立几概念和空间点

1、立几概念和空间点、线、面位置关系一、平面的基本性质1、公理1：如果一条直线上有两个不同的点在一平面上，那么这条直线上所有点都在这个平面上.2、公理2：如果两个不同的平面有一个公共点，那么这两个平面的公共部分是过这点的一条直线.3、确定一个平面的条件有四种：公理3：不在同一直线上的三个点确定一个平面；推论1：一条直线和直线外的一点确定一个平面；推论2：两条相交直线确定一个平面；推论3：两条平行直线确定一个平面.二、线线关系1、平行、相交或异面的分类：（1）以公共点的个数为标准分类：有一个公共点相交，没有公共点平行或异面；（2）以平行为标准分类：平行，不平行相交或异面；（3）以所在的平面为标准分类

2、：共面相交或平行，异面.2、异面直线：（1）定义：不能置于同一平面的两条直线叫做异面直线.（2）特点：既不平行，也不相交.（3）画法：（4）证法：一般采用反证法.（5）异面直线所成的角：定义：对于异面直线和，在空间任取一点，过分别作和的平行线和，我们把和所成的锐角或直角叫做异面直线和所成的角.该角的范围为.（6）求法：构造：用平移法或补形法作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角或补角就是要求的角；计算：利用解三角形求角；（7）两条异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直且相交的直线叫做两条异面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线，有且只有一条。 （8）异面直线的距离的：两条异面直线的公垂线在这两

3、条异面直线间的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段;公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离。三、线面关系1、直线与平面平行：（1）定义：直线与平面没有交点，叫做直线与平面平行.（2）直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.（线线线面）（3）直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交于一条交线，则这条直线与交线平行.（线面线线）（4）直线到平面的距离：如果直线和平面平行，在直线上任取一点，把点到平面的距离叫直线到平面的距离.2、直线与平面垂直：（1）定义：如果一条直线与平面上任意一条直线都垂直，那么称直线

4、与平面垂直，记.（2）判定定理：如果直线与平面上的两条相交直线都垂直，那么直线与平面上的所有直线都垂直，即这条直线与这个平面垂直, .（线线线面）（3）性质：直线垂直平面内所有直线；经过直线的平面和平面垂直3、直线与平面所成的角：（1）设直线与平面斜交于点，过上任意点作平面的垂线，垂足为，我们把点叫做点在平面上的射影，直线则叫做直线在平面上的射影，并规定直线与其在平面的射影所成的锐角叫做直线和平面所成的角.（2）当直线与平面垂直时，这条直线与平面所成的角为；当直线平行于平面时，直线与平面所成的角为.因此，直线与平面所成的角的范围是.四、面面关系1、面面平行（1）定义：两个平面没有一个交点，称这

5、两个平面平行.（2）判定：如果一个平面内有两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行.（3）性质：如果两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面.2、面面垂直（1）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.（2）判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（3）性质：如果两个平面垂直，那么在其中一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.3、二面角的度量二面角的平面角（1）二面角定义：当两个平面相交时，它们的交线将各平面分割成两个半平面，由两个半平面及交线所组成的空间图形叫做二面角，记作.交线叫做二面角的棱，两

6、个半平面叫做二面角的面（2）在二面角的棱上任取一点，过分别在面和内作棱的垂线所成的角叫做二面角的平面角（如图）.用平面角的大小来表示二面角的大小. 范围：二面角的大小的范围计算：作出二面角的平面角，在三角形里计算值.通常作法有：A、定义法：从二面角的棱上一点分别在两个半平面内作垂直于棱的两条射线.（在二面角的棱上选取点时要注意和已知条件的沟通）B、垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角；C、已知其中一平面的一条垂线PO，P点在另一个平面内，过P点作两个平面交线的垂线交于B点，联结BO，则PBO即为要找的二面角或补角。这是找二面角的一个重要且

7、实用的方法；D、公式法：利用求二面角的射影公式（即面积射影法），S是二面角的一个面内图形F的面积，是图形F在二面角的另一个面内的射影，是二面角的大小；E、向量法：在空间向量中作详细描述.五、例题分析例1、分别在两个平面内的两条直线的位置关系是（ ） A异面 B平行 C相交 D以上都有可能答案：D例2、下列命题中不正确的是 （ ） 没有公共点的两条直线是异面直线； 分别和两条异面直线都相交的两直线异面； 一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行； 一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面解析：没有公共点的两直线平行或异面,故错；错,此时两直线有可能相交；命题正确

8、，因为若直线a和b异面，ca,则c与b不可能平行，反证法证明如下：若cb,又ca,则ab，这与a,b异面矛盾，故c不平行b;命题也正确，若c与两异面直线a,b都相交，由公理3可知，a,c可能确定一个平面,b,c也可确定一个平面，这样,a,b,c共确定两个平面答案：例3、若P是两条异面直线l、m外的任意一点,则 ( ) A.过点P有且仅有一条直线与l、m都平行 B.过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直 C.过点P有且仅有一条直线与l、m都相交 D.过点P有且仅有一条直线与l、m都异面 解析：对于选项A，若过点P有直线n与l,m都平行，则lm，这与l,m异面矛盾； 对于选项B，过点P与l、m都垂直

9、的直线，即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线；对于选项C，过点P与l、m都相交的直线有一条或0条；对于选项D，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条.答案：B例4、与都垂直，则的关系是 （ ） A、平行 B、相交 C、异面 D、平行、相交、异面都有可能答案：D例5、异面直线与成30°，则与成角范围是（ ） A、60°，90° B、30°，90° C、60°，120° D、30°，120°答案：A例6、（08上海高考）给定空间中的直线l及平面.条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直

10、”的答（C）（A）充要条件.（B）充分大必要条件.（C）必要非充分条件.（D）既非充分又非必要条件.例7、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 36例8、若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 答（ A ）（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件例9、正方体中，分别是的中点，则与所成的角的余弦值是（ ） A、 B、 C、 D、解答：设正方体边长为，则，选C例10、在正ABC中，ADBC于D，沿A

11、D折成二面角BADC后，BC=AB，这时二面角BADC大小为（ ）A、600 B、900 C、450 D、1200答案：即的大小选A例11、(09上海高考)如图，若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2， 高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是_ (结果用反三角函数值表示). 答案：例12、(09上海高考)如图，在直三棱柱中，,求二面角的大小。 解 如图，建立空间直角坐标系。 则 A，C，A1， B1，C1， 设AC的中点为M，BMAC，BMCC1， BM平面AC1C，即=是平面 AC1C的一个法向量。 设平面A1B1C的一个法向量是=， =，=， =0，=，解得。=， 设法向量与的夹角为，二面角。 例13、如图，在棱长为2的正方体ABC-A1B1C1D1中，E是BC1的中点.求直线DE平平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.AEB1D1DC1A1BC答案：arctan;例14、（07上海高考）如图，在体积为1的直三棱柱中，求直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）答案：例15、已知直四棱柱中，底面是直角梯形，为直角，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）解解法一由题意AB/CD，是异面直线BC