自动控制原理_第三章(程鹏_著)_高等教育出版社_课后答案

1、第三章 时動析法31图231表示一个电磁线圈，其中/? = 200 Q, L = 1 H。取电压u为输入量，电流i为输出量。试计算该线圈的过渡过程时间人。解该线圈的微分方程为u i R + L 話对上式两边取拉氏变换，并令初始条件为零，町得传递 函数为/( $)二 1 RU(s)二(L /?) 5+ 1时间常数r= L /? = 0 .005 s,过渡过程时间t、=3T =0 .015 So32 一阶系统结构图如图232所示。其中6( s) = 10 (0 2 £ + 1)。 今欲采用加负反馈的办法，将过渡过程时间A减少为原來的10倍，并保证R3至CV)的总放大系数不变。试确定如何调

2、整参数Kh和K-图2-3-2 阶系统解 如图232所示系统的闭环传递函数为C(s)10K。K_/?( s)二 0 2s+ 1 + 10/Ch 二 Ts + 1其中第三章时域分析法1730 21 + 10/Ch原系统的时间常数为0 2 s,放人系数为1(),为了满足题目的要求，令7=0 .02 s 和 K= 10,有 Kx =0 .9 和 Ko = l()o33假设温度计可用传递函数1 (心+1)描述。现用温度计测量水温, 发现需要1 min时间才能指示出实际水温的98%数值。试确定时间常数 几解 设厂(门为温度计的输入，表示实际水温，设c(。为温度计的输出，表 示温度计的指示值，若实际水温为心

3、常值)，则输入r(r)为幅值为R的阶跃函 数，输出为c( r) = R( e '')根据所给条件，有0 98 /?= /?(1 e'6"')则时间常数T= 15 34 So3-4设控制系统的闭环传递甫数为0(5)=试在$平而上绘出满足下列要求的闭环极点可能位于的区域。(1) 1 > 逅 2, g M2(2) 1 2M ©>0,4N con N2(3) R 2> ©Ml 2,3nW2解所给传递函数的闭环极点为Sil2 = 3 土j3“ J 1 匸根据上述表达式，可以确定图233中的阴影部分为闭环极点可能位于的区 域(

4、考虑到对称性，只绘岀了 s平面的上半平面)。图2-3-3闭环极点町能位于的区域35典型二阶系统的单位阶跃响应曲线如图2- 34所示。试确定系统 的传递函数。解典型二阶系统的传递函数为由如图2 - 34所示的响应曲线，可知峰值时间rP = 1 s,超调量。 = 33 3%,根据二阶系统的性能指标计算公式0% =e'Bi X 100%和n仆二r 7J J 1歹可以确定C = 0 .33和3n = 3 33 ,根据如图2-3-4所示曲线的终值，可以确定K = 3°图2-3-4 响应曲线36系统结构如图2 -35所示。要求© = 0 6,试确定参数K的值，并计算动态性能指标

5、zP > r及o%。第三章时域分析法#第三章时域分析法#图235系统结构图解如图2-3-5所示系统的传递函数为C( 5)0R(s) = d + (1 + 5 Kf)s+ 10是一个典型的二阶系统，其自然振荡频率为5 = /?0 = 36 rad s,令阻尼比1 + 5 /G2 /To=0.6第三章时域分析法#第三章时域分析法175n85 s可以确定 = 0 56,性能指标及。分别为 =I 24 so%X 100% =9 .48%37设单位负反馈系统的开环传递函数为4试写出该系统的阻位阶跃响应和单位斜坡响应的表达式。解 系统为典型二阶系统，自然振荡频率can = 2 rad s,阻尼比 &

6、quot;05。单位阶跃响应的表达式为/?(t) = 1 1 54e 'sin(l .732r + 60°)( r>0)单位斜坡响应的表达式为g( r)=八 0 5 +0 577e 'sin(l .732/+ 120°)(r>0)38设单位负反馈系统的开环传递函数为G(5)= 5(0.15+l)试分别求出当K=10s'和K=20 s '时系统的阻尼比J无阻尼自然振荡频率 4、单位阶跃响应的超调量。、峰值时间"及过渡过程时间并讨论K的 大小对性能指标的影响。解 当K=10s '时，系统的闭环传递函数为10()5 +

