第8章_有限脉冲响应滤波器的设计

1、数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science1有限脉冲响应滤波器的单位脉冲响应长度是有限的，有限脉冲响应滤波器的单位脉冲响应长度是有限的，它的差分方程或输入输出方程是它的差分方程或输入输出方程是其输出没有反馈。有限脉冲响应滤波器的系统函数是其输出没有反馈。有限脉冲响应滤波器的系统函数是其系统函数的分母为其系统函数的分母为1 1。故设计有限脉冲响应滤波器。故设计有限脉冲响应滤波器不适合采用无限脉冲响应滤波器的设计方法。不适合采用无限脉冲响应滤波器的设计方法。第第8章章 有限脉冲响应滤波器的设计有限脉冲响应滤波器的设计) 1( )()()(10NmnxmhnyNm阶

2、为)1( )()(10上个零点，极点都在原点有NznhzHNnn(8.1)(8.2)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science2从有限脉冲响应滤波器的差分方程从有限脉冲响应滤波器的差分方程(8.1)和系统函数和系统函数(8.2)来看，有限脉冲响应滤波器具有来看，有限脉冲响应滤波器具有3个主要优点：个主要优点：（1）系统肯定是稳定的，系统肯定是稳定的，（2）容易得到因果系统，）容易得到因果系统，（3）能获得线性相位的性能。）能获得线性相位的性能。正是由于有限脉冲响应滤波器的这些特殊性，在设计正是由于有限脉冲响应滤波器的这些特殊性，在设计有限脉冲响应滤波器时，一般

3、使用另一种频谱表示法。有限脉冲响应滤波器时，一般使用另一种频谱表示法。8.1 系统频谱的本质系统频谱的本质单位脉冲响应代表系统的性能，也代表系统，其系统单位脉冲响应代表系统的性能，也代表系统，其系统函数和系统频谱都是系统的一种描述，都代表系统函数和系统频谱都是系统的一种描述，都代表系统，它们之间的关系是复数它们之间的关系是复数z和虚指数和虚指数ej的关系。的关系。 数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science38.1.1 系统频谱的含意系统频谱的含意不管是信号还是单位脉冲响应，它们的傅里叶变换都不管是信号还是单位脉冲响应，它们的傅里叶变换都是复数，可以用实部和虚

4、部来表示，也可以用幅度和是复数，可以用实部和虚部来表示，也可以用幅度和相位来表示，相位来表示，极坐标方式能够直观地体现正弦成分的幅度和初始相极坐标方式能够直观地体现正弦成分的幅度和初始相位。位。从显示信号的正弦波成分方面来看，从显示信号的正弦波成分方面来看，该方程表示合成序列该方程表示合成序列x(n)的正弦波成分是的正弦波成分是)(arg | )(|)(Im)(Re)()(arg表示相位XjeXXjXX)( )(21)(20积分的本质是求和deXnxnj)(arg| )(|21)(21XnjnjedXdeX(8.3)(8.4)(8.5)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjo

5、y Science4改写正弦成分的总相位，改写正弦成分的总相位，频谱相位和时间的关系就显现出来了：相位除以角频频谱相位和时间的关系就显现出来了：相位除以角频率的商具有时间的概念。率的商具有时间的概念。如果如果argX()0，表示这个，表示这个频率频率的正弦波将沿着时序轴的正弦波将沿着时序轴n n向右移位，这种现象叫向右移位，这种现象叫做延时。做延时。除了信号频谱的意义外，作为处理信号的系统频谱除了信号频谱的意义外，作为处理信号的系统频谱H()还有另一层的意义，这层意义就是：系统会按照还有另一层的意义，这层意义就是：系统会按照系统频谱系统频谱H()的幅度改变信号成分的大小，并且按照的幅度改变信号

6、成分的大小，并且按照系统频谱系统频谱H()的相位改变信号成分的初始位置。的相位改变信号成分的初始位置。)(arg)(argXnXn(8.6)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science5从系统函数来看，从系统函数来看，根据卷积定理根据卷积定理(3.132)，它表示信号它表示信号x(n)经过线性时不变系统经过线性时不变系统h(n)处理后得到处理后得到信号信号y(n)，而，而y(n)的频谱的频谱Y()幅度按照幅度按照H()的幅度改的幅度改变，变，y(n)的频谱的频谱Y()初始位置按照初始位置按照H()的相位改变。的相位改变。如果如果|H()|1，则输入的正弦波成分将

7、被系统减弱；，则输入的正弦波成分将被系统减弱；如果如果argH()0，则表示输入的正弦波经过系统后相，则表示输入的正弦波经过系统后相位滞后了。位滞后了。)()()()()()(XHYnxnhny)(8.7( | )(| )(|)(8.3( | )(| )(| )(|)()(arg)(arg)(arg)(arg)(arg利用利用XHjXjHjYjeXHeXeHeYY(8.7)(8.8)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science6从单位脉冲响应来看，假设输入信号是幅度为从单位脉冲响应来看，假设输入信号是幅度为A和初和初始相位为始相位为的正弦波，的正弦波，经过线性时

