2020-2021初三数学初中数学旋转的专项培优练习题附答案

1、2020-2021初三数学初中数学旋转的专项培优练习题附答案一、旋转1 .如图所示， ABC和4ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，/BAC=/ DAE=90°, EC的延长线交BD于点P.（1）把4ABC绕点A旋转到图1, BD, CE的关系是 （选填 相等”或不相等”）；简 要说明理由；（2）若AB=3, AD=5,把4ABC绕点A旋转，当/EAC=90°时，在图2中作出旋转后的图 形，PD=,简要说明计算过程；（3）在（2）的条件下写出旋转过程中线段PD的最小值为,最大值为.A部 一 部与郅 E【答案】（1） BD, CE的关系是相等；（2） 5 34 或20扃；（3

2、） 1, 71717【解析】分析：（1）依据ABC和ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，/ BAC=/ DAE=90 ,即可 BA=CA /BAD=/ CAE, DA=EA 进而得至U AABDAACEL,可彳导出 BD=CR（2）分两种情况：依据 / PDA=/ AEC, /PCD=/ ACE,可得 PC2 ACE即可得到PD=CD，进而得至 |J PD=$/34 ;依据 / ABD=/ PBE, /BAD=/ BPE=90,可得AE CE17 BADsbpe,即可得至U pl- 霹，进而得出 PB=6734 , PD=BD+PB=2034 ；（3）以A为圆心，AC长为半径画圆，当 CE在。

3、A下方与。A相切时，PD的值最小；当CE在在。A右上方与。A相切时，PD的值最大.在 RPED中，PD=DE?s冠PED,因此锐 角/ PED的大小直接决定了 PD的大小.分两种情况进行讨论，即可得到旋转过程中线段PD的最小值以及最大值.详解：（1） BD, CE的关系是相等.理由： ABC和4ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，/ BAC=Z DAE=90 ,BA=CA, / BAD=Z CAE DA=EA.ABDAACE,BD=CE故答案为相等.（2）作出旋转后的图形，若点C在AD上，如图2所示：-ce=Vac2 ae2 痴， / PDA=Z AEC, / PCD=Z ACE.,.PCDA

4、ACEPD CDAE CE ' PD= 5、5；17若点B在AE上，如图2所示: / BAD=90 ；ABD 中，BD= JaD2Ab2 734，BE=AE- AB=2, / ABD=Z PBE / BAD=Z BPE=90, .BADABPEPB BEPB 2,即i ,AB BD3. 34解得pb=扃,34.PD=BD+PB=734+-6V34 =207343417故答案为 5 .34 或 20.34；1717PD(3)如图3所示，以A为圆心，AC长为半径画圆，当 CE在。A下方与OA相切时, 的值最小；当CE在在。A右上方与。A相切时，PD的值最大.如图3所示，分两种情况讨论：在R

5、tPED中，PD=DE?sin PED因此锐角 / PED的大小直接决定了 PD的大小. 当小三角形旋转到图中 4ACB的位置时，在 RtACE中，CE%2 32 =4,在 RDAE中，DE=2-5 5亚,四边形ACPB是正方形，PC=AB=3, PE=3+4=7,在 RtA PDE 中，PD= VDE1 _PE2 50 49 1 ,即旋转过程中线段 PD的最小值为1； 当小三角形旋转到图中 AB'C'时，可得DP'为最大值，此时，DP'=4+3=7,即旋转过程中线段 PD的最大值为7.故答案为1, 7.点睛：本题属于几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性

6、质、旋转变换、全等三 角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用这 些知识解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，学会利用图形的特殊位置解决最值问 题.2.已知：4ABC和4ADE均为等边三角形，连接BE,CD,点F,G,H分别为DE,BE,CD中点.(1)当4ADE绕点A旋转时，如图1,则4FGH的形状为,说明理由；(2)在4ADE旋转的过程中，当 B, D, E三点共线时，如图 2,若AB=3, AD=2,求线段FH的长；(3)在4ADE旋转的过程中，若 AB=a, AD=b (a>b>0),则 FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写

