2020届上海市崇明区高考一模数学试卷(解析版)

1、第7页，共11页2020年上海市崇明区高考数学一模试卷题号一一三总分得分一、选择题（本大题共 4小题，共20.0分）1 . 若av0vb,则下列不等式恒成立的是（）A.B. -a>bC. a3vb3D. a2>b22 .已知zCC, "e +，= 0”是“z为纯虚数”的（）C.充要条件D.既不充分也不必要条件如图，在底面半径和高均为 <5的圆锥中，AB、CD是 底面圆。的两条互相垂直的直径， E是母线PB的中点.已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以EA.充分非必要条件B.必要非充分条件3 .为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离等于（）.画A

2、.B. 1C.一4 .若不等式（|x-a|-b） sin （次+）xq-1 , 1恒成立，则a+b的值等于（）A.B.C. 1D. 2二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5 . 已知集合 A=0 , 1, 2, 3, B=x|0xW 2贝U AAB=.6 .不等式|x-2|v 1的解集是 .7 . 半径为1的球的表面积是.8 .已知等差数列an的首项为1,公差为2,则该数列的前 n项和Sn=.9 . 函数f （x） =*丘+1的反函数是.10 . 计算：TWO而+k! =11 .在二项式（工十S''的展开式中，常数项等于 12 .若双曲线的一个顶点坐标为（3, 0）,焦

3、距为10,则它的标准方程为 .13 .已知a, bR+,若直线x+2y+3=0与直线（a-1） x+by=2互相垂直，则ab的最大值 等于.14 .已知函数f （x）是定义在R上的周期为2的奇函数.当0vxwi时，f（x） =x3-ax+1, 则实数a的值等于.15 .某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工 作，若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项 工作，则不同的选派方案共有 种.16 .正方形ABCD的边长为4,。是正方形 ABCD的中心，过中心 O的直线l与边AB 交于点M,与边CD交于点N, P为平面上一点，满足1 f|

4、T -*2OP = AOB + (l-A)OC,贝Ufm)用的最小值为三、解答题（本大题共 5小题，共76.0分）17 .在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，/ABC=90° ,AB=BC=1,BBi=2.（1）求异面直线BiCi与AiC所成角的大小；(2)求直线BiCi与平面AiBC的距离.18 .已知函数 f(x): ysin2x-cos3xe R .11)求函数f。)的最小正周期和单调递减区间；(2)设小日匚的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c = Q,汽匚)=口，若siuE =嘉也曾， 求a,b的值.19 .某辆汽车以x公里/小时速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速

5、公路行车安全要求I450060咏w 120时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为 4工100十丁)升.(1)欲使每小时的油耗不超过9升，求x的取值范围；(2)求该汽车行驶100公里的油耗y关于汽车行驶速度 x的函数，并求y的最小值.20 .已知椭圆r :宁+ / = 1,其左右顶点分别为 A, B,上下顶点分别为 C, D.圆O是以线段AB为直径的圆.(1)求圆。的方程；(2)若点E, F是椭圆上关于y轴对称的两个不同的点，直线 CE, DF分别交x轴于点M、N,求证：四为定值；(3)若点P是椭圆r上不同于点A的点，直线AP与圆。的另一个交点为 Q.是否存在点P,使得丽=生?若存在，求出点 P的

6、坐标，若不存在，说明理由.1J21 .已知无穷数列an , bn , Cn满足:对任意的 n CN ,都有 an+1 = |bn|-|cn|, bn+1=|Cn|-|an|, Cn+i=|an|-|bn|.记 dn=max| an|, |bn|, |cn| (maxx, y, z表示 3个实数 x, y, z 中的 最大值).(1)若 ai=1, bi=2, Ci=4,求，b4, c4 的值；(2)若a1=1,必=2,求满足d2=d3的5的所有值；(3)设a1，bb C1是非零整数，且|a1|, |b1|, |C1|互不相等，证明：存在正整数k,使得数列an, bn, Cn中有且只有一个数列自

7、第k项起各项均为0.答案和解析1 .【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A,由于av0vb,则v 0v, A错误；对于B,若|a|v|b|,则-avb, B错误；对于C,由于av0vb,则a3v0vb3, C正确；对于D,若|a|v|b|,则a2vb2, D错误;故选：C.根据题意，依次分析选项中不等式是否正确，综合即可得答案.本题考查不等式的性质以及应用，关键是掌握不等式的基本性质，属于基础题.2 .【答案】B【解析】【分析】由充分必要条件的判断方法，结合两复数和为纯虚数的条件判断.本题考查复数的基本概念，考查了充分必要条件的判断方法，是基础题. 【解答】解：对于复数Z,若z+