8、不变系统经过线性时不变系统h(n)处理后的信号是处理后的信号是其频率与输入其频率与输入x(n)的相同。的相同。)()(njAenx) )3 . 8( | )(|) )80. 3( )()() )9 . 8( )()()()(arg)()(利用公式根据频谱的定义利用公式HnjmmjnjmmnjmeHAemhAemhAemhmnxny(8.9)(8.10)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science78.1.2 系统的延时系统的延时系统处理信号总是需要时间的。系统处理信号总是需要时间的。这是系统的延时。数这是系统的延时。数学上将信号学上将信号x(n)经过系统延时后得

9、到的信号经过系统延时后得到的信号y(n)写成写成这种延时的信号这种延时的信号y(n)与原来的信号与原来的信号x(n)的变化规律相的变化规律相同，不存在失真。同，不存在失真。假设线性时不变系统的假设线性时不变系统的|H()|=r为常数，输入信号是为常数，输入信号是典型正弦波，则该系统的输出典型正弦波，则该系统的输出它与它与x(n)的幅度比例的幅度比例r不随时序不随时序n变化，而变化，而y(n)和和x(n)的的)(8.9)( )()(对比与典型正弦波njAreny)( )()(是延时参数比例参数，rnxrny(8.11)(8.12)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Sc

10、ience8相位存在时序差别相位存在时序差别/。这个差别就是系统对频率是。这个差别就是系统对频率是的输入正弦波的延时。的输入正弦波的延时。系统的相位系统的相位与输入正弦波的频率与输入正弦波的频率有关，同理，系统有关，同理，系统的延时也与输入正弦波的频率有关。的延时也与输入正弦波的频率有关。（1）如果系统函数的相位）如果系统函数的相位与角频率与角频率成正比，即成正比，即它是一条过原点的直线，并且系统的它是一条过原点的直线，并且系统的|H()|=r，r是常是常数，则这种系统对于典型正弦波数，则这种系统对于典型正弦波(8.9)的输出将是的输出将是它对任何输入频率的延时都是相同的，延时量它对任何输入频

11、率的延时都是相同的，延时量=-a。这种相位与频率成正比的系统，对于由许多频率分量这种相位与频率成正比的系统，对于由许多频率分量组成的输入信号来说不会产生失真。组成的输入信号来说不会产生失真。)( )(arg是常数斜率aaH)13. 8()(8.12( )()(和根据公式anjAreny(8.13)(8.14)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science9（2）如果系统函数的相位如果系统函数的相位是角频率是角频率的普通直线方的普通直线方程，不一定是过原点的直线，即程，不一定是过原点的直线，即系统的系统的|H()|=r，r是常数，则典型正弦波是常数，则典型正弦波(8

12、.9)经过这经过这种系统后将变为种系统后将变为由于延时项由于延时项=-(a+b/)与角频率与角频率有关，普通直线相位有关，普通直线相位系统的输出系统的输出y(n)对不同频率的输入将产生不同的延时。对不同频率的输入将产生不同的延时。这种系统对于输入信号可能会产生失真。这种系统对于输入信号可能会产生失真。不过，在实际的通信系统中，在我们感兴趣的频带内不过，在实际的通信系统中，在我们感兴趣的频带内的信号成分的延时相同，我们的通信就不会失真。的信号成分的延时相同，我们的通信就不会失真。)( )(arg都是常数和纵截距斜率babaH)15. 8()(8.12( )()(和根据公式banjAreny(8.

13、15)(8.16)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science10下面以调幅波为例，说明普通直线相位系统对无线电下面以调幅波为例，说明普通直线相位系统对无线电信号所产生的影响。信号所产生的影响。为了直观，现在把典型的正弦波为了直观，现在把典型的正弦波(8.9)用我们熟悉的实用我们熟悉的实数形式表示，数形式表示，它输入直线相位和常数幅度的系统得到的输出它输入直线相位和常数幅度的系统得到的输出(8.16)也用实数形式表示，也用实数形式表示，考虑给这种系统输入一个简单的抑制载波的双边带调考虑给这种系统输入一个简单的抑制载波的双边带调幅波，即幅波，即)sincos( )

14、cos()(算更方便于三角函数的运比用nAnx)(8.16( )(cos)(的实部取公式banArny)( )cos()cos()(cscs远小于载波频率信号频率nnAnx(8.17)(8.18)(8.19)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science11根据三角函数和差积的关系，将根据三角函数和差积的关系，将x(n)变为两个分量，变为两个分量，根据线性系统的叠加性质和公式根据线性系统的叠加性质和公式(8.18)，该系统输出，该系统输出对比输入信号对比输入信号(8.19)和输出信号和输出信号(8.20)，可知直线相位，可知直线相位系统对这种窄带信号系统对这种窄带

15、信号x(n)产生两种影响：一是滞后频产生两种影响：一是滞后频率是率是c的载波的载波cos(cn)；二是滞后调制在载波上的频；二是滞后调制在载波上的频率是率是s的信号的信号cos(sn)，但是这种滞后并没有使传输，但是这种滞后并没有使传输的信号的信号cos(sn)发生波形失真。发生波形失真。)cos(2)cos(2)(scscnAnAnx)( )(cos)(cos)(cos(2)(cos(2)(csscsc三角函数和差积的关系bananArbanrAbanrAny(8.19)(8.20)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science128.2 有限脉冲响应滤波器的频