7、出最大值和最小值；若不存在，说明理由.图I图2【答案】(1) 4FGH是等边三角形；(2) 巫 1 ; (3) 4FGH的周长最大值为 -22一 3(a+b),取小值为 一(ab).2【解析】试题分析：(1)结论：4FGH是等边三角形.理由如下：根据三角形中位线定理证明FG=FH,再想办法证明 /GFH=60°即可解决问题；、(2)如图2中，连接 AF、EC在RtAFE和RHAFB中，解直角三角形即可；(3)首先证明4GFH的周长=3GF=3BD,求出BD的最大值和最小值即可解决问题；2试题解析：解：(1)结论：4FGH是等边三角形.理由如下：如图1中，连接 BD、CE,延长BD交C

8、E于M,设BM交FH于点O. ABC 和 4ADE 均为等边三角形，AB=AC, AD=AE, Z BAC=Z DAE,/ BAD=/CA匕 J 一2 .BADACAE,BD=CE, /ADB=/AEC, / EG=GB, EF=FD, . . FG=BD, GF/ BD,23 DF=EF, DH=HC, . .FH=1EC FH/ EC ，FG=FH, / Z ADB+Z ADM=180 °,24 / AEG/ADM=180 ； ：. D DMC+Z DAE=180 : ：. D DME=120 ； ：. / BMC=60 °Z GFH=Z BOH=Z BMC=60 ；，

9、 GHF是等边三角形，故答案为：等边三角形.易知 AF± DE,在 RtAEF 中，AE=2, EF=DF=1,AF=石为2 =« ,在 R匕ABF 中,BF=>/ab"_AF7 =76 ,BD=CE=BF- DF=而 1,1. FH=。EC=芯 1 .22(3)存在.理由如下.由(1)可知，4GFH是等边三角形，GF=1bD,4GFH的周长=3GF=3 BD,在4ABD223中，AB=a, AD=b,，BD的最小值为a-b,最大值为a+b,. FGH的周长最大值为 -23(a+b),取小值为一(a-b).2点睛：本题考查等边三角形的性质.全等三角形的判定和

10、性质、解直角三角形、三角形的 三边关系、三角形的中位线的宽等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全 等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题.3.如图1, 4ABC中，CA=CB, Z ACB=90 °,直线l经过点C, AFL于点F, B已l于点E. (1)求证：4AC阵 CBE(2)将直线旋转到如图 2所示位置，点 D是AB的中点，连接DE.若AB=4衣, /CBE=30 ；求 DE 的长.Hl配【答案】(1)答案见解析；(2)应褥【解析】试题分析：(1)根据垂直的定义得到 /BEC=/ACB=90。，根据全等三角形的性质得到 /EBO/C

11、AF,即可得到结论；(2)连接CD, DF,证得BCEACF,根据全等三角形的性质得到 BE=CF, CE=AF,证得 def是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到ef=J2de, EF=C&BE,进而得至ij DE的长.试题解析：解：(1) BEX CE,ZBEC=Z ACB=90°, / EBG/BCE=/ BCEnZACF=90 ； . . / EBO/CAF. -. AFX l 于点 F, . / AFC=90 ：AFC BEC 90在ABCE与AACF中， EBC ACF , /.AACFACBE(AAS); BC AC(2)如图 2,连接 CD, DF.

12、. BEX CE, . / BEC=/ACB=90°, / EBG/BCE=/ BCEnZACF=90 ； . . / EBO/CAF. -. AFX l 于点 F, . / AFC=90 ：AFC BEC 90在 ABCE与 ACAF 中， EBC ACF , .BC珞4CAF (AAS);BC ACBE=CF. ,点 D 是 AB 的中点,CD=BD, / CDB=90 ； . . / CBD=/ACD=45 ；而BE CF /EBO/CAF, ./EBD=/DCF.在 BDE与CDF中， EBD FCD ,BD CF.,.BDEACDF (SAS , ，/ EDB=/FDC,

