(完整word版)高中数学立体几何讲义(二)

1、空间中的垂直关系I、直线与平面垂直1、线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂 直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直.其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。交点叫做垂足。直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a± a o2、直线与平面垂直的判定方法：利用定义。判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。其它方法：(I)、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。(n)、如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么也垂直于另一个面。(出)、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内

2、垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。(IV)、如果两个相交平面都和第三个平面垂直，那么相交平面的交线也垂直于第三个方面。3、直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。4、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线P 的投影垂直，那么它也和这条斜线垂直。，说明：(1)定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂OAa直关系；PO ,0 PAI A a PA a , a OA5、三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它 也和这条斜线的投影垂直。PO ,O PAI A a AOa , a AP练习：1 .

3、若a,b,c表示直线，表示平面，下列条件中，能使 a 的是 (D )(A) a b, a c,b , c(B) a b,b(C) al b A,b ,a b(D) a/b,b2 .已知l与m是两条不同的直线，若直线 l平面 ，若直线 m l ,则m/；若m ,则m/l ；若 m ，则m l ；ml ,则m 。上述判断正确的是 (B )(A)(B)(C)(D)3 .设三棱锥P ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H ,给出以下命题：若PA BC , PB AC ,则H是 ABC的垂心若PA, PB,PC两两互相垂直，则 H是 ABC的垂心若 ABC 90°, H是AC的中点，则PA P

4、B PC若PA PB PC ,则H是 ABC的外心其中正确命题的命题是 _ 例1、 已知PAa O O所在的平面，AB是O。的直径，C是。O上任意一点，过 A点作A已PC于点E,求证：A已平面PBC证明： PAL平面 ABC PAI BG 又 AB是。的直径，BOX AGPK而 PCn AC=CBCL平面 PAC 又 AE在平面 PAC内，BC! AE= 、-E PCX AE,且 PCn BC=CAE!平面 PBGA<-.jO» _:>BC反思归纳证明直线与平面垂直的常用方法有：利用线面垂直的定义；利用线面垂直的判定定理；利用“若直线 a/直线b,直线a,平面”，则直线

5、b,平面”。例 2、在直三棱柱 ABC-ABC 中，BG=AG, AB±AC,求证：AiBXBiCo证明：取 AiB 的中点 D,连结 Ci Dio BCi=AiC,，CD，ABBA。连结AD,则AD是AC在平面ABBAi内的射影，; AiBXAC,-.AiB± AD。取 AB 的中点 D,连结 CD BD,则BiD/ AD,且BiD是BC在平面 ABBAi内的射影。. BiD)± AiB, AiB± BiCo反思归纳证明异面直线垂直的常用方法有：证明其中一直线垂直另外一直线所在的平面；利用三垂线定理及其逆定理。例3.四面体ABCD中，AC BD,E,F

6、分别为AD,BC的中点,且EFJac2BDC 900,求证：BD 平面 ACD证明：取CD的中点G,连结EG,FG，; E,F分别为AD,BC的中点，i EG / AC 2FG”BD,又 AC BD, . FG AC,.在 EFG 中，EG2 FG2 -AC2 EF2222 EG FGBD AC,又 BDC 90°,即 BD CD , ACI CD CBD 平面ACD例4.如图P是 ABC所在平面外一点，PA PB,CB 平面PAB, M是PC的中点，N是AB上的点，AN 3NB(i)求证：MN AB; (2)当 APB 90°, AB 2BC 4时，求 MN 的长。(1)

7、证明：取PA的中点Q ,连结MQ, NQ , M是PC的中点,MQ / BC , CB 平面 PAB , ：. MQ 平面 PABQN是MN在平面PAB内的射影 ，取 AB的中点D ,连结PD，= PA PB,，PD AB ,又 AN 3NB ,BN NDQN / PD , QN AB ,由三垂线定理得 MN AB1(2) . APB 90°, PA PB, . PD -AB 2, . QN 1, 2. MQ 平面 PAB1 MQ NQ ,且 MQ BC 1 , MN &2例 5.如图，直三棱柱 ABC AB1cl 中，ACB 90°, AC 1,CB J2,侧棱