16、谱有限脉冲响应滤波器的频谱有限脉冲响应滤波器能够获得线性相位或直线相位。有限脉冲响应滤波器能够获得线性相位或直线相位。线性相位系统的好处是它不会改变有用信号的波形。线性相位系统的好处是它不会改变有用信号的波形。8.2.1 有限脉冲响应滤波器的频谱表示法有限脉冲响应滤波器的频谱表示法一般线性相位也叫做直线相位，线性相位系统的相频一般线性相位也叫做直线相位，线性相位系统的相频特性是特性是为了方便设计有限脉冲响应滤波器，可用另一种表示为了方便设计有限脉冲响应滤波器，可用另一种表示频谱的方法：频谱的方法：这种表示法的这种表示法的A()是实数，叫做幅度函数。是实数，叫做幅度函数。)( )()()(是实数

17、其中AeAHj)( )(都是常数和纵截距斜率baba(8.28)(8.29)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science13实数的幅度函数可以方便我们分析和设计有限脉冲响实数的幅度函数可以方便我们分析和设计有限脉冲响应滤波器。应滤波器。我们需要的线性相位的选频滤波器有低通、带通、高我们需要的线性相位的选频滤波器有低通、带通、高通等滤波器，它们的频谱幅度在有用信号的频段内为通等滤波器，它们的频谱幅度在有用信号的频段内为常数或者为常数或者为1，在没用信号的频段内为，在没用信号的频段内为0。在设计这种。在设计这种分段常数幅度的选频滤波器时，只要能保证在有用频分段常数幅

18、度的选频滤波器时，只要能保证在有用频段的系统相位是线性的，一般来说，它们选出的有用段的系统相位是线性的，一般来说，它们选出的有用信号就不会失真。如何让有限脉冲响应滤波器成为线信号就不会失真。如何让有限脉冲响应滤波器成为线性相位的呢？性相位的呢？数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science148.2.2 实现线性相位的方法实现线性相位的方法线性相位的有限脉冲响应滤波器有两种：一种是相位线性相位的有限脉冲响应滤波器有两种：一种是相位直线过零点的，另一种是相位直线不过零点的。直线过零点的，另一种是相位直线不过零点的。（1）相位直线过零点的滤波器）相位直线过零点的滤波器

19、如果我们让有限脉冲响应系统的单位脉冲响应如果我们让有限脉冲响应系统的单位脉冲响应h(n)满满足偶对称条件，足偶对称条件，即即那么，该系统的相位函数将是一条过零点的直线，即那么，该系统的相位函数将是一条过零点的直线，即这种线性相位称为第一类线性相位，它的群延时这种线性相位称为第一类线性相位，它的群延时a等等于该系统脉冲响应的对称点。于该系统脉冲响应的对称点。)2/ ) 1( )1()(是脉冲响应的长度，对称点在NNnnNhnh)2/ ) 1( )(Naa群延时(8.30)(8.31)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science15让我们从离散时间的傅里叶变换来看这

20、个问题，由于让我们从离散时间的傅里叶变换来看这个问题，由于因果系统的频谱为因果系统的频谱为根据有限长脉冲响应的偶对称条件根据有限长脉冲响应的偶对称条件(8.30)，公式，公式(8.32)也可以写为也可以写为)80. 3( )()(10换的定义参考离散时间傅里叶变NnnjenhH10)1(10)()1( )1()(NnnNjNmmjenhmNnemNhH做变量代换用(8.32)(8.33)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science16合并上面两个频谱公式，合并上面两个频谱公式，或者将它写成或者将它写成)21( )(cos)(2)(3.5( )()()(21010

21、)21()21(2)1(10)1(NaanenheeenheenhHNnjaNnNnjNnjNjNnnNjnj其利用欧拉公式)(10)()(cos)()(jjaNneAeannhH(8.34)(8.35)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science17这个偶对称脉冲响应的频谱说明：只要这个偶对称脉冲响应的频谱说明：只要h(n)是实数的，是实数的，那么，它的幅度函数那么，它的幅度函数也是实数的，并代表系统的幅度响应；这种系统的相也是实数的，并代表系统的幅度响应；这种系统的相位函数位函数是一条过零点的直线，是线性相位的。是一条过零点的直线，是线性相位的。（2）相位直

22、线不过零点的滤波器）相位直线不过零点的滤波器如果我们让有限长脉冲响应系统的单位脉冲响应如果我们让有限长脉冲响应系统的单位脉冲响应h(n)满足奇对称条件满足奇对称条件10)(cos)()(NnannhA)2/ ) 1( )(Naa群延时(8.36)(8.37)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science18那么，该系统的相位函数将是一条不过零点的直线，那么，该系统的相位函数将是一条不过零点的直线，即即这种线性相位称为第二类线性相位，它的群延时这种线性相位称为第二类线性相位，它的群延时a等等于该系统脉冲响应的对称点。于该系统脉冲响应的对称点。有限脉冲响应滤波器的对称