13、DE=DF, / BDE+/ CDE=90 ； / FDG/ CDE=90 :即 / EDF=90 : ：. EDF是等腰直角三角形，. EF=夜 DE,EF=CE+CF=CE+BE. / CA=CB, / ACB=90 ； AB=4& , . . BC=4 .又一/ CBE=30°, .CE=1BC=2, BE=T3cE=273, . EF=CE+BE=2+2V3 , . DE=4F = 2 乎=&+痴.2. 223点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形 斜边上的中线的性质，证得 BCEACF是解题的关键.4. （10分）已知

14、 ABC和 ADE是等腰直角三角形，/ACB=/ ADE=90°,点F为BE中点，连结DF、CF.却卸郅（1）如图1,当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段 DF、CF的数量关系和 位置关系（不用证明）；（2）如图2,在（1）的条件下将4ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图3,在（1）的条件下将4ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1, AC=V2 ,求 此时线段CF的长（直接写出结果）.【答案】（1）相等和垂直；（2）成立，理由见试题解析；（3） 【解析】试题分析：（1）根据直角三角形斜

15、边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF根据/ DFE=2/ DCF / BFE=2Z BCF,得至U / EFD叱 EFB=2Z DCB=90 ,° DF± BF；（2）延长 DF交BC于点G,先证明ADE阵GCF，得至ij DE=CG DF=FG根据 AD=DE, AB=BG 得到 BD=BG又因为 Z ABC=90°,所以 DF=CF且 DF± BF;（3）延长 DF交BA于点H,先证明ADEFAHBF,得到DE=BH, DF=FH,根据旋转条件可 以4ADH为直角三角形，由 4ABC和4ADE是等腰直角三角形， AC=W,可以求出AB的 值，进而

16、可以根据勾月定理可以求出 DH,再求出DF,由DF=BF求出得CF的值.11 II试题解析：（1）ZACB=Z ADE=90 ,点 F为 BE 中点，DF=BE, CF= BE. . DF=CF ABC和 ADE是等腰直角三角形，/ ABC=45 . ° BF=DF,/ DBF=Z BDF. / DFE=ZABE+Z BDF,/ DFE=2Z DBF.同理得：/CFE=2ZCBF, / EFD+Z EFC=2Z DBF+2/ CBF=2Z ABC=90 . ° .DF=CF 且 DF± CF.（2） （1）中的结论仍然成立.证明如下：如图，此时点 D落在AC上，延

17、长 DF交BC于点G. / ADE=Z ACB=90DE/ BC,/ DEF=Z GBF, / EDF=Z BGF. . F 为 BE 中点，EF=BF . . DEF GBF. . . DE=GR DF=GF ,.AD=DE, AD=GB. AC=BC,AC-AD="BC-GB."，DC=GC / ACB=90 ,° DCG是等腰直角三角形. . DF=GF DF=CF DF± CF.（3）如图，延长DF交BA于点H, ABC和 ADE是等腰直角三角形，AC=BC AD=DE./ AED=Z ABC=45.°由旋转可以得出，/ CAE=Z B

18、AD=90 ； AE/ BC, . ./AEB=/ CBE. . Z DEF=Z HBF. .F 是 BE 的中点，EF="BF.". ADE图HBF.，ED=HB. AC=2R,在RtABC中，由勾股定理，得 AB=4. . AD=1,ED=BH=1. . AH=3.在RtHAD中，由勾股定理，得 DH=JjI ,.DF= : , CF= 2 .回 线段CF的长为2 .3.勾股定理.考点：1.等腰直角三角形的性质；2.全等三角形的判定和性质;5.如图，4ABC是等边三角形，AB=6cm, D为边AB中点.动点 P、Q在边AB上同时从 点D出发，点P沿 AA以1cm/s的速

19、度向终点 A运动.点Q沿 ABfD以2cm/s的速度 运动，回到点D停止.以PQ为边在AB上方作等边三角形 PQNI.将4PQN绕QN的中点旋 转180°得到4MNQ.设四边形PQMN与4ABC重叠部分图形的面积为 S (cm2),点P运 动的时间为t (s) (0vt<3).(1)当点N落在边BC上时，求t的值.(2)当点N到点A、B的距离相等时，求t的值.(3)当点Q沿D-B运动时，求S与t之间的函数表达式.(4)设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是 E、F,直接写出四边形 PEMF与四边形PQMN的面积比为2: 3时t的值.cPD Q315(2) 2 (3)