8、AA1 1,侧面AA1B1B的两条对角线交于点 D, B1C1的中点为M，求证：CD 平面BDM证明：连结 A1C , ACB 90°, BC AC ,在直三棱柱 ABC ABC1 中 CC1 AC , AC 平面 CB1,aA1AA 1 , AC 1 AC 五,AC BC ,X/Z D是侧面AAB1B的两条对角线的交点，. D是AB与AB1 /CZ / / C1 M的中点，CD BD ,连结B1C ,取B1C的中点。，连 B £Vb1结 DO ,则 DO / AC,AC 平面 CB1，. DO 平面 CB1，. CO 是 CD 在平面B1C内的射影。在 BB1C中，tan

9、 BB1C J2在 BB1M 中，tan BMB1 72, . . BB1CBMB1B1c BM，.二 CD BM , BM I BD B , . CD 平面 BDM平面与平面垂直1、两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。2、两平面垂直的判定方法：利用定义。判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。推理模式:a? a213、两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直， 那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。推理模式:I l, a ? , a l a4、向量法证明直线与平面、平面与平面

10、垂直的方法：证明直线与平面垂直的方法：直线 的方向向量与平面的法向量平行；证明平面与平面垂直的方法：两平面的法向量垂直。练习1、（ 2009广东卷理）给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是（）。 【解析】选D.A.和B.和C.和D.和PAB1平面PAE所2、（2009四川卷）如图，已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形,PA 平面ABC,PA 2AB则下列结论正确

11、的是（）。A. PB AD B. 平面 PAB 平面 PBCC.直线BC /平面PAE D.直线PD与平面ABC所成的角为45。【解析】: AD与PB在平面白射影 AB不垂直，所以A不成立，又，平面以平面PAB 平面PBC也不成立；BC/ AD/平面 PAD, .直线BC /平面PAE也不成立。在 Rt PAD 中，PA= AD= 2AB,/ PDA= 45° . . . D正确。例1、如图，已知AB是圆。的直径，PA垂直于e O所在的平面，C是圆周上不同于 A, B的任一点，求证：平面 PAC 平面PBC。相垂直,即可。分析：根据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互 只要在其中一

12、个平面中寻找一条与另一平面垂直的直线 解：: AB是圆。的直径，AC BC ,又 PA垂直于e O所在的平面，. PA BC ,BC 平面PAC ,又BC在平面PBC中，所以，平面PAC 平面PBC。反思归纳由于平面PAC与平面PBC相交于PC ,所以如果平面 PAC 平面PBC ,则 在平面PBC中，垂直于PC的直线一定垂直于平面 PAC,这是寻找两个平面的垂线的常 用方法。例2 （2009江苏卷） 如图，在直三棱柱 ABC ABG中E、F分别是AB、AiC的中点，点D在BiCi上,A1D B1C求证：（1） EF/平面 ABCO（2）平面 AiFD 平面 BBiCiC。证明；C1）因为E,

13、 F分别是,耳C的中场，所以£尸/,又内尸江面ABC , BC U面ABC,所以EF"平面JIEC； 因为直三棱柱,所以3片1面4片6，1. 又由所以 4。，面B与6灯，又 4。仁市4用 ，所 以 平制冯*_L平百例 3 如图，直三棱柱 ABC-ABC 中，AC = BC =1, / ACB = 90, AA = J2 , D 是 A1B1 中(1)求证CD，平面AiB ;(2)当点F在BB上什么位置时，会使得AB，平面CDF ?并证明 你的结论。(1)证明：如图，.ABC-A1B1G是直三棱柱，AC =BG =1,且/ACB =90°。又 D 是 AB 的中点，