23、关系对设计线性相位滤波有限脉冲响应滤波器的对称关系对设计线性相位滤波器是很有用的，我们可以根据线性相位的要求来确定器是很有用的，我们可以根据线性相位的要求来确定h(n)的对称关系，降低设计时推算脉冲响应的对称关系，降低设计时推算脉冲响应h(n)的工的工作量。作量。)2/ ) 1( )1()(是脉冲响应的长度，对称点在NNnnNhnh)2/ ) 1( 2)(Naa群延时(8.38)(8.39)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science198.2.3 线性相位滤波器的幅度特性线性相位滤波器的幅度特性线性相位滤波器的幅度函数具有某种对称性，这些特线性相位滤波器的幅度

24、函数具有某种对称性，这些特性有助于我们设计有限脉冲响应滤波器。性有助于我们设计有限脉冲响应滤波器。对于因果系统的有限脉冲响应滤波器来说，它的对称对于因果系统的有限脉冲响应滤波器来说，它的对称位置比较特殊：由于有限长滤波器位置比较特殊：由于有限长滤波器h(n)的有效时序在的有效时序在n=0N-1，所以它的对称点不在，所以它的对称点不在n=0。如果函数。如果函数A()的对称中心位置是在的对称中心位置是在=a的话，那么它的偶对称数学的话，那么它的偶对称数学表达式将是表达式将是同理，同理，A()关于关于=a的奇对称数学表达式将是的奇对称数学表达式将是)( )2()(是常数aaAA)2()(aAA(8.

25、45)(8.46)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science20根据相位函数的直线是否过零点，线性相位分为第一根据相位函数的直线是否过零点，线性相位分为第一类线性相位和第二类线性相位，两者的幅度函数类线性相位和第二类线性相位，两者的幅度函数A()各有特点，如表各有特点，如表8.1所示。所示。相位特点相位特点系统长度系统长度NA()的对称性的对称性A()的固定的固定零点零点适用范围适用范围第一类线性相第一类线性相位位h(n)=h(N-1-n)奇数奇数对于对于=0和和皆皆偶对称偶对称无无各种滤波器各种滤波器偶数偶数对于对于=0偶对称，偶对称，对于对于=奇对称奇对称

26、A()=0低通和带通低通和带通滤波器滤波器第二类线性相第二类线性相位位h(n)=-h(N-1-n)奇数奇数对于对于=0和和皆皆奇对称奇对称A(0)=A()=0带通滤波器带通滤波器偶数偶数对于对于=0奇对称，奇对称，对于对于=偶对称偶对称A(0)=0高通和带通高通和带通滤波器滤波器表表8.1数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science21幅度函数的对称性证明，只要从幅度函数幅度函数的对称性证明，只要从幅度函数(8.36)和和(8.43)出发，利用余弦函数和正弦函数的特点，事情出发，利用余弦函数和正弦函数的特点，事情就迎刃而解了。就迎刃而解了。下面举两个例子下面举两

27、个例子。（1）奇数长度的第一类线性相位系统）奇数长度的第一类线性相位系统从第一类线性相位的幅度函数从第一类线性相位的幅度函数(8.36)出发，按照对称出发，按照对称位置在位置在=的写法，参照公式的写法，参照公式(8.45)和和(8.46)，用，用2-替换公式替换公式(8.36)中的中的，得到，得到)36. 8( )()2)cos( )(cos)()( )()(2cos)()( )(2cos()()2(101010参考公式的周期是偶函数也是整数是整数是奇数，所以由于AxannhananannhaNannhANnNnNn(8.47)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Sc

28、ience22将它与公式将它与公式(8.45)对比就知道，第一类线性相位的幅对比就知道，第一类线性相位的幅度函数在奇数度函数在奇数N时对于时对于=是偶对称的。是偶对称的。（2）偶数长度的第二类线性相位系统）偶数长度的第二类线性相位系统从第二类线性相位的幅度函数从第二类线性相位的幅度函数(8.43)出发，按照对称出发，按照对称位置在位置在=的写法，参照公式的写法，参照公式(8.45)和和(8.46)，用，用2-替换公式替换公式(8.43)中的中的，就可以得到，就可以得到将它与公式将它与公式(8.45)对比你就知道，第二类线性相位的对比你就知道，第二类线性相位的幅度函数在偶数幅度函数在偶数N时是关

29、于时是关于=的偶对称。的偶对称。有限脉冲响应滤波器的长度有限脉冲响应滤波器的长度N和幅度函数的对称性都和幅度函数的对称性都很重要，如果能巧妙地运用表很重要，如果能巧妙地运用表8.1所列的特性，就可以所列的特性，就可以提高设计选频滤波器的效率，避免盲目设计。提高设计选频滤波器的效率，避免盲目设计。)43. 8( )()2(对比公式AA(8.48)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science238.3 在时域设计滤波器在时域设计滤波器从一个无限长序列中截取一段，就像裁剪一块布，当从一个无限长序列中截取一段，就像裁剪一块布，当然，不同的然，不同的“裁法裁法”将会得到不

30、同的频谱。将会得到不同的频谱。8.3.1 截取一段序列截取一段序列这种方法叫窗口设计法，其原理是：首先，求出希望这种方法叫窗口设计法，其原理是：首先，求出希望得到的选频滤波器的单位脉冲响应得到的选频滤波器的单位脉冲响应hd(n)；然后，截取；然后，截取其中数值较大的一段作为我们需要的滤波器序列，并其中数值较大的一段作为我们需要的滤波器序列，并设法使它符合因果关系。设法使它符合因果关系。例题例题8.3 某矿山的探测设备需要一个数字某矿山的探测设备需要一个数字FIR低通滤波低通滤波器，它的截止频率器，它的截止频率c=0.2，长度，长度N=21。请用矩形窗。请用矩形窗设计这个低通滤波器，要求该滤波器

