(完整word版)2019届高考数学专题二十几何概型总结练习题及答案

1、专题二十几何概型141.长度类几何概型例1：已知函数f x x2 X 2 , x5,5 ,在定义域内任取一点X0,使f刈0的概率是（）A.110B.C.10D.1x2,【解析】先解出f X0。时X0的取值范围：X2 x 2 0从而在数轴上 1,2区间长度占5,5区间长度的比例即为事件发生的概率,2 .面积类几何概型（1）图形类几何概型例2-1：如图所示，在矩形ABCD中，AB 2a, AD a,图中阴影部分是以AB为直 径的半圆，现在向矩形ABCD内随机撒4000粒豆子（豆子的大小忽略不计），根据 你所学的概率统计知识，下列四个选项中最有可能落在阴影部分内的豆子数目是A. 1000B. 200

2、0C. 3000D. 4000【答案】C【解析】在矩形ABCD中，AB 2a, AD a,面积为2a2 ,半圆的面积为；a2 , 故由几何概型可知，半圆所占比例为 7,随机撒4000粒豆子，落在阴影部分内的豆子数目大约为3000,故选C.（2）线性规划类几何概型例2-2:甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率（A.B.C.D.716【解析】设甲船到达的时间为x,乙船到达的时间为y,则所有基本事件构成的区域n满足0x 24y 24 '这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域A满足

3、0 x 240 y 24, X y| 6作出对应的平面区域如图所示:隼加HiA时可这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率为包1 3S 24 24176,故选D.（3）利用积分求面积例2-3：如图，圆O：x2 y2 2内的正弦曲线y sinx与x轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆。内投一个点A ,则点A落在区域M内的概率是（）B. -4C.鸟【答案】B【解析】构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为3,正弦曲线y sinx与x轴围成的区域记为M,根据图形的对称性得：面积为S 2sinxdx 2c0sx0由几何概率的计算公式可得，随机往圆 。内投一个点A,则点A落在区域M内的概率P

4、 3 ,故选B.3 .体积类几何概型例3： 一个多面体的直观图和三视图所示，M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF BCE内自由飞翔，由它飞入几何体F AMCD内的概率为（）A.23B.C.D.12【解析】所求概率为棱锥F AMCD的体积与棱柱ADF BCE体积的比值.由三视图可得 AD DF CD a ,且 AD , DF , CD两两垂直,可得 VadfbceSadf DC 1AD DF DC 1a3 ,22，1棱锥体积Vf AMCD -DF3-1Sadmc .而' Sadcm AD AM，2CD1 2VF AMCD1 VF AMCD -a .从而 P V 2 .故选 D.4 VA

5、DF BCE2、单选题1.如图，边长为2的正方形中有一阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为则阴影区域的面积约为（ 3D.无法计算【解析】设阴影区域的面积为故选C.3午到达景区入口,A 1102 .某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上 准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为（D- 6【解析】由题意，此人在50分到整点之间的10分钟内到达，等待时间不多于10分钟，概率P 10 1.故选B. 60 63 . 一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为(B.C._36D.【解析】满足条件的正

6、三角形如图所示:其中正三角形ABC的面积S三角形 乎16 4志4满足到正三角形ABC的顶点A , B, C的距离都小于2的平面区域如图中阴影部分所示，则S月2 ,则使取到的点到三个顶点A, B, C的距离都大于2的概率为：P 1 & 1 哈 故选 A4 .在区间0,1上随机取两个数x, y,记P为事件"x y ；"的概率，则P ()3A. 2B. 1C. 4D.:3299【答案】D【解析】如图所示，0 X 1, 0 y 1表示的平面区域为ABCD,222平面区域内满足x y 9的部分为阴影部分的区域APQ,其中P -,0 5 Q 0,-,3331 2 2结合几何概型

7、计算公式可得满足题意的概率值为D 2 3 3 2 ,故选D.p95.在区间0，2上随机取一个数,A. 1B. 23【答案】Asin 丁的值介于0到之间的概率为（C.D.【解析】由0 sin x 1，得0 x 或上 一x .0 x 。或x 2 2226，62'33'1 、记A sin2x的值介于0到2N间，则构成事件A的区域长度为1 0 2 5 2;全部结果的区域0,2长度为2；33 32P A 1 1,故选 A.236 .点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA 1的概率为A.B.C.D.无【解析】满足条件的正方形ABCD,如图所示:其中满足动点P到定

8、点A的距离|PA 1的平面区域如图中阴影部分所示,则正方形的面积S正1,阴影部分的面积S月1 .故动点P到定点A的距离|PA 1的概率P等故选C. S正 427 .如图所示，在椭圆Xp y2 1内任取一个点P,则P恰好取自椭圆的两个端点连线与椭圆围成阴影部分的概率为（）b4 4【解析】先求椭圆面积的141 2 ,244 V4 x dx2。，Q 2S椭圆401 x2dx182，由二C.1知y1%D.V4 X7 与 x 0 , x2围成的面积，即圆2 4 x2dx0SOT412:晨-4 x dx 一22，o 0JSffi 圆2 ,概率P1, 2故选A.8 .如图，若在矩形OABC中随机撒一粒豆子，