20、 S=S菱形 pqmnmZS.pnq= 2t2；(4)t=1或【解析】试题分析：（1）由题意知：当点 N落在边BC上时，点Q与点(2)（3） 边形当点N到点A、B的距离相等时，点 N在边AB的中线上, 3当0D 细；四边形 PQMN与4ABC重叠部分图形为四边形 PQMN与 ABC重叠部分图形为五边形 PQFENB重合，此时DQ=3;此时 PD=DQPQMN;当5wt乙时，四MN、MQ与边BC的有交点时，此时12<t写,列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后，即可求出 t的值.试题解析：（1）4PQN与4ABC都是等边三角形，当点N落在边BC上时，点Q与点B重合.DQ=3.-2

21、t=3 .3，t 2 仁；（2）二当点N到点A、B的距离相等时，点 N在边AB的中线上,PD=DQ,当0vtv时，此时，PD=t, DQ=2t .t=2t t=0 （不合题意，舍去），3当'wy 3时，此时，PD=t, DQ=6 - 2t t=6 - 2t,解得t=2;综上所述，当点 N到点A、B的距离相等时，t=2;(3)由题意知：此时，PD=t, DQ=2t当点M在BC边上时，MN=BQ. PQ=MN=3t, BQ=3- 2t .-3t=3 -2t3，解得t="3如图，当0wt%,'旧9/Sa pnq= PQ2=斗 t2;2 . S=S菱形 pqmn=2Sapnq

22、=t2,3 F如图，当s<t明,设MN、MQ与边BC的交点分别是 E、F, MN=PQ=3t, NE=BQ=3- 2t,.ME=MN - NE=PQ- BQ=5t- 3,EMF是等边三角形，Saemf= ME2= ( 5t - 3) 2S = S-S e t27p,3 7 15、,393S =- t2 + _424 .(4) MN、MQ与边BC的交点分别是 E、F,考点：几何变换综合题6.在 ABC中，AB=AC, / A=300,将线段BC绕点B逆时针旋转600得到线段BD,再将线 段BD平移到EF,使点E在AB上，点F在AC上.(1)如图1,直接写出/ABD和/CFE的度数；(2)在

23、图1中证明：AE=CF(3)如图2,连接CE,判断4CEF的形状并加以证明.【答案】(1) 15。，45。； (2)证明见解析；(3) 4CEF是等腰直角三角形，证明见解析 . 【解析】试题分析：(1)根据等腰三角形的性质得到/ABC的度数，由旋转的性质得到 /DBC的度数，从而得到/ABD的度数；根据三角形外角性质即可求得/CFE的度数.(2)连接CD DF,证明4BCD是等边三角形，得到 CD=BD,由平移的性质得到四边形BDFE是平行四边形，从而 AB/ FD,证明AEFFCD即可得AE=CF(3)过点E作EG,CF于G,根据含30度直角三角形的性质，垂直平分线的判定和性质即 可证明4C

24、EF是等腰直角三角形.(1) .在 4ABC 中，AB=AC, ZA=300, . . / ABC=7夕 将线段BC绕点B逆时针旋转600得到线段BD,即/DBC=60/ ABD= 15./ CFE=/ A+Z ABD=45 .°(2)如图，连接CD、DF. 线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD,，BD=BC ZCBD=603.BCD是等边三 角形. .CD=BD.线段 BD 平移至U EF,EF/ BD, EF=BD 四边形BDFE是平行四边形，EF= CD ，AB=AC, /A=300,ZABC=Z ACB=7£ . . / ABD=/ACD=15 . .四边形BD