31、的相位是线性的。设计这个低通滤波器，要求该滤波器的相位是线性的。数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science24解解 根据表根据表8.1，奇数，奇数N的低通滤波器频谱只能是第一的低通滤波器频谱只能是第一类线性相位的，它的幅度函数在角频率类线性相位的，它的幅度函数在角频率=0的地方呈的地方呈偶对称。考虑到作为设计模型的理想滤波器相位是否偶对称。考虑到作为设计模型的理想滤波器相位是否是零，下面介绍两种设计方法。是零，下面介绍两种设计方法。（1）理想滤波器的相位不为零）理想滤波器的相位不为零在角频率在角频率的主值区间的主值区间-, )，理想低通模型的频率响，理想低通模

32、型的频率响应应根据长度根据长度N=21和公式和公式(8.31)，选择群延时，选择群延时a=(N-1)/2=10。其相位函数其相位函数d()的直线只需在通带上定义。的直线只需在通带上定义。)( 0)( )(ccd其它jaeH(8.50)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science25根据离散时间的傅里叶反变换根据离散时间的傅里叶反变换(3.81)和频谱和频谱(8.50)，在，在主值区间计算理想模型的单位脉冲响应，得到主值区间计算理想模型的单位脉冲响应，得到它是无限长的非因果序列，对称中心在它是无限长的非因果序列，对称中心在n=10的地方。的地方。根据题目根据题目N

33、=21的要求，截取的要求，截取hd(n)数值较大的数值较大的n=020这一段作为我们需要的因果序列，这一段作为我们需要的因果序列，)5 . 3( )()(sin21)(cdcc用欧拉公式anandeenhnjja(8.51)图图8.7数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science26相当于相当于hd(n)乘上矩形窗乘上矩形窗R21(n)，即，即相当于用剪刀从相当于用剪刀从hd(n)的的n=0和和n=20两个地方直接剪下两个地方直接剪下去。图去。图8.7右图是用矩形窗截取右图是用矩形窗截取hd(n)的效果，的效果，h(n)在在n=10的左右偶对称，满足第一类线性相位

34、的条件。的左右偶对称，满足第一类线性相位的条件。这这个滤波器个滤波器h(n)的频谱的频谱H()可用可用幅度函数幅度函数A()和相位函和相位函数数()描述，描述，)()10()10(sin)()()(21c21dnRnnnRnhnh(8.52)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science27幅度函数幅度函数A()的数值在通带内近似等于的数值在通带内近似等于1，有些像理，有些像理想的幅度函数想的幅度函数Ad()；滤波器；滤波器h(n)的相位函数的相位函数()是过是过原点的直线。原点的直线。造成实际频谱造成实际频谱H()和理想频谱和理想频谱Hd()之之间差别的原因是：

35、实际的间差别的原因是：实际的h(n)只是理想的只是理想的hd(n)的一段。的一段。图图8.8数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science28（2）理想滤波器的相位为零）理想滤波器的相位为零在角频率的主值区间在角频率的主值区间-, )的理想频谱的理想频谱根据离散时间的傅里叶反变换根据离散时间的傅里叶反变换(3.81)，零相位的理想，零相位的理想低通模型低通模型(8.53)的单位脉冲响应的单位脉冲响应它的波形如图它的波形如图8.9左图所示，对称中心在左图所示，对称中心在n=0。为了得。为了得到有限长的因果线性相位滤波器到有限长的因果线性相位滤波器h(n)，)( 0)

36、( 1)(ccd其它H)5 . 3( )sin(121)(cdcc用欧拉公式nndenhnj(8.53)(8.54)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science29可以直接剪下可以直接剪下hd(n)的的n=-1010的最大数值部分，它的的最大数值部分，它的长度长度N=21点。点。减下的部分还要向右移动减下的部分还要向右移动a=(N-1)/2=10点，使它成为因果序列。点，使它成为因果序列。这个结果的数学表达式是这个结果的数学表达式是它就是按题目要求设计的低通滤波器。它就是按题目要求设计的低通滤波器。)10( )()10()10(2 . 0sin)(21是群延时其

37、中nRnnnh图图8.9(8.55)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science308.3.2 截断序列的后果截断序列的后果实际剪裁或截断序列时，为了保证实际剪裁或截断序列时，为了保证h(n)满足线性相位满足线性相位条件，是用一个对称的有限长序列条件，是用一个对称的有限长序列w(n)乘以被剪裁的乘以被剪裁的原始序列原始序列hd(n)，这个有限长序列，这个有限长序列w(n)叫做窗序列。不叫做窗序列。不同的窗函数对原始序列性能的影响是不同的。同的窗函数对原始序列性能的影响是不同的。常用的窗序列是矩形窗，它表达式是常用的窗序列是矩形窗，它表达式是汉宁窗的表达式是汉宁窗