8、2=0, z不一定为纯虚数，可以为 0,反之，若z为纯虚数，则z+i =0. “z+，=0”是“ z为纯虚数”的必要非充分条件.故选B.3 .【答案】D【解析】 解：如图所示，过点 E作EH必B,垂足为H.E是母线PB的中点，圆锥的底面半径和高均为 近，八杀.OH=EH=y. OE=1 .在平面CED内建立直角坐标系如图.设抛物线的方程为 y2=2px.(p>0) , F为抛物线的焦点.C (1,西，. 2=2p?1 .解得p=1.F (, 0) .即 OF=, EF=,. PB=2, PE=1 ,.该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为故选：D.根据圆锥的性质，建立坐标系，确定抛物线的方程

9、，计算出EF的长度，结合直角三角形 的关系进行求解即可.本题考查了圆锥的性质、抛物线的标准方程，考查了转变角度解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，是中档题.4 .【答案】B【解析】 解：当-10：Q或awi时，sin (次+) VQ当-土划',sin (欣+) >0,，当-IX0或xwi时，|x-a|-b>Q 当-xW!寸,|xa|-bWQ设f (x) =|x-a|-b,则f (x)在(-8, a)上单调递减，在(a, +oo)上单调递增，且f (x)的图象关于直线 x=a对称，- f (-) =f () =0,. 2a=-+=,即 a=,又 f () =|-|-b=

10、0,故 b=.a+b=.故选：B.设f (x) =|x-a|-b,得出f (x)的符号变化情况，根据 f (x)的单调性和对称性即可得出a, b的值.本题考查了三角函数值的计算，函数单调性的应用，属于中档题.5 .【答案】1 , 2【解析】 解：=0, 1, 2, 3, B=x0v x< 2 . AnB=1 , 2.故答案为：1 , 2.进行交集的运算即可.考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算.6 .【答案】(1,3)【解析】 解：由不等式|x-2|<1可得，-1<x-2< 1,解得1 <x< 3,故答案为：(1,3).由不等式|x-2|v1可得，-1&

11、lt;x-2<1,由此解得不等式的解集.本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题.7 .【答案】4兀【解析】 解：由题意，半径为 1的球的表面积是4兀?12=4兀故答案为4兀直接利用球的表面积公式，即可得出结论.本题考查球的表面积公式，考查学生的计算能力，比较基础. 28 .【答案】n【解析】解：.等差数列an的首项为1,公差为2,2该数列的刖n项和Sn=nxl + -=-x=n.故答案为：n2.利用等差数列前 n项和公式直接求解.本题考查等差数列前 n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.9 .【答案】f-1 (x) =x2-1(x>Q【解析】解

12、：由y=j£+l可得：x=y2-1, y>Q. f (x) =«+l 的反函数是：f-1 (x) =X2-1 (x>0 ,故答案为：f-1 (x) =x2-1 (x>Q .将y=&不1转化为用y表示x的算式，进而可得答案.本题考查了反函数的求法，考查了函数与方程思想，转化思想，难度中档.10 .【答案】31 + TtrS=3hm jh+ l_2>* 3fl 3-(I)11解:=.： VI，：3rt d 2"1 + 3故答案为：3.一一.n _ . Mm 7一 ，一一 一一 一， ., 可将分子分母同除以 3n再利用n-8(3 = 0

13、和极限的四则运算法则即可求解.本题主要考查极限及其运算.解题的关键是要分子分母同除以3n使得分子和分母的极限均存在.11 .【答案】160【解析】解：展开式的通项为.+：一心=2乜/一如令6-2r=0可得r=3常数项为=160故答案为：160展开式的通项为 .+1二制出&r=2乜/一，要求常数项，只要令 6-2r=0可得r,代入即可求本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，属于基础试题12 .【答案】三弋二1【解析】解：依题意可知a=3, c=5.(二./11根据顶点坐标可知焦点在 x轴，.双曲线的方程为1故答案为：，二 1根据顶点坐标求得 a,根据焦距求得c,进而根据b2=c2

14、-a2求得b,进而求得双曲线的标 准方程.本题主要考查了双曲线的标准方程.解题的关键是挖掘题设中的信息，充分利用a, b和c的关系，同时注意焦点是在x轴还是在y轴.13 .【答案】【解析】 解：根据题意，若直线 x+2y+3=0与直线(a-1) x+by=2互相垂直，贝U有(a-1) +2b=0,变形可得 a+2b=1,2则ab= (aX2b) wx()=,当且仅当a=2b=时，等号成立；即ab的最大值为，故答案为：.根据题意，由直线垂直的判断方法可得(a-1) +2b=0,变形可得a+2b=1,进而结合基本不等式的性质分析可得答案.本题考查直线与直线垂直的判断，涉及基本不等式的性质以及应用，