25、FE是平行四边形，.AB/ FD,/ A=/CFD. .AEFAFCD (AAS).AE=CF(3) 4CEF是等腰直角三角形，证明如下: 如图，过点E作EG，CF于G, / CFE =45, Z FEG=45. °EG=FG ./A=300, /AGE=90,EG =；CF FG =-CF .AE=CF2上.，G为CF的中点.EG为CF的垂直平分线.EF=EC/ CEF=/ FEG=90.°.CEF是等腰直角三角形.考点：1.旋转和平移问题；2.等腰三角形的性质；3.三角形外角性质；4.等边三角形的判定和性质；5.平行四边形的判定和性质；6.全等三角形的判定和性质；7.含

26、30度直角三角形的性质；8.垂直平分线的判定和性质；9.等腰直角三角形的判定.7. (1)观察猜想如图，在4ABC中，/BAC=90, AB=AC点D是BC的中点.以点 D为顶点作正方形 DEFG,使点A, C分别在DG和DE上，连接AE, BG,则线段BG和AE的数量关系是 (2)拓展探究将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后(旋转角度大于0°,小于或等于360。)，如图2,则(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请 说明理由.解决问题若BC=DE=2在(2)的旋转过程中，当 AE为最大值时，直接写出 AF的值.连接AD. ABC是等腰三直角角形，Z

27、BAC= 90。，点D是BC的中点./ ADB=90 ；且 BD= AD. / BDG= / ADB- / ADG= 90 - / ADG= / ADE DG= DE.,.BDGAADE, . BG= AE. 分7(3)由(2)知，BG= AE,故当BG最大时，AE也最大.正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转 270°时，BG最大，如图.若 BC= DE= 2,贝U AD= 1, EF= 2.在 RtMEF中,AF2=AE2+EF2=(AD+DE)2+EF2=(1 + 2)2+22= 13.AF =-【解析】解：(1) BG= AE.（2）成立.如图，连接AD.ABC是等腰三直角角形，

28、 Z BAC= 90。，点D是BC的中点./ ADB=90 ；且 BD= AD. / BDG= / ADB- / ADG= 90 - / ADG= / ADE, DG= DE.,.BDGAADE, . BG= AE.（3）由（2）知，BG= AE,故当BG最大时，AE也最大.Z+X+X+K因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，G点运动的图形是以点 D为圆心，DG为半径的 圆，故当正方形 DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形 DEFG绕点D逆时针方向 旋转270°）时，BG最大，如图 .若 BC= DE= 2,贝U AD= 1 , EF= 2.在 RtAEF中，AF2=AE

29、2+EF2=（AD+DE）2+EF2=（1 + 2）2+22= 13.AF=.即在正方形DEFG旋转过程中，当 AE为最大值时，AF=Jfj .8.（特例发现）如图1,在 ABC中，AG± BC于点G,以A为直角顶点，分别以 AB, AC 为直角边，向 ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF过点E、F作射线GA的垂线，垂 足分另1J为 P、Q.求证：EP=FQ（延伸拓展）如图 2,在4ABC中，AG± BC于点G,以A为直角顶点，分别以 AB, AC为 直角边，向 4ABC外作RtAABE和RACF,射线 GA交EF于点H.若AB=kAE, AC=kAF 请思考HE与HF

30、之间的数量关系，并直接写出你的结论.（深入探究）如图 3,在4ABC中，G是BC边上任意一点，以 A为顶点，向 ABC外作任 意4ABE和ACF,射线 GA交 EF于点 H,若 / EAB=/ AGB, / FAC=Z AGC, AB=kAE, AC=kAF,上一问的结论还成立吗？并证明你的结论.（应用推广）在上一问的条件下，设大小恒定的角/ IHJ分别与4AEF的两边AE、AF分别交于点M、N,若4ABC为腰长等于4的等腰三角形，其中 ZBAC=120,且/IHJ=/ AGB= 0 =60 k=2;求证：当Z IHJ在旋转过程中， EMH、4HMN和4FNH均相似，并直接写出线段 MN的 最