14、 GDXAiBi。: AA，平面 ABC , GD 平面 ABC ,AA LCD, . GD，平面 AABBo(2)解：作DE ±AB交AB于E ,延长DE交BB于F ,连结CF ,则AB，平面 GDF ,点F即为所求。事实上，:GD，平面AABB , AB 平面AABB ,， GD XAB ,又补充题：在正方体ABCD-A 1B1C1D1中，E、F分别是BB1, CD的中点。(1)求证：AD ±D1F; (2)求AE与D1F所成的角；(3)证明平面 AED，平面A1FD1证明：建立空间直角坐标系如图，并设 AB=2 ,则 A(0,0,0),D(0,2,0), A1(0,0

15、,2) D1(0,2,2), E(2,0,1), F(1,2,0)uuuruuur(1)AD(0,2,0), D1F(1,0, 2)uuur uuuuAD D1F =0M+2M+0X-2)=0,AD ±D1Fouuruuuruur _ uuuu(2) AE=(2, 0, 1) D1F =(1, 0, -2), |AE| V5, |DF|设AE与D1F的夹角为九则cose =AE D1F|Ae |D?F|2 10 0 1(2)-55AB ± DF , DF CD = D , . AB，平面 CDF。所以，直线AE与DiF所成的角为90。D1F，平面 AED ,(3)由(1)知

16、 DiF± AD ,由(2)知 DiF,AE,又 AD AAE=A , D1F 平面 A1FD1M平面 AED，平面 AiFDi。第一节：异面直线所成的角一、基础知识1 .定义： 直线a、b是异面直线，经过空间一交 o,分别 alia, b?/b,相交直线a?D断成的 锐角(或直角)叫做 。2 .范围：0,23 .方法：平移法、问量法、三线角公式(1)平移法：在图中选一个恰当的点(通常是线段端点或中点)作 个三角形，并解三角形求角。a、b的平行线，构造(2)向量法：可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式求出来cos cos a,b方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出方法2

17、:利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量a (xi,y1，4)b (X2,y2,Z2) cosXi X2yi y24 Z2(3)三线角公式用于求线面角和线线角斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦即：cos 1 cos 2 cos二、例题讲练例 1、 ( 2007 年全国高考)如图，正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，AA1 2AB,则异面直线 AB与AD1所成角的余弦值为 练习：1.正方体 ABCD ABC1D1中，。为AC, BD的交点,则CQ与A1D所成的角()33(A) 60(B) 90(C) arccos一 (D)

18、arccos一36例2、已知四棱锥P ABCD的底面为直角梯形，AB/DC , DAB 90 ,PA 底面 ABCD,且1PA AD DC AB 1 , M是PB的中点工 2(I)证明：面PAD 面PCD ;(n)求AC与PB所成的角；证明：以A为坐标原点 AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为-1A。,。)，B(02。)，C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,-)(I)证明：因 AP (0,0,1),DC (0,1,0)，故AP DC 0,所以AP DC.由题设知AD DC ,且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线,由此得DC 面PAD又DC在面

19、PCD上，故面PAD，面PCD(n)解：因 AC (1,1,0),PB (0,2, 1), 故 |AC| V2,|PB| J5,AC PB 2,所以cos AC, PBAC PB 10|AC| |PB| 5例3、如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为矩形，侧棱 PA 底面ABCD ,AB 石，BC 1, PA 2, E为PD的中点 解：(I)建立如图所示的空间直角坐标系，则 A, B, C,D,P, E 的坐标为 A(0,0,0)、b/0,0)、C(点,1,0)、D(0,1,0)、1 P(0,0,2)、E(0,1,1),2从而 AC ( 3,1,0), PB( 3,0, 2).设AC