7、10.$+ 100其中，无阻尼自然振荡频率H = 10,阻尼比 = 0 5,单位阶跃响应的超调彊o%、峰值时间tp和过渡过程时间t.分别为16 3%、0 36 s和0 .7 s。 当K = 20s时，系统的闭环传递函数为(£)=2005 + 105 + 200第三章时域分析法181解系统的闭环传递函数为人造卫星图2-3-6 I!星姿态控制系统其中，无阻尼自然振荡频率3 = 144,阻尼比© = 0 35,单位阶跃响应的超调 量o%、峰值时间/P和过渡过程时间分别为30 .9%、0 24 s和0 .7 s。K值增大使得阻尼比©减小，导致超调量。增大和峰值时间tP减小

8、，但 过渡过程时间t.不变。39图2-3-6为人造卫星姿态控制系统简化结构图。假设控制器的时 间常数T=3 s,力矩与惯量比K J=2 9ra(f s',试求系统的阻尼比及各项动 态性能指标。(KT 小+ ( K 丿)s + ( KT J)s+ ( K J)无阻尼自然频率5 = fKJ = 0 .47,阻 尼比 ©二 KT (25 J) = 0 .707。利用Matlab软件进行仿真得到单位阶跃响应曲线如图2-3-7所示，从图中可确定 超调量约为20%,过渡过程时间约12 So图237 单位阶跃响应3 - 10设电子心率起搏器系统如图2 3-8所示，其中模仿心脏的传递函 数相

9、当于一纯积分器。£($)KiC(s)0.05 卄 1S实际心速图238电产心率起搏器系统(1) 若=0 5对应垠佳响应，问起搏器增益K应取多少？(2) 若期望心速为60次min,并突然接通起搏器，问1 s后实际心速为多 少，瞬时最大心速为多少？解(1)闭环传递函数为0( 5)=0 .055 + s+ K令2 ©叫二1 0 .05和© = 0 5,可得叫=20 rad s,再由況=K 0 .05，可得K = 20 o(2) 该系统的过渡过程时间二孚= 0 35 s,所以一分钟后系统已经达到稳态，实际心速为60次min;又由于超调量。 = 16%,最大瞬时心速为69

10、.6 次 min。31 1图2-3-9是E机自动控制系统的简单结构图。试选择参数K和 K,使系统的<on = 6 rad s= 1,并讨论系统在单位阶跃作用下的各项性能 指标。图2-3-9飞机I动控制系统解系统的开坏传递函数为G(»25A一虫一5 »-$(£ + 0 .8 + 25 KK, ) - s(s+2SQ由 3, 5 厂斤=6,有 K= .44;由 2匚弘=().8 + 25 KK、，有 K, =0 31 lo 由于阻 尼比©=1,所以在单位阶跃信号作用下，超调量。=0,调节时间t. = 4 .75(4 = 0 .79 s,稳态误差=0(定

11、义误差e= rc)。312试用稳定性判据确定具有下列特征方程式的系统稳定性。(1) 5+205+9 5+100=0(2) f + 20s +95+200 = 0(3) 3s + 105 +5s + 5+2=0解(1)= 1, cii =20, a： =9, a3 = 100,计算2阶赫尔维茨行列式a. a?D、= 80 > 0a。 a2 根据林纳德-奇帕特(Lienard-Chipard)稳定判据，系统稳定。(2) 00 = 1, a, =20, a, =9, 6= 200,计算2阶赫尔维茨行列式Q| ajD2 = - 20 < 0°0 a2根据林纳德奇帕特(Lienar