31、小值（请在答题卡的备用图中补全作图）.【答案】（1）证明参见解析；（2）HE=HF; （3）成立，证明参见解析；（4）证明参见解析，MN最 小值为1.【解析】试题分析：（1）特例发现：易证 AEPBAG, AFQ0CAG,即可求得 EP=AQFQ=AG,即可解题；（2）延伸拓展：过点 E、F作射线GA的垂线，垂足分别为 P、Q.易证1 II ABGsEAP, AC84FAQ,得到 PE=AG, FQ=AG, . PE=FQ 然后证明II EPHA FQHI,即可得出 HE=HF; （3）深入探究：判断 PEAGAB,得到 PE= AG, 1 AQFACGA, FQ=,得到 FQ=AG,再判断E

32、PHFQH,即可得出 HE=HF; （4）应用推 广：由前一个结论得到 4AEF为正三角形，再依次判断 MHNsHFNM AMEH,即可得 出结论.试题解析：（1）特例发现，如图: / PEA+/ PAE=90 ,° / GAB+/ PAE=90 , °/ PEA=Z GAB, Z EPA=/ AGB, AE=AB, /. APEAAGAB, . PE=AG 同理， 4QF心GAC,FQ=AG, .1. PE=FQ（2）延伸拓展，如图：侬 / PEA+/ PAE=90 ,° / GAB+Z PAE=90 , ° / PEA=/ GAB,/ EPA=/ A

33、GB,IPF AEIPF AE= =.PEAAGAB, ： AG An, 1. AB=kA ： AG kAE1,，PE=AG,同理, QFAAGAC,1, AC=kAF,FQAG, PE=FQ -EP/ FQ,，/EPH=/ FQH, Z PHE=Z QHF, . . EP噌 FQH, . HE=Hp(3)深入探究，如图2,/?在直线 AG 上取一点 P,使得 / EP/AGB,彳FQ/ PE, / EAP+Z BAG=180 / AGB, ZABG+Z BAG=180 - / AGB, . / EAP=Z ABG, / EPAAGB, . AAPEA BGA,PE AEII：.AG A&qu

34、ot;, l AB=kAE,PE=AG,由于 / FQA=/ FAC=Z AGC=180 - Z AGB,同理可得，|FQ AF1 AQFsCGA K1 m，AC=kAF ，FQ=AG, . . EP=FQ / EP/ FQ, ，/EPH=/ FQH, Z PHE=Z QHF, . EPH FQH, . HE=HpE(4)应用推广，如图3,邺在前面条件及结论，得到，点H是EF中点，AE=AF, = / EAB=/ AGB, / FAC=Z AGC-. / EAB+Z FAC=180，°/ EAF=360 -° ( / EAB+Z FAQ - / BAC=60 AEF 为正三

35、角形.又 H 为 EF中点，Z EHM+Z IHJ=120°, Z IHJ+Z FHN=120 ,UM EHZ EHM=Z FHN, / AEF=/ AFE, HEMs HFN,', EH=FHFil且 / MHN=/HFN=60 . .MHNshFN, . MHNs HFNs MEH,在 HMN中，/ MHN=60° ,根据三角形中大边对大角，要MN最小，只有 HMN是等边三角形，Z AMN=60 , . /AEF=60, MN . . MN/ EF, . AEF为等边三角形，. . MN 为 1 1 |SS liS AEF的中位线， MNmin=' EF

36、= X 2=1考点：1.几何变换综合题；2.三角形全等及相似的判定性质9.如图1,矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形 EFG的两边EF, EG分别过点 B, C, / F= 30°.(1)求证：BE= CE(2)将 EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF, EG分别与AB, BC相交于点M, N.(如图2) 求证：BEMCEN;若AB=2,求4BMN面积的最大值； 当旋转停止时，点 B恰好在FG上(如图3),求sin/EBG的值.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；2 ;I4【解析】【分析】(1)只要证明 BAECDE即可；

