+1(a>b>0).,1 ,又点. 3, 2在椭圆C上,3 , 1,1+ 72= 1，所以a4ba2- b2= 3,解得a2= 4, b2=1.一ME r

14、x22因此，椭圆C的方程为x + y2=1.因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为 x2+y2=3.(2)设直线 1 与圆 O相切于 P(x0, y0)( x0>0, y0>0),则 x20+ y20=3.所以直线l的方程为x0_x03y=#xx0)+y0，即 丫=-时+不x1 2.了 + y =1，由x0 , 3尸一而十丫0，消去V，得(4 x20+ y20) x2-24x0x+ 36 4y20= 0.(*)因为直线1与椭圆C有且只有一个公共点，所以 = ( 24x0) 2 4(4 x20+ y20) (36 4y20) = 48y20( x20- 2) = 0.因为 x0>

15、;0, y0>O, 所以 x0=, y0=1.因此，点p的坐标为(、/2, 1).因为三角形OAB勺面积为2y6,所以 2AB OP= 2-76,从而 AB= 472设 A(x1, y1), B(x2, y2),由(*)得 x1,2 =24x0±448y20 x20224x20 + y20所以 AB=（xix2） +（yl y2）x20 48y20 x202=1 +加4x20 + y20 2因为 x20+y20=3,3249,Ad 16 x20-2所以 AB=x20+1 24_ 2_ _即 2x0 45x 0+ 100=0,解得x20= 2（x20= 20舍去），则y20 =

16、J因此P的坐标为 邛，乎则直线l的方程为y=-5x+32.解法二 (1)由题意知c=3,所以圆O的方程为x2+y2=3,因为点 /3, 2在椭圆上，所以 2a=tJ3 2+ 2-0 2+y f3+f3 2+ - - 0 2= 4,所以a=2.因为 a2=b2+c2,所以 b= 1,x22所以椭圆C的方程为4+y2=1.(2)由题意知直线i与圆o和椭圆c均相切，且切点在第一象限，所以直线 l的斜率k存在且k<0,设直线l的方程为y= kx+ m(k<0, m>0),将直线l的方程代入圆 O的方程，得x2+(kx + m)2=3,整理得(k2+ 1) x2+ 2km奸 mi-3=

17、 0,因为直线l与圆O相切，所以 A = (2km)24(k2+1)( m3) =0,整理得mi=3k2+3,将直线l的方程代入椭圆 C的方程， 2 x2得一十(kx+ m = 1,4整理得(4 k2+ 1) x2+ 8kmx+ 4mi- 4 = 0,因为直线l与椭圆C相切，所以 = (8 km)2 4(4 k2+1)(4 m24) =0,整理得mi=4k2+1,所以 3k2+3=4k2+1,因为 k<0,所以 k=-V2,贝U mi= 3,将卜=侦，m= 3 代入(k2+1)x2+2km奸 m2- 3= 0,整理得x22啦x+2=0,解得 X1 = X2=2,将 X = q2代入 x2

18、+y2=3,解得y= 1(y=1舍去)，所以点P的坐标为(2, 1).设 A(xi, kX1+ m), B(X2, kx2+m),22由知 m=3k +3,且 k<0, m>0,因为直线l和椭圆C相交，所以结合的过程知m）<4k2+ 1,解得k<-72,将直线l的方程和椭圆 C的方程联立可得（4k2+1）2+8km肝4m24=0,解得X1,2 =8km± 4,4k2 + 1 m224k2+ 1m、一 . 4*k2+ 1 m 所以 | X1 -x2| = X 4k2+ ,2,2 .,2.4. 4k2+ 1m2.因为 AB= V X1 X2+kx1 kx2=|X1-X2|yk+1=4k2+1qk+1,O到l的距离d= J3,A/k2+l、,14