38、的表达式是)( )(0) 10(1)()(rectangle是窗口长度其它NnNnnRnwN)( )()12cos(1 5 . 0)(Hanning是窗口长度NnRnNnwN(8.56)(8.57)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science31汉明窗的表达式是汉明窗的表达式是布莱克曼窗的表达式是布莱克曼窗的表达式是)( )()12cos(46. 054. 0)(Hamming是窗口长度NnRnNnwN)()14cos(08. 0)12cos(5 . 042. 0)(BlackmannRnNnNnwN图图8.10(8.58)(8.59)数字信号处理数字信号处理E

39、njoy ScienceEnjoy Science32用一个短序列代替一个长序列总是有失真的。用一个短序列代替一个长序列总是有失真的。观察加窗序列观察加窗序列h(n)=hd(n)w(n)的频谱的频谱H()时，可利用时，可利用离散时间傅里叶变换的频域卷积定理，离散时间傅里叶变换的频域卷积定理，该积分显示，窗函数的频谱该积分显示，窗函数的频谱W()对截取序列的频谱的对截取序列的频谱的质量有很大的影响。质量有很大的影响。例题例题8.4 已知截止频率已知截止频率c=0.2的理想低通滤波器的单的理想低通滤波器的单位脉冲响应是位脉冲响应是)( )()(21)()(21)(dd是积分变量WHdWHH)21(

40、 )()(sin)(cdNaanannh群延时(8.60)(8.61)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science33如果分别用矩形窗和汉明窗对如果分别用矩形窗和汉明窗对hd(n)加窗，获取长度加窗，获取长度N=21的因果线性相位低通滤波器，请分析这两种窗口的因果线性相位低通滤波器，请分析这两种窗口对我们设计的滤波器将带来什么频谱影响？对我们设计的滤波器将带来什么频谱影响？解解 已知窗口法设计的系统频谱已知窗口法设计的系统频谱H()正比于理想频谱正比于理想频谱Hd()和窗函数频谱和窗函数频谱W()的卷积，而且根据公式的卷积，而且根据公式(8.51)和和(8.50

41、)知道，理想低通滤波器的频谱是知道，理想低通滤波器的频谱是那么我们就可以分析这两种窗口对设计的滤波器带来那么我们就可以分析这两种窗口对设计的滤波器带来的频谱影响。的频谱影响。)21( )(0)()(ccdNaeHja群延时其它(8.62)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science34（1）矩形窗的影响）矩形窗的影响根据离散时间傅里叶变换，根据离散时间傅里叶变换，矩形窗序列矩形窗序列wrectangle(n)的的频谱是频谱是根据频域卷积定理，用矩形窗设计的滤波器频谱根据频域卷积定理，用矩形窗设计的滤波器频谱)21( )2/sin()2/sin()(8.56)(

42、)()(10rectanglerectangleNaeNeenwWjaNnnjnnj和等比级数运用cccc)(212/ )sin(2/)sin(21)()(21)(rectanglerectangleddAedNedWHHjaja(8.63)(8.64)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science35它的相位函数是线性的，它的相位函数是线性的，它的幅度函数它的幅度函数A()正比于正比于图图8.11数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science36矩形窗的幅度函数矩形窗的幅度函数Arectangle(-)在通带在通带-c, c上的上的

43、积分，积分，也就是矩形窗的幅度函数曲线在通带上的面积。也就是矩形窗的幅度函数曲线在通带上的面积。幅度函数图显示，幅度函数图显示，Arectangle(-)的波动通过积分会引的波动通过积分会引起加窗序列起加窗序列h(n)的幅度函数的幅度函数A()也产生波动。也产生波动。A()的过渡带宽度正比于的过渡带宽度正比于Arectangle(-)的主瓣宽度，的主瓣宽度，因为主瓣越宽，它移出积分边界因为主瓣越宽，它移出积分边界c需要的过程就越需要的过程就越长。长。（2）汉明窗的影响）汉明窗的影响为了容易理解，下面采用幅度函数直接进行分析。已为了容易理解，下面采用幅度函数直接进行分析。已知模型序列知模型序列h

44、d(n)的幅度函数的幅度函数)62. 8( )(0)(1)(ccd根据公式其它A(8.65)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science37参考偶对称序列的幅度函数参考偶对称序列的幅度函数(8.36)，汉明窗的幅度函，汉明窗的幅度函数数运用频域卷积定理运用频域卷积定理(8.60)，对模型序列，对模型序列hd(n)加汉明窗加汉明窗得到的序列得到的序列h(n)的幅度函数的幅度函数用计算机帮忙，计算这个幅度函数用计算机帮忙，计算这个幅度函数A()，以及理想模，以及理想模型型hd(n)和汉明窗和汉明窗wHamming(n)的频谱幅度，得到的频谱幅度，得到10Hammin

45、gHamming)(cos)()(NnannwAcc)(21)()(21)(HammingHammingddAdAAA(8.66)(8.67)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science38肥胖的汉明窗主瓣导致肥胖的汉明窗主瓣导致A()的过渡带比图的过渡带比图8.11的过渡的过渡带更宽。带更宽。图图8.12数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science398.4 在频域设计滤波器在频域设计滤波器对于频谱复杂的滤波器，从频域设计滤波器或许更直对于频谱复杂的滤波器，从频域设计滤波器或许更直接、更方便。接、更方便。8.4.1 设计单位脉冲