37、(2) 利用(1)可知4EBC是等腰直角三角形，根据 ASA即可证明；构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题； 如图 3 中，作 EHI± BG于 H.设 NG=m,贝U BG=2m, BN=EN=J3 m, EB=/6 m.利用面积法求出EH,根据三角函数的定义即可解决问题.【详解】(1)证明：如图1中，# 犬 办Xt四边形ABCD是矩形，.AB=DC, /A=/D=90； .E是AD中点， .AE=DE ABAEVA ODE,.BE=CE(2)解：如图2中，图2由（1）可知，AEBC是等腰直角三角形,/ EBO=Z EOB=45,° / ABO=Z BOD=90

38、,°/ EBM=Z EON=45 ； / MEN=Z BEO=90,°/ BEM=/CEN, .EB=EO .BEMAOEN；. BEMAOEN,.BM=ON,设 BM=CN=x,贝U BN=4-x,Sabmn= ?x (4-x) =- (x-2) 2+2,22.x=2时，ABMN的面积最大，最大值为 2.解：如图 3 中，作 EHL BG于 H.设 NG=m,贝U BG=2m, BN=EN=&m, EB=V61. EG=m+ 73m= (1+73) m,11. . Sabeg= ?EG?BN=- ?BG?EI22EH二鬲？(1 向m=3+73m, 2m23+ 3在

39、 RtEBH中，sin/EBH=EH _2m 娓 22 .EB ,6m 4【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定 和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题， 学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，10.正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB的中点，连接 EF.(1)如图1,若点G是边BC的中点，连接FG,则EF与FG关系为： ；(2)如图2,若点P为BC延长线上一动点，连接 FP,将线段FP以点F为旋转中心，逆 时针旋转90。，得到线段FQ,连接EQ,请彳#想BF、EQ、BP三者之间的数量关系，并证明

40、 你的结论.(3)若点P为CB延长线上一动点，按照(2)中的作法，在图3中补全图形，并直接写 出BF、EQ BP三者之间的数量关系： .图1图2圉3【答案】(1)证明见解析(2) BF+EQ=BP(3) BF+BP=EQ【解析】试题分析：(1) EF与FG关系为垂直且相等(EF=FG且EF± FG).证明如下：点E、F、G分别是正方形边 AD、AB、BC的中点， AEF和 BGD是两个全等的等腰直角三角形.，EF=FG /AFE=/ BFG=45/ EFG=90, °即 EF± FG.(2)取BC的中点G,连接FG,则由SAS易证 FQE FPG 从而EQ=GP因

41、此EF V2 BP EQ .(3)同(2)可证FQEFPG (SAS ,得 EQ=GP 因此，EF GF V2BG 衣 GP BP & EQ BP .11 .如图，七3c是边长为4cm的等边三角形，边一15在射线3f上，且,点口从点。出发，沿01/的方向以m小的速度运动，当N不与点T重合是，将 _UCD绕点1c逆时针方向旋转6tfs得到A5CE，连接DE .(1)求证：1CDE是等边三角形;(2)当6< r<10时，的周长是否存在最小值？若存在，求出 XSDE的最小周长;(3)当点D在射线 3,上运动时，是否存在以 D,E,B为顶点的三角形是直角三角形?若存在，求出此时的值

42、；若不存在，请说明理由(3)当t=2或14s时，以D、E、B为顶DC=EC即可得到结论；(2)当6vt10【答案】(1)详见解析；(2)存在，2右+4;点的三角形是直角三角形.【解析】试题分析：(1)由旋转的性质得到 /DCE=60,时，由旋转的性质得到 BE=AD,于是得至ij CA dbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE根据等边三角形的性质得到DE=CD,由垂线段最短得到当 CD，AB时，4BDE的周长最小，于是得到结论；(3)存在，当点D与点B重合时，D, B, E不能构成三角形， 当0Wg6时， 由旋转的性质得到 /ABE=60, ZBDE< 60°,求得/ B

43、ED=90 ,根据等边三角形的性质得到 /DEB=60,° 求得 /CEB=30求得 OD=OA DA=6- 4=2,于是得到 t=2 + 1= 2SD 当 6vtv10s时，此时不存在； 当t>10s时，由旋转的性质得到 /DBE=60°,求得/BDE>60°,于是得到t=14 + 1=14s试题解析：(1)证明：二.将4ACD绕点C逆时针方向旋转60。得到ABCE,/ DCE=60,° DC=EC .CDE是等边三角形；(2)存在，当6<t<10时，由旋转的性质得，BE=AD Ca dbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+D