15、属于基础题.14 .【答案】2【解析】 解：.函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数.当 0vxwi时，f (x) =x3-ax+1,. f (-1) =-f (1)且 f (-1) =f (-1+2) =f (1),. f (1) =0,即 f (1) =1-a+1=2-a=0,. a=2.故答案为：2.根据函数的周期为 2,奇函数，又已知当Ovxwi时的解析式，故f(-1)=-f(1)且f(-1)=f (-1+2) =f (1)推出 f (1) =0,解出即可.本题考查了函数的奇偶性和周期性，和特殊值，属于基础题.15 .【答案】78【解析】 解：根据题意，分 3种情况讨论：，从五名志

16、愿者中选派的四人中的有甲但没有乙，甲有 3种安排方法，剩下三人全排列即可得，此时有 3333=18种选派方法；，从五名志愿者中选派的四人中的有乙但没有甲，乙有 3种安排方法，剩下三人全排列即可得，此时有 3333=18种选派方法；，从五名志愿者中选派的四人中既有甲又有乙，需要在剩下3人中选出2人，有C32种选法，选出4人的安排方法有 A33+2 X2次22种，则此时有C32 (A33+2X2XA22) =42种选派方法；故一共有18+18+42=78种选派方法；故答案为：78根据题意，按甲乙两人是否被选中分3种情况讨论，求出每一种情况的选派方法数目，由加法原理计算可得答案.本题考查排列、组合的

17、应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题.16 .【答案】-7【解析】解：如图，以O为坐标原点，以过O 且平行于AB的直线为x轴，以过O且垂直于 AB的直线为y轴建立坐标系，则 B (2, -2) , C (2, 2),-20P=0B+ (1-X)白匚=入(2, -2) + (1-入)(2,-f2) = (2, 2-4 入)，:0P= (1, 1-2 X)即P点坐标为(1, 1-2入)，设 M (a, -2),则 N (-a, 2) , -2<a<2,T-», FM= (a-1 ) 2 ?-3) , =n= (-a-1, 2 入 +1 2m'pn= (a-1

18、) (-a-1) + (2A3) (2入+)1 =1-a2+4 9-4 左3,当a=i2 J1人=2沈4 =时, fm pw有最小值-7.故答案为：-7.建立坐标系，根据2历二痴j +(1_町方，求出P点坐标，设出M, N坐标分别为(a, -2) , ( -a, 2),将fj/f屈转化为关于a,入的函数，即可得到其最小值.本题考查了向量的线性运算，向量的数量积运算，向量的坐标运算，函数的最小值的求 法，考查分析和解决问题的能力和推理运算能力，属于中档题.17 .【答案】 解：(1)由题意可得BC/BiCi,zAiCB (或其补角)即为异面直线BiCi与AiC所成的角,由题意可知BC!平面ABB

19、iAi,BCLmB, AiBC为直角三角形,_月声由1 EB2.庐 .加心出正二二小异面直线BiCi与AiC所成的角为arctanJE;(2) .BC/BiCi, BC?平面 AiBC, BiCi?平面 AiBC,.BCi 评面 AiBC,.,直线BiCi上任意一点到平面 AiBC的距离均为直线 BiCi到平面AiBC的距离, 不妨取Bi,且设Bi到平面AiBC的距离为h, 由等体积法可得 %-乩产=%-&%,即5&公&CXh=$在月XBC 代入数据可得 XXia后Xh=X><2Xi Xi,解得h=W .直线BiCi到平面AiBC的距离为挈【解析】(i)由题

20、意可得 以iCB (或其补角)即为异面直线BiCi与AiC所成的角，解三角形可得；(2)可证BiCi/印面AiBC,则Bi到平面AiBC的距离h即为所求，由等体积法可得%勺也=%-月/%,代入数据计算可得.本题考查异面直线所成的角，涉及直线到平面的距离，等体积是解决问题的关键，属中 档题.18 .【答案】 解：(i) f (x) =ysin2x-cos2x- (xCR)而 I + cttsZx=sin2x-=sin (2x-) -i,2jt-'T=y=3jt开5河，由 2kjt + 2 < k 兀坛，k CZ 可解得：x CkTt+w, k 兀花,k Z,. f (x)单调递减区