46、响应设计单位脉冲响应用频率采样法来设计滤波器的单位脉冲响应时，首先用频率采样法来设计滤波器的单位脉冲响应时，首先要在主值区间要在主值区间0, 2)对我们期望的频谱对我们期望的频谱Hd()等间隔采等间隔采样，采样频谱样，采样频谱然后，对然后，对H(k)作离散傅里叶逆变换，即作离散傅里叶逆变换，即)1 , , 1 , 0( | )()(2d是采样点数，NNkHkHkN) 1 , , 1 , 0( )(1)(102NnekHNnhNkknNj(8.77)(8.78)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science40这样就可以得到我们需要的有限脉冲响应滤波器。这这样就可以

47、得到我们需要的有限脉冲响应滤波器。这个滤波器的频谱个滤波器的频谱H()接近我们希望的频谱接近我们希望的频谱Hd()。频率采样定理指出：对频谱等间隔采样，如果采样点频率采样定理指出：对频谱等间隔采样，如果采样点数大于或等于这个被采样频谱的时域序列长度，则采数大于或等于这个被采样频谱的时域序列长度，则采样的频谱才能准确地恢复被采样频谱的序列。一般来样的频谱才能准确地恢复被采样频谱的序列。一般来说，说，Hd()的时域序列的时域序列hd(n)是很长的，为了降低成本，是很长的，为了降低成本，实际设计的序列实际设计的序列h(n)不能取得太长；也就是说，采样不能取得太长；也就是说，采样点数点数N可以是个较小

48、的数，这就是导致可以是个较小的数，这就是导致H()近似等于近似等于Hd()的原因。的原因。合理选择合理选择N的数值是降低计算成本和满足技术指标的的数值是降低计算成本和满足技术指标的关键。判断滤波器长度关键。判断滤波器长度N的方法是的方法是过渡带的采样点数由设计者根据具体情况来确定。过渡带的采样点数由设计者根据具体情况来确定。)( 2是过渡带的采样点数kkN(8.79)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science41例题例题8.7 请你利用频率采样法，设计一个线性相位的请你利用频率采样法，设计一个线性相位的数字高通滤波器的单位脉冲响应。这个滤波器在主值数字高通滤波

49、器的单位脉冲响应。这个滤波器在主值区间区间0, 2)的理想频率特性是的理想频率特性是工程上要求滤波器的过渡带工程上要求滤波器的过渡带=0.06，过渡带的采样，过渡带的采样点数点数k=1。解解 首先根据公式首先根据公式(8.79)和和k=1，求滤波器的长度，求滤波器的长度)( 0)5 . 15 . 0( )(d其它jaeH)34( 33.33106. 02数应该取大于它的最小整N(8.80)(8.81)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science42已知理想频谱已知理想频谱(8.80)是第一类线性相位的，根据幅度是第一类线性相位的，根据幅度函数的表函数的表8.1，

50、如果第一类线性相位的，如果第一类线性相位的N是偶数，则幅是偶数，则幅度函数在度函数在=处有零点；而高通滤波器不允许在处有零点；而高通滤波器不允许在=处有零点，所以，取处有零点，所以，取N=35才是正确的。才是正确的。接下来按照公式接下来按照公式(8.77)的方式对理想频谱的方式对理想频谱Hd()进行采进行采样，即样，即然后再按照离散傅里叶逆变换然后再按照离散傅里叶逆变换(4.69)或公式或公式(8.78)计算计算H(k)的时域序列，得到的时域序列，得到)1721( )25 . 13427( 0)5 . 15 . 0269( )5 . 0080( 0)(2NakkekkHkNja内采样，在内采样

51、，在内采样，在(8.82)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science43这就是高通滤波器的时域表达式。参照这就是高通滤波器的时域表达式。参照DTFT的公式的公式(3.80)进行计算，得进行计算，得h(n)的幅度谱的幅度谱|H()|，)( )()17(35sin35)17(3518sin) 1()5 . 3(340( )(351)(35)1(340352剩下的工作交给计算机公式，利用等比级数和欧拉nRnnnekHnhnkknj(8.83)图图8.18数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science44幅度谱幅度谱|H()|在采样点在采

52、样点=2k/N处的数值处的数值H(k)与期望与期望的频谱的频谱Hd()相吻合，但在采样点之间却不相同，表相吻合，但在采样点之间却不相同，表现为波动。现为波动。如果要求设计的频谱复杂，不是分段常数的，采样频如果要求设计的频谱复杂，不是分段常数的，采样频谱谱H(k)的时间序列的时间序列h(n)可能就没有简单的表达式。怎可能就没有简单的表达式。怎么办呢？用计算机计算是个好办法，只要按照离散傅么办呢？用计算机计算是个好办法，只要按照离散傅里叶逆变换来计算里叶逆变换来计算h(n)的值就可以了，因为真实的数的值就可以了，因为真实的数字滤波器需要的只是字滤波器需要的只是h(n)的具体数字。的具体数字。频率采