12、d-Chipard)稳定判据，系统不稳定。(3) Qo = 3, 5=10, a? = 5, 6 = 1, a4 = 2,计算3阶赫尔维茨行列式550D =4 八 153<0根据林纳徳-奇帕特(Lienard-Chipard)稳定判据，系统不稳定。313设系统特征方程式如下，试用劳斯判据确定系统正实部根的个数。(1) s +3, + s +3+1 =0(2) f + 10/ + 165+ 160 = 0解(1)列劳斯表s 3 30s 01由于第2行中的笫1项为零，所以用(5+1)乘以原特征方程，得新的特征方程+45 +45+1s + 4 , + 4 d匝新列劳斯表43 .7514316

13、.751因为上述劳斯表中第一列元索不同号，所以系统不稳定。由于第一列中计算值 符号改变两次，所以特征方程有两个具有正实部的根。(2)根据特征方程的系数列劳斯表s 11610 160s 0由于出现全裟行，故用s行系数组成如下辅助方程F(s) = 10/ + 160取辅助方程对变量s的导数，得新方程 忖=20 as用上述方程的系数替代原劳斯表中的行，然后再按正常规则计算下去，得到1 16f 101605*20s 160劳斯表中的第一列元素同号，所以系统没有实部为正的根，但通过解辅助方程可 以求出产生全冬行的根为±j4。实际上，该系统的特征方程可以分解成因式(s+ 10)与(s + 16)

14、的乘积。3 - 14设中位负反馈系统的开环传递两数分别为(1)(、K( $ + 1 )5厂=£(£ 1)(0 2s+ 1)(2) G(，s) = 5(s- 1)(0 2s+ 1) 试确定使闭环系统稳定的开环增益K的取值范围。解(1)闭环特征方程式为0 2s +0 .85 + ( K 1 )s+ K=0 令2阶赫尔维茨行列式=0 .8( K !) 0 2K>0 得到使系统稳定的条件是K>4 3。(2)闭环特征方程为0 2s +0 .8s - 5+ K = 0由于上述方程中的一次项系数为1,所以不论K取何值，系统不稳定。 315设单位负反馈系统的开环传递函数为G($

15、2$ps + 1Jib若要求闭环特征方程根的实部分别小于0、1、2,问K的值应如何选取？ 解(1)系统的闭环特征多项式为D( s) = s +9, + 185+ 18 K由2阶赫尔维茨行列式D2 =9X 18 18 K>0得Kv9,由要求特征方程的各项系数均要大f零，得K>0,于是，使闭环特征 方程根的实部均小于0的条件是0v Kv9。(2)将5=- I代入上述(1)中的特征多项式D(5),得£>( $ ) = £ + 6 $； + 3 y 10 + 18 K令上述D(Sl )中的常数项人于零，有K>0 .56,再令2阶赫尔维茨行列式大于 零，即0=

16、3X6 18 K+ 10> 0得K< 56,于是，耍使闭环特征方程D(s)的根的实部均小于1,参数K的 值应满足条件0 56< K< 1 56第三章时域分析法183(3) 将5=5. - 2代入上述(1)中的特征多项式0($),得D( 5i ) = Si + 3 5?6® +18K 8由于上述方程中一次项的系数为6,所以，不论K取何值，均不能使闭环特征 方程D(f)的根的实部小于2。316试求如图2310所示系统的参数(K,B)稳定域。图2-3-10反馈控制系统解系统的闭环特征方程为0 .01 / +0 2P/ + s+ K=0系统稳定的充分必要条件是(1)上

17、述方程中各项系数均人于零；(2) 2阶赫尔维 茨行列式D = 0 2B0 01 K>0。于是，使系统稳定，参数K、B必须满足的条 件是 K>0、B>0 和 Kv20B。317试用赫尔维茨判据确定如图2311所示系统参数K的稳定 域，并说明开环系统中积分环节的数目对系统稳定性的影响。3a)(y+b)($+c)图2311反馈控制系统(1 ) a>0,/?>0,c>0(2) « = (), /?>0, c>0(3) a = 0,b = 0,c>0解(I)系统的闭环特征多项式为D( s) = s + ( a + b + c) s“ + (