20、与PB的夹角为AC PBcos ：I AC | |PB |,则33 J2 714AC与PB所成角的余弦值为3、. 714求直线AC与PB所成角的余弦值;AB=BC , D 是 PB 上一点,AP与BC所成角的大小；例4、如图，三棱锥 PABC中， PC 平面 ABC, PC=AC=2 , 且CD 平面PAB. (I)求证：AB 平面PCB; (II)求异面直线AF.C (42 , 0 , 0), P (, 0 , 2).则AP BC <2 J2+0+0=2.cos AP,BCAP BCAP BC 2.22，异面直线AP与BC所成的角为一.3练习1:如图正三棱柱A1B1, A1C1 的中点

21、，ABC-A 1B1C1 中 AB= V2 AA 1,、N分别是则AM与CN所成角为解法一：(I) .PC 平面 ABC, AB 平面 ABC, PC AB . CD 平面 PAB, AB 平面 PAB,.CD AB .又 PC CD C, AB 平面 PCB.(II)过点 A 作 AF/BC ,且 AF=BC ,连结 PF, CF.则PAF为异面直线PA与BC所成的角. 由(I)可得 AB ± BC , CF AF.由三垂线定理，得 PF 则 AF=CF= J2 , PF= VPC_CF 2 状, 在 Rt PFA 中，tan/PAF=_PF 坐=、3, AF 2，异面直线PA与B

22、C所成的角为一.3可求得解法二：(II)由(I) AB 平面 PCB, PC=AC=2 ,又.AB=BC , 原点，如图建立坐标系.则A ( 0 ,72 , 0 ) , B (0, 0, 0),AP(<2,亚,2) , BC (也,0,0) .2.如图PD 平面ABCD,四边形ABCD为矩形,AB=2AD=2DP , E 为 CD 中点。(1) AP与BE所成的角为(2)若F 直线PD,且AF与BE所成角为1. =30?行吗？1 DF2. =75?时；DP3.空间四边形 ABCD中，对角线 AC, 的中点，E是AO的中点，求异面直线BD与各边长均为1, O为BCD的重心，M是AC第二节、

23、OM与BE所成的角直线和平面所成的角一、基础知识1.定义：(斜线和平面所成的角垂线与平面所成的角l或 l/2.直线与平面所成角范围是3.斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最小的角。(最小值定理)4.求法:几何法公式法问量法(1)几何法：作出斜线与射影所成的角，论证所作(或所找)的角就是要求的角，解三角 形求出此角。cos(2)公式法：cos 1 cos 1 cos 2 coscos 2AB于点B, AOBAOCBOC(即:与斜线射影所成的两角的余弦的积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦值)(3)向量法：设直线 a与平面 所成角为m, n则 m,n 的余角或其补角sincos m

24、,n二、例题讲解例1、在长方体 AC1中，AB=2 , BC=CC1=1 ,求(1) CD与面ABC1D1所成的角(2) A1C与平面ABC1D1所成的角(3) A1C与平面BC1D所成的角例2、四面体ABCD中，所有棱长都相等， M为AC的中点，求DM与平面BCD所成角的 余弦值。例3、(2007高考全国卷 1)四棱锥S2匹, SA SB V3ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面 ABCD,已知 / ABC 45o, AB 2 , BC(I)证明 SA BC ；(n)求直线SD与平面SAB所成角的大小.解法一:(I)作SO± BC ,垂足为O,连结AO,由侧面SBC

25、，底面ABCD ,得SO,底面ABCD 。因为SA=SB ,所以AO=BO ,又/ ABC 450,故 AOB为等腰直角三角形，AO ± BO ,由三垂线定理，得 SAX BC 。(n )由(I)知 SAX BC ,依题设 AD / BC ,故 SA，AD ,由 ADBC 2版,SA B AO SAB的面积S1-ABa SA21C连结 DB,得 DAB 的面积 S2 - ABgAD sin135o 2VS ABD，得设D到平面SAB的距离为h,由于VD SABD SAB1_1 _Fhg SOgS2,解得 h 五。33设SD与平面SAB所成角为，则sinh 、2SD 1122o11所以