9、则豆子落在图中阴影部分的概率为2_2_2_2A.12B.2C.:D.1 ：【答案】A【解析】S巨形1,又sindxc0sx 0cos cos0 2 , /. S阴影2 ,0豆子落在图中阴影部分的概率为 二 1 2 .故选A.9 .把不超过实数x的最大整数记为x ,则函数f x x称作取整函数，又叫高斯函数，在1,4上任取X,则x户的概率为（A 1 4【答案】b3D.【解析】1,2时，则2x当 x 2,3时,2,76 ,贝ij在当 x 3,4时,2x2不满足x当x 4时，x 4 , “饭2应，则后 2,不满足x 底.综上，满足x 历的x 1,3，则x 后的概率为方号, 故选D.10 .关于圆周率

10、，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学每人随机写下一个x, y都小于1的正实数对x,y ,再统计其中叽F能与1构成钝角三角形三边的数对x,y的个数m,最后根据统计个数m估计 的值.如果统计结果是m 34,那么可以估计的值为（）A. 22B.4715C.5116D.53170x1【解析】 由题意，120对都小于1的正实数x，y ,满足° y 1,面积为1,两个数能与1构成钝角三角形的三边的数对 x,y ,满足x2 y2 1且0 ；,面积为；1,x.y的个数为m 34,统计两数能与1构成钝角三

11、角形三边的数对 则葛4：二47,故选B.11.为了节省材料，某市下水道井盖的形状如图 1所示，其外围是由以正三角形 的顶点为圆心，正三角形的边长为半径的三段圆弧组成的曲边三角形，这个曲边三角形称作“菜洛三角形”.现有一颗质量均匀的弹珠落在如图2所示的莱洛三角形内，则弹珠恰好落在三角形ABC内的概率为（）【答案】A 1弓【解析】弹珠落在莱洛三角形内的每一个位置是等可能的，由几何概型的概率计算公式可知所求概率：1 2oS»A ABC2 sin 602 3QiLiuiLuur 0A ABC1 212o 12o 22 33222 sin60 2 sin 6022 32 322（Suus为莱洛

12、三角形的面积），故选A.12 .下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成, 三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC的斜边BC ,直角边AB , AC . AABC的三边III .在整个图形中随机所围成的区域记为I,黑色部分记为II ,其余部分记为取一点，此点取自I, II ,III的概率分别记为*P3,则（A.RP2B.PiP3【解析】设AC b , AB c ,BC从而可以求得ABC的面积为黑色部分的面积为C. P2 P3a ,则有b2 * 4 c2SiAc，21 bc2D.PiP2P31 bc22bc,其余部分的面积为S3Ibc 21bc 2S2,根据面积型几何概

13、型的概率公式，可以得到P1 P2,故选A.二、填空题13 .在区间0,2内任取一个实数a,则使函数f x log 2a 1 X在0，上为减函数的概率是:【解析】:函数f x 10g 22尸在0， 上为减函数，1 1 1/. 0 2a 1 1- a 1 ,因此所求概率为1 .2 2 0 414.记集合A x,y x2 y2 16 ,集合B x, y x y 4 0, x, y A表示的平面区域分别为1,2 .若在区域1内任取一点Px,y,则点P落在区域2中的概率为【答案】 4【解析】画出A x,y|x2 y2 16表示的区域1,即图中以原点为圆心，半径为 2的圆；集合B xy|x y 4 0,

14、x, y A表示的区域2,即图中的阴影部分.31S由题意可得 S1 16 , S2 4 162 4 4 128,根据几何概型概率公式可得所求概率为 15 .如图，曲线y sinj 3把边长为4的正方形OABC分成黑色部分和白色部分.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 口4一 .，一 ，一、 一 一 一,、一_.x24【解析】由题息可知，阴影部分的面积S14 sinv3 dx x -cos3x 04,022正方形的面积：$ 4 4 16, S41由几何概型计算公式可知此点取自黑色部分的概率：P怖 /4.S216 416.父亲节小明给爸爸从网上购买了一双运动鞋，就在父亲节的当天，快递公司 给小明打电话话说鞋子已经到达快递公司了，马上可以送到小明家，到达时间为 晚上6点到7点之间，小明的爸爸晚上5点下班之后需要坐公共汽车回家，到家 的时间在晚上5点半到6点半之间.求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率（快递员把鞋子送到小明家的时候，会把鞋子放在小明家门口的“丰巢”中）为【答案】1 8【解析】设爸爸到家时间为x，快递员到达时间为y,以横坐标表示爸爸到家时间，以纵坐标表示快递送达时间，建立平面直角