18、 a/? + be + ac) s + abc + K 系统稳定的充分必要条件是0 < K v d ( h+ c) + H ( a + c) + c ( a + h) +2 abc=(2)系统的闭环特征多项式为D( s) = s + ( b + c) s + bes + K系统稳定的充分必要条件是0< K < B c+ c b= K；(3) 系统的闭环特征多项式为f 、32D( s) = s + cs + K由于上述多项式中一次项系数为零，因此不论K取何值，系统均不稳定。针对卜述3种情况的分析口J以看出，积分环节数目越大，系统的稳定裕度 越小。318在习题33中，如果水温以l

19、OVQnin的速度线性变化，问温度计 的稳态指示误差有多大？解 传递函数为1(心+ 1)的一阶系统，当输入为斜坡信号r( t) = Rt( t> 0)时，其输出为c( t) = /?( / T+ Te ' 1)若定义误差e= 一 c,则稳态误差为e、= R7木题中，/? = 10VOnin,根据习题 3 3 可矢口 T= 15 34sec = 0 256min,则比=2 56°C。10(0 .15+ 1)(0 5s+ 1)(I)G(s) =G(s) =3 - 19已知单位负反馈系统开环传递两数7(” 1)5( 5 + 4)( 5 +25 + 2)(3)6(5)=q(o

20、5$+ 1)(0£+ 1 )第三章时域分析法187试分别求出当r(/) = 1(/).r和/时，系统的稳态误差(6>= r 解(1)系统的闭环特征方程为0 055 +0 .65 + 11 = 0显然，该系统为2阶系统，且各项系数均大于零，所以系统是稳定的。该系统的 开环增益K= 1(),开环传递函数中不含积分环节，因此是零型系统。当 r( /) = l(r)时，稳态误差匕、=1 (1 + K) =0 .091;当r( /) = t时，稳态误差e、f 8 ； 当r( /) = /时，稳态误差8。(2)系统的闭环特征方程为s +65 + 10 F + 15 5+7 = 0根据上述方

21、程列劳斯表s 1107s 615s 7 57s 9 .4s 7劳斯表中笫一列元素同号，所以，系统是稳定的。该系统为I型系统，开环增益K=7 80当r( /) = 1( r)时，稳态误差& =0;当r(/)= f时，稳态误差s = 1 K = 8 7;当r( /) = t2时，稳态误差(3)系统的闭环特征方程为0 .1 5 + 5 + 45+8 = 0上述力程屮各项系数均大于冬，且2阶赫尔维茨行列式U =40 .8>0,所以系 统是稳定的，该系统为II型系统，开环增益为K=8。当r(/) = l(r)时，稳态误差=0;当r( /) = r时，稳态误差&S = 0;当r( /

22、) = f时，稳态误差氐=2 K = 0 2503-20设速度控制系统如图2312所示，为了消除系统的稳态误差，使 斜坡信号通过由比例微分环节组成的滤波器后再进入系统。图2-3-12 速度控制系统(1)当Kd = 0时，求系统的稳态误差(£= C);(2)选择使系统的稳态误差为零。解(1)当/G =()时，系统为I型系统，稳态误差为比二1 K;(2)当匕工0时，系统的闭环传递函数为Ts + $ + K根据误差宦义e稳态误差为取 K. = 1 K,则 =0o321设稳定的系统闭环传递函数为bms + bm. s +bs+b)、(s) = rn,ms + an. i s + + a $

23、+ do误差定义为e= r- co试分别求出系统在阶跃信号、斜坡信号和加速度信号作 用下不存在稳态误差的条件。假定系统满足稳定的条件，则当当当(1)(2)(3)3 - 22伽=何时，在阶跃信号作用下，稳态误差为零；ClQ = h、Ch = b时，在斜坡信号作用卜稳态谋差为零；5 = 5、“I =厶和U2 = bl时，在加速度信号作用下稳态谋iv.为冬1。 单位负反馈控制系统的开环传递函数KK2g( s) = Ko &T| 5 + 1 ( 了2 s + 1 ) £输入信号为/(/) = («+ bt) t)( a, b为常数)。试求系统稳态误差幺、W £时