26、，直线SD与平面SBC所成的我为arcsinM11解法二:ABCD，得 SO,平面 ABCD。(I )作SOX BC,垂足为O,连结SO,由侧面SBC，底面因为SA=SB ,所以AO=BO 。又/ABC 45°, AAOB为等腰直角三角形,AO ±OBo连结SE,取SE中点G,连结OG, G2 .2 1',22 1,I22.2 、,2 1OG,，一44 2SEgOG 0, ABgOG 0,OG与平面SAB内两条相交直线SE,AB垂直。所以OG，平面SAB, OG与DS的夹角记为，SD与平面SAB所成的角记为 ，则与互余。D（衣,2衣,0）, DS （厄2点,1）。c

27、osOGgDS .22OG CDS11.22? sin ,11一、， ，- 22所以，直线SD与平面SAB所成的角为arcsin 。11E是BC1的中点。求（2008上海高考）如图，在棱长为 2的正方体ABCD B1C1 D1中,直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）AB第三节平面与平面所成的角、基础知识求法：几何法向量法公式法(1)几何法：作出二面角的平面角，再求解，常见的有作法图 形在CD上找一点O,在两个面内定义法分别作棱的垂线 AO,BO AOB为二面角CD的平面角垂向法过棱上一点 O作棱的垂直平囿与两个半平面的交线分别为AOBO AOB为 CD 的平面角三垂线法

28、过B内一点A,作AB交于B ,作BO CD于O ,连结AO, AOB的 CD 平面角或其补角(2)向量法:分别求出和的法向量m，n,则二面角的大小为m,n或m,n25用此法须知：1需建空间直角坐标系，定准相应点的坐标2通常容易找到一个面的法向量，只需通过二次垂直，求另一个平面的法向量3当 1为锐角时m,n ( m,n为锐角)或 m，n( m,n为钝角)ACEF在平面内A EF 在平面内，BD EF,且B EF分别求出AC,BD ,则AC,BD即为二面角EF 的大小(3)公式法：设二面角AB ,CD ,AB 1,CD 1,M为线段BDi的中点,又 DAB 60DBE 90由三垂线定理可知DiB

29、BEDiBD为所求角在菱形ABCD中，DAB 60BC ，3BDDiD tan DiBD23BDDBD 60AB m,CD n,BD d,则222,2-AC m n d 2mncos、例题讲练例1、如图，已知棱柱ABCDAi BiCiDi的底面是菱形，且AA面ABCD ,DAB 60 , AD AA, F为棱AAi的中点(1)求证：MF 面 BDDiB；(2)求面BFDi与面ABCD所成二面角的大小.(I)证明：底面是菱形，AC BD又 BiB 面 ABCD, AC 面 ABCDAC BiBAC 面 BDDiBi又 MF/AC MF 面 BDDiBi延长DiF、DE交于点EF是AA的中点且AB

30、CD是菱形 DA AE ABBC BF BAE，平面BCE2的正方形，AE=EB , F为又 RtABCE 中，EC,BC2 BE2BFBC BEEC2 _2 2 3：63在 RtABFG 中,- BFsin BGF BG.-6 arcsin 面角BAC E等于 3例3、如图所示的几何体ABCDE中，DACB例2、如图，直二面角 DAB E中，四边形 ABCD是边长为CE上的点，且BF，平面ACE。(1)求证：AE，平面BCE;(2)求二面角 BACE的大小；解：(1)如图， BF，平面 ACEBFXAE又 二面角 DAB E为直二面角，且 CBXABCB，平面 ABECBXAE(2)连BD交