53、样法得到的频率采样法得到的H()在采样点与期望的频率响应在采样点与期望的频率响应Hd()是吻合的，但是无法保证采样点是吻合的，但是无法保证采样点=2k/N之间之间的的H()和和Hd()相同。如何妥善地解决这个问题呢？相同。如何妥善地解决这个问题呢？增加采样数量增加采样数量N是个办法，减缓过渡带的变化也是一是个办法，减缓过渡带的变化也是一个办法。个办法。数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science458.4.2 设计系统函数设计系统函数用频率采样法来设计滤波器的系统函数，就是用频域用频率采样法来设计滤波器的系统函数，就是用频域采样值采样值H(k)来表示系统函数来表

54、示系统函数H(z)。为了达到这个目的，为了达到这个目的，让我们对让我们对N点长的脉冲响应点长的脉冲响应(8.78)求求z变换，即变换，即它就是用频率采样法直接得到的滤波器的系统函数。它就是用频率采样法直接得到的滤波器的系统函数。该法的优点是：如果我们希望调整滤波器的局部频率该法的优点是：如果我们希望调整滤波器的局部频率响应形状，只要修改公式响应形状，只要修改公式(8.84)中相应的中相应的H(k)参数就可参数就可以了。以了。10121010101021)(1)( )(1)( )(1)(NkkNNNjNNkNnnknNNnnNkknNjzWkHNzeWzWkHNzekHNzH和等比级数运用交换累

55、加符号的次序(8.84)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science46观察公式观察公式(8.84)你会发现，并联子系统的极点你会发现，并联子系统的极点WN-k都都在单位圆上，可能会造成系统不稳定。在单位圆上，可能会造成系统不稳定。为了保证系统的稳定，可将单位圆上的零点半径和极为了保证系统的稳定，可将单位圆上的零点半径和极点半径都缩短一些，即点半径都缩短一些，即还有一个实际问题需要考虑：系数还有一个实际问题需要考虑：系数H(k)和和WN-k一般是一般是复数，它们会增加数字系统处理信号的计算量，必须复数，它们会增加数字系统处理信号的计算量，必须想办法将它们转换为实

56、数。运用分式的共轭对称性可想办法将它们转换为实数。运用分式的共轭对称性可以解决这个问题。以解决这个问题。) 1( 1)(1)(101rzrWkHNzrzHNkkNNN半径(8.85)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science47例题例题8.8 海豚使用频率在海豚使用频率在200350千赫的超声波进行回千赫的超声波进行回音定位。侦察这种声音信号时需要窄带数字带通滤波音定位。侦察这种声音信号时需要窄带数字带通滤波器。假设该滤波器的长度器。假设该滤波器的长度N=32，通带，通带=0.450.5；请你用频率采样法来设计该滤波器的系统函数，要求请你用频率采样法来设计该滤

57、波器的系统函数，要求它是第二类线性相位，并且半径它是第二类线性相位，并且半径r=0.999。解解 首先按照离散频率首先按照离散频率k=2k/N，k=0N-1，选择通带，选择通带在在0, )的采样点的采样点k=7和和8，它们在，它们在, 2)的对称点是的对称点是k=25和和24。这个第二类线性相位的理想滤波器的频谱。这个第二类线性相位的理想滤波器的频谱样本样本)( 0)2/ ) 1(25 24, , 8 , 7( )()22(kNakekHkNaj其它，群延时(8.86)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science48然 后 ， 运 用 实 序 列然 后 ， 运

58、用 实 序 列 h ( n ) 的 频 谱 样 本 对 称 性 质的 频 谱 样 本 对 称 性 质H(k)=H*(-k)N=H*(N-k)N和旋转因子的周期性和旋转因子的周期性WN-k=WNN-k，准备该系统函数的并联子系统，即，准备该系统函数的并联子系统，即最后，综合已知条件和公式最后，综合已知条件和公式(8.85)(8.87)，写出该滤波，写出该滤波器的系统函数器的系统函数)82cos(21)8(Re)8(Re)72cos(21)7(Re)7(Re21)7(*1)8(*1)8(1)7(1)(2211822117171818173101zrzNrzWHrHzrzNrzWHrHzrWHzrW

59、HzrWHzrWHzrWkHNNNNNNkkN)998. 01706. 0707. 0998. 039. 01634. 0634. 0(16968. 01)(2121132zzzzzzzH(8.87)(8.88)数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science49它的频谱如图它的频谱如图8.21所示，在通带所示，在通带=0.450.5的幅值的幅值波动小于波动小于3分贝，并且相位是线性的；分贝，并且相位是线性的；图图8.21数字信号处理数字信号处理Enjoy ScienceEnjoy Science508.5 最优化设计最优化设计常用的优化准则有两种：一种是最小均方误

60、差准则，常用的优化准则有两种：一种是最小均方误差准则，它强调希望的频谱它强调希望的频谱Hd()和设计的频谱和设计的频谱H()之间的误之间的误差的均方值达到最小；另一种是最小化最大误差准则，差的均方值达到最小；另一种是最小化最大误差准则，它强调它强调Hd()和和H()之间的误差的最大值变为最小。之间的误差的最大值变为最小。最小均方误差准则的典型应用是窗口设计法。窗口设最小均方误差准则的典型应用是窗口设计法。窗口设计法的做法是用窗序列截取一段希望的滤波器序列计法的做法是用窗序列截取一段希望的滤波器序列hd(n)作为实际的滤波器序列作为实际的滤波器序列h(n)，两者之间在整个时，两者之间在整个时域的