24、各参数应保持的关系(£二厂C)o解系统的闭环特征方程为刀门d + (刀+门)d + $ + K = 0式中K= K. K Kz K系统稳定的条件为T, >0、八>0、K>0,且K v ( 7； + 门)T, T2该系统为I型系统，稳态误差为e* = b K,若要使系统稳定，又使各参数 应满足以下条件T, 4- T2L T2323已知系统的结构如图2313所示，误差定义为e系统对r( /) = 1( /)时无稳态误差，试确定K.的值。K° K K2 Ky <Co若使图2313反馈控制系统解系统的闭环传递函数为e(s)=Ki7门 f + ( 7； + 门

25、)$ + 1 + K K,由习题321的结果可知，当误差的定义为e=厂c时，要使系统在r( t)=第三章时域分析法1891(。作用下，稳态误差为零，应满足以下条件K = 1 + K324设系统如图2314所示，其中扰动信号n(t)= 1(/)。是否可以 选择某一合适的K值，使系统在扰动作用卜的稳态误差为j二0.099 ?舱)图2314反馈控制系统解闭环系统的特征方程为0 .01 s + 0 .17, +0 .8$ + 1 + 10K = 0闭环系统稳定的条件为1 + 10K>0和 从=07X0 .80 .01( 1 + 10K) > 0,即 0 .1 v Kv 1 26,传递函数E

26、(s) _10N( s) = ' (0 .15 + 1)(0 25+ 1)(0 55 + 1) + 10/C稳态误差为_l _ io% =町(0 .1 s+1 )(0 2s+1)(0 5s+l) + 10K 7 = 1 + 10K令& =0 .099,得K= 10 .001,显然不满足稳定的条件，因此不能选择一个合 适的K值，使稳态误差比=0 .099。3-25设船体消摆系统如图215所示。其中扰动为海浪力矩，所有 参数中除K、外均为已知值。如果(r) = 10° 1(/),试求使稳态误差sWO .1° 的匕值。图2315船体消摆系统解系统的闭环特征方程为S

27、 + 2©3 $+ 凉 + Ki Km 凉=0系统稳定的条件是上述方程中的各项系数均大于零。若设误差定义为eOr - &氏，则有E(s)N($)Kl 3nX + K K2 冰稳态误差K1 3：1()10K?1 + K| K?第三章时域分析法#第三章时域分析法#令氐W0 .1,则有K、M100亠。Ki326系统如图2316所示。试判别系统闭环稳定性，并确定系统的 稳态误差d及乩。图2316反馈控制系统解系统的闭环特征方程为0 2s + s' + 5+ 10 = 0上述方程的各项系数均大于零，且D =50 2X10 = 3>0,所以，该系统稳定。(1) 若 n( t

28、) = 0,= 0;(2) 若 r( t) =0,则E( s) _10sN(s) 一 _ s (0 2s+ 1 ) + 10(0 55+ 1)稳态误差为10.90 .1弘=-111715 = 0lo <(0 2s+ 1) + 10(0 55+1) s327试求如图2317所示系统的稳态误差。解 当参数7； >0,匚>0, K >0, K2 >0时，系统稳定。传递函数E(s) R(s)为图2-3-17反馈控制系统E(y)(刀 s+ 1)(门 £+ 1)/?(5)= ( 1 $+ 1 )( 7s+ 1 ) + K；K在输入r(/) = !(/)的作用下，稳态误差% = lim 5L0(刀 S+ 1)(卩2 s+ 1)11(T, 5+ l)f T2s+ 1)+ K2 s = + Ki传递函数E(5)N( $)为£( 5)N(s)-K】(T $+ 1)(刀 s+ 1)(门 $+ 1) + K Kt第三章时域分析法#第三章时域分析法#在丁扰n( f) = 1 ( /)的作用