31、AC于G,连FG正方形 ABCD 边长为 2 BGXAC , BG J2 BFL平面ACE由三垂线定理逆定理得 FGXAC / BGF是二面角 B-AC-E的平面角由(1) AEL平面 BCE AE XEB又 AE=EB在等腰直角三角形 AEB中，BE J2CB/DA EA DAAB 2CB, EA AB, M 是 EC 的中点.(I)求证：DM EB；(n )求二面角M BD A的余弦值.解法一：()证明：取BE的中点”连接MN，AN，则MN CB DA,故 叫11k2四点共面. DA 平面EAB , DA EB.又 EA AB ANEB 由 MN AN N ,EB平面ANMDDM EB;5

32、(n )取AC的中点P,连MP ,则MP EA,MP平面ABCD过P作PQ BD，连QM，则QMBDMQP是二面角M BD A的平面角.设CB a, AC与BD的交点为。，记AODCAB，则有sinPQ在RtCO CBAO AD11-,CO -AC23OP11(2 3)ac12 g 2. 56'a (2a) Tasin(45 )sincos3,22,5OPsinMP又1 EA2tanMPQ 中，MQP MQ2 2,cosMQP即二面角M BD1A的余弦值为3 .解法二：分别以直线y轴、z轴,A xyz，设 cb a ,则A(010,0),E(2a,0,0),B(0,2a,0),C(0,

33、2a,a),D(0,0,2a)a、M (a,a,-)2DM(I )证：3 一(a,a,-a), EB2(2a,2a,0)DM EBa (-2a) a 2a0 DM建立如图所示的空间直角坐标系EBDM EB(n)解:设平面MBD的法向量为(x, y,z)DB(0,2a,-2a)由 n DB,n DM 得n DB 2ay-2az 0n DM ax ay- az 0x y -z 02227取z 2得平面MBD的一非零法向量为 n(1,2,2)BDAni(1,0,0)cos n,n11_0,122222V1202023BD A的余弦值为3.例4、已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，AB/DC,DAB

34、PA ADABCD,且1DC 2AB 1, M是PB的中点.(I)证明：面PAD面 PCD；(n )求面AMC与面BMC所成二面角的大小.各点90,PA底面证明：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则-1A(0,0,0), B(0,2,0), C(1,1,0),D(1,0,0), P(0,0,1), M(0,1,-)坐标为2(I)证明：因 AP (0,0,1),DC(0,1,0)，故AP DC 0,所以APDC.由题设知AD DC ,且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线,由此得DC面PAD又DC在面PCD上，故面PAD，面PCD,(H)解:NC (1在MC上取一点N(x

35、, y,z),则存在-1x,1 y, z),MC (1,0, 2), x 1R,使 NCMC,y1,zAN要使uuu uum1MC,只需ANgMC 0即x -z 0,解得可知当4 124时,N点坐标为(1,1,2)，能使AN MC55 50.此时,AN12 (1,1,2), BN551, 1,2)，有 BN MC 05533由AN MC 0,BNMC 0 得 ANMC,BN MC.uuu . 30 uuurQ| AN | -,| BN |5.30 uuur uur-10,AN gBNuuur uiuruuj uujan 处cos( AN ,BN ) -uuuruuui| AN | | BN |

36、2故所求的一面角为 arccos(-)例5、如图，三棱锥P-ABC中，PC平面 ABC , PC=AC=2 ,AB=BC , D是PB上一点，且 CD 平面PAB .（I）求证：AB 平面PCB;(II)求二面角 C-PA-B的大小.解法一：（I） .PC平面ABC , AB 平面 ABC,.PC. CD平面PAB, AB平面PAB,BANB为所求二二面角的平面角.CD又pcCD（II）取AP的中点E,连结CE、DE .PC=AC=2 , CEPA, CE= 2CD 平面PAB,由三垂线定理的逆定理，得DEPA.CED为二面角C-PA-B的平面角.由（I） AB平面PCB,又 AB=BC ,可