44、E由(1)知， CDE是等边三角形，DE=CD, 1' Ca dbe=CD+4,由垂线段最短可知，当CD）! AB时，4BDE的周长最小，此时，CD=2披cm, BDE 的最小周长=CD+4=2/3 +4；（3）存在，二当点D与点B重合时，D, B, E不能构成三角形，当点D与点B重合时，不符合题意，当0W6时，由旋转可知，/ABE=60°, /BDEv 60°,/ BED=90 ；由（1）可知，4CDE是等边三角形，/ DEB=60 ；/ CEB=30,° / ceb=z cda,/ CDA=30 ； / CAB=60 ；/ ACD=Z ADC=30 ；

45、DA=CA=4,.OD=OA- DA=6- 4=2,2 .t=2 + 1= 2s 当 6vtv 10s时，由 ZDBE=120°>90°,，此时不存在；当t>10s时，由旋转的性质可知，/DBE=60°,又由（1）知 /CDE=60,/ BDE=Z CDE+Z BDC=60+Y BDC,而/ BDC>0°,3 / BDE> 60 ；4 只能 /BDE=90,°从而 / BCD=30 ,BD=BC=4,1. OD=14cm,1-1=14 + 1=14s综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.考

46、点：旋转与三角形的综合题.12.如图，在 ABC中，/CAB=70°,在同一平面内，将 ABC绕点A旋转到AB'的位 置，使得CC/AB求/ BAB的度数.【答案】40°.【解析】【分析】先根据平行线的性质，由 CC/AB得/AC C=CAB=70,再根据旋转的性质得 AC=AC, /BAB'/CAC；于是根据等腰三角形的性质有/ACC'AC' C=7隙后利用三角形内角和定理可计算出/CAC =40；从而得到/BAB的度数.【详解】 . CC7/ AB, Z A CC Z=CAB=70 ；.ABC绕点A旋转到AB'白C位置， .AC=

47、AC,' /BAB ZCAC；在 ACC 中，AC=AC / ACC ZAC' C=70 ° / CAC' =1800 -70 =40 : /EAB' =40 °【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹 角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.13.在正方形 ABCD中，M是BC边上一点，且点 M不与 B C重合，点 P在射线 AM上, 将线段AP绕点A顺时针旋转90得到线段AQ,连接BP, DQ.(1)依题意补全图1;(2) 连接DP,若点P, Q, D恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2=2A

48、B2；若点P, Q, C恰好在同一条直线上，则 BP与AB的数量关系为：_.【答案】(1)详见解析；(2) 详见解析；BP=AB.【解析】【分析】(1)根据要求画出图形即可；(2) 连接BD,如图2,只要证明 ADQZABP, / DPB=90即可解决问题；结论：BP=AB,如图3中，连接AC,延长CD至ij N,使得DN=CD,连接AN, QN,由 ADQAABP, ANQ0ACP,推出 DQ=PB, / AQN=/ APC=45；由 /AQP=45：推出/ NQC=90 ；由 CD=DN,可得 DQ=CD=DN=AB；【详解】(1)解：补全图形如图 1：图1二线段AP绕点A顺时针旋转90得到线段AQ,.AQ=AP, /QAP=90；四边形ABCD是正方形，.AD=AB, /DAB=90,°/ 1 = / 2. .ADQAABP, .DQ=BP, /Q=/3,在 RtA QAP 中,/ Q+Z QPA=90 ,°/ BPD=/ 3+/ QPA=90,° .在 RtA BPD 中，DP2+BP2=BD2 又.DQ=BP, BD2=2AB2, .DP2+DQ2=2AB2.解：结论：BP=AB.理由：如图3中，连接 AC,延长CD到N,使得DN=CD,连接AN, QN.s . ADQAABP),