21、间是："兀+kT：r, kez；(2) f (C) =sin (2C-) -i=0,则 sin (2C-) =i,.0<C< Tt,. C=,.sinB=2sinA,由正弦定理可得 b=2a,，c=；3,，由余弦定理可得 c2=a2+b2-ab=3, 由可得a=1, b=2.【解析】(1)先化简函数f (x),再求函数的单调递减区间和最小正周期；(2)先求C,再利用余弦定理、正弦定理，建立方程，即可求a、b的值.本题考查三角函数的化简，三角函数的性质，考查余弦定理、正弦定理的运用，属于中 档题.450019 .【答案】 解：(1)由题意，令x(x-100+丁)<9,

22、化简得 x2-l45x+4500 WQ 解得 45 虫W 100又因为60虫w 120所以欲使每小时的油耗不超过9升，x的取值范围是60, 100；(2)设该汽车行驶100公里的油耗为V ；贝U y=T? (x-100+号)=90000(：/)？+ (其中 60致W120 ;由60aw 120知焉,所以x=90时，汽车行驶100公里的油耗取得最小值为 回升.【解析】(1)令X(x-100+丁)<9,求出解集，结合题意得出x的取值范围;(2)写出y关于x的函数，求出函数的最小值即可.本题考查了函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题.20 .【答案】 解：(1)由题意得：A (-

23、2, 0) , B (2, 0),.圆O的圆心为原点，半径为 2,.,圆O的方程是x2+y2=4；(2)由题意可知：C (0, 1) , D (0, -1),设 E (x°, y°),则 F (-小，y°),.一-、y-1 x ，f 一.直线CE的万程是： 记=公，.,点M (赤:，0),同理点N (言0),又点E (x°, y°)在椭圆y + y2 = 1上，(+底=1(3)显然直线AP的斜率存在，设其方程为：y=k (x+2),y - k(x + 2)联立方程') + /=,化简得：(1+4k2) x2+16k2x+16k2-4=0

24、,设 P(x1, y1),则 x1+(-2)=-J-, 所以 |AP|=31 +P|x1- (-2) |=31 _ I 阴 因为圆心O到直线AP的距离d=Tql十此' 所以 |AQ|=2,匚7=4：士，假设存在点P,使得二二用，则AQ|二4|AP|,所以4cj=4J1”,J,化简得：4+4k2=1+4k2,此方程在实数范围内无解,M 1 T K '1 + 4fc故原假设错误，即不存在点 P,使得好二P”【解析】(1)由题意得：A (-2, 0) , B (2, 0),即可求出圆 O的方程；(2)由题意可知：C (0, 1) , D(0,-1),设 E (xo,y°),

25、则 F (-河y°), (RW1),求出直线CE的方程是，从而求出点 M坐标，同理求出点 N坐标，再利用点E (x0, y0)在椭圆上，坐标满足椭圆方程，即可化简出为定值；(3)显然直线AP的斜率存在，设其方程为：y=k (x+2),代入椭圆方程得到(1+4k2) x2+16k2x+16k2-4=0 ,再利用根与系数的关系和弦长公式求出|AP|的长，再利用构造直角三角形用勾股定理算出|AQ|的长，假设存在点 P,使得j=也，则|AQ|二4|AP|,所以4；'士=4|匚三，化简得：4+4k2=1+4k2,此方程在实数范围内无解，故原假设错误，即、1 + A1 + 4 kf r不

26、存在点P,使得股=pQ.本题主要考查了椭圆与直线的位置关系，是中档题.21.【答案】 解：(1)由题意：a2=|b1|-|C1|=2-4=-2 ; b2=|c1|-|a1 |=4-1=3; C2=|a1|-|b1|=1-2=-1 ; 以此类推，看得出 a4=0, b4=-1 , C4=1 .(2),若 a1=1, b1二2, ci=x，则 a2=2-|x|, b2=|x|-1, C2=-1 , d2= |%_产 x >2 ，a3=|x|-1|-1 , b3=1-|2-|x|, C3=|2-|x|-|x|-1|,当 0wx|v1 时，a3=-|x|, b3=|x|-1|, C3=1, d3

27、=1,由 d3=d2,得 |x|二1,不符合题意.、 <|x|< 1.5.，.当 1<x|<2，a3=|x|-2, b3=|x|-1, C3=3-2|x|, d3=f|x|1,15 < |x| < 2 ,由 d3=d2,得 |x|二1,符合题意.、“，、-ILZ 工田 < 3/口，一 人 口工当 |x| >2a3=|x|-2,b3=3-|x|,C3=-1 ,d3=|/|之 3,由d3=d2,得|x|=2，付合题思，综上C1的取值是：-2, -1, 1, 2.(3)先证明存在正整数k>3,使，ak, bk, Ck中至少有一个为零，假设对任意正整数 k>3,ak,