37、求得 BC= J2 .在 RtPCB 中,PB=, pc2BC2V6CD PC-CPBRt CDE 中，CDCED= CE23_623二面角C-PA-B的大小为6 arcsin 3解法二：（I）同解法一.4B(II)设平面PAB的法向量为 m= (x, y, z).AB (0, V2,0)AP (42,血,2)AB m 0,. 2y 0,则 AP m 0.即 V2x 6y 2z 0.y Q 2 斛得令 z = -1,得 m= ( x，2 , 0,-1).设平面 PAC 的法向量为 n=(x',y',z'), PC (0,0,-2) , AC(叵 五,0),I 2z0,z

38、0,即“2x72y0.解得 xy令 x'=i,得 n= (1,1, 0)m n_2_33m Hnl = 43 V 23 . 二面角 C-PA-B 的大小为 arccos 3PC n 0,则 AC n 0.cos m, n1、如图，在四棱锥V ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形平面VAD底面ABCD.(I)证明：AB平面VAD ；(n)求面VAD与面DB所成的二面角的大小证明：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标图系(I)证明：不防设作1. 3V (, 0,)A(1,0,0),则 B(1,1,0),(2, , 2 )AB(0，1，0)，va (1,0,手由建 vA0,得

39、 ABVA,又 AB因而AB与平面VAD内两条相交直线VA, AD都垂直，AB平面VAD(n)解：设E为DV中点,1. 33-3 -3. 3 一 1. 3E(-,0,) EA (-,0, ), EB (-,1, ), DV(-,0).则 44444422由EBDV 0,得EB DV,又EA DV.因此AEB是所求二面角的平面角,EA EB2121cos(EA, EB),arccos-.|EA| |EB|7解得所求二面角的大小为72、(2008高考山东卷)如图，已知四棱锥P-ABCD ,平面 ABCD ,所以PAXAE. AEL平面 PAD,底面ABCD为菱形，PAL平面ABCD , ABC 6

40、0巳F分别是BC, PC的中点.(I )证明：AE XPD;(II)若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正心切值为 2 ,求二面角EAF C的余弦值.(I)证明：由四边形 ABCD为菱形，/ ABC=60 ° ,可得 ABC为正三角形.因为E为BC的中点，所以 AE ± BC.又 BC / AD ,因此 AEXAD.因为 PAL平面 ABCD , AE 而 PA 平面PAD, AD 平面PAD 且PAA AD=A ,所以又PD 平面PAD.所以AE ± PD.(II)解：设 AB=2 , H为PD上任意一点，连接 AH , EH.由(I )知 AE，平

41、面 PAD,则/ EHA为EH与平面 PAD所成的 角.在RtAEAH中，AE= 百，所以 当AH最短时，/ EHA最大， 即 当AH，PD时，/ EHA最大.AE 3.6此时 tan/ EHA= AH AH 2 '因此 AH=亚又 AD=2 , 所以/ ADH=45 ° ,所以 PA=2.解法一：因为PAL平面 ABCD , PA 平面PAC,所以 平面PACL平面 ABCD.过E作EOXAC于O,则EOL平面PAC, 过O作OSLAF于S,连接ES,则/ ESO为二面角E-AF-C的平面角,33在 RtAAOE 中，EO=AE - sin30° = 2 ， AO

42、=AE - cos30° = 2 ,3 232_工-15. 305又 F 是 PC 的中点，在 RtAASO 中，SO=AO sin45° = 4SE EO2 SO2 又:30SOSE在 RtESO 中，cos/ ESO=15即所求二面角的余弦值为5解法二：由（I）知 AE, AD, AP两两垂直，以 A为坐标 原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 又E、F分别为BC、 PC的中点，所以E、F分别为BC、PC的中点，所以A （0, 0, 0）, B （出，-1, 0）, C （赤，1, 0）,叵1 1D （0, 2, 0）, P （0, 0, 2）, E （向，0, 0）, F （ 2，2，）,uuir-uuir 3 1AE （ 3,0,0）, AF （， ,1）.设平面AEF的一法向量为m（x1,y1,z