《向量》复习

1、（一）向量有关概念:三、向量复习向量的定义（大小和方向）、区分共线向量（平行向量）、相等向量、相反向量，特殊的两个向量：零向量和单位向量， 注意向量的平行不具有传递性，零向量与任一向量是共线的；不可以说零向量与任一向量方向相同或相反或垂直，因为零向量的方向是任意的！1、（提纲12月9日例1）判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由(1)若| a|>| b |,则a>b；（2）单位向量都相等;(3)右 | a|=0,则 a=0；方向不相同的两个向量一定不平行；（5）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同;(6)若a与b不平行，则a与b都是非零向量；（7）任一向量与它的相反向量不相等

2、;若两个向量不相等，则他们一定不共线;uuu uuu（9）向量AB与CD是共线向量，则A、B、Cuur uuurD四点必在一直线上；（10）四边形ABC比平行四边形一定有 AB DC ;(11)若 a= b,则一定有 | a|=| b| ,且 a与 b 方向相同；(12)若| a|=| b | ,且 a / b,则 a = b；(13)若 a / b, b / c,贝U a / c;(14)若 a= b, b= c,贝U a= c;2、（限12月9日23）如图，在5X4的矩形（每个小方格都是单位 uur正方形）中，则起点和终点在小方格的顶点处的向量与AB平行,且模为J2的向量个数为 r r,r

3、 r3、下列命题：（1）若a b ,则a b ; （2）若两个向量相等则它们的起点相同，终点相同；（3）错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。平行，a与b的 uuu uuir方向相同或相反；（4）若AB DC ,则ABCD是平行四边形；（5）若ABCD是平行四边形，iuuiruuur 4 rr rrirr 4r r r r J r贝 U ABDC; （6）若 ab,bc ,贝U ac ; （6）若ab,b c ,则 a/c;其中正确的是 （二）向量的几何运算 向量的加法：三角形法则（首尾相连，首尾连）和平行四边形法则（共起点，对角线）三角形法则适用于作任意两个向量的和向量，而平行四边形法则

4、只适用于不共线的两个向量作和向量；注重加法的连贯性， 以及相等向量的相互替换，还要注意其几何意义的应用即在特殊图形（平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形）中的应用 4、（提纲12月10日学习：辨别正误）（1）如果非零向量a与b共线，那么a+b的方向必与a, b之一的方向相同.（2） ABC43,必有 AB+B>CA= 0.若A抖BOCA= 0,则A, B, C为一个三角形的三个顶点.（4）若a, b均为非零向量，则|a+b|与|a|十|b|一定相等.（5） （A抖 MB + （B8 BC+OM=AC（6）若向量a与b方向相反，且|a|<| b| ,则向量a+b与a的方向相同5、

5、在平行四边形 ABCDfr,下列式子: Ab=AB+B>CD Ab=SC>CA其中不正确的个数是 （） A .1 B.2 C .4 D .66、下列命题：如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么 a+b的方向必与a、b之一的方向相同；匕 ABC中，必有AB+B>CA= 0；若。B>CA= 0,则A、B C为一个三角形的三个顶点；若7、(限 12 月 10 uuuA. BC8、（限 12 月 10a、b均为非零向量，则1)日6)A.与向量a方向相同C.与向量b方向相同| a+ b|与| a| 十 | b| 一定相等.其中真命题的个数为D. 3向量(AB +MB )AB已知

6、向量+ ( BO + BC ) +OM化简后等于(AC D . AMa/b,且|a|>| b|>0 ,则向量a+b的方向（.与向量a方向相反.与向量b方向相反9、（限12月10日11）如图，在平行四边形 ABCW, O是对角线的交点，下列结论正确的是（）A.AB=CD BC=AD B. AN OD-DAc. AaOt> Ac>Cd d. AB+bC>Cd-Da uuruuir10、(限12月10日19)如图，在正六边形 ABCDEF, AB = a, AF = b,uuin用a、b表示AE .).D为BC边的中点，且2OAF O拼OC=0,那么（).A.AO OD

7、B.AO 2OD C.AO- 3ODD .2AO OD12、(限12月 uuu uuuA. PA PB10 r 0日15)设P是 ABC所在平面内的一点，uur uuu ruur uuurB. PC PA 0 C. PB PCuuurBC r 0 D.uuu BA uuu PAuuu2BP ,则 uuu uumPB PC( )r011、（PM 12月10日14）已知O是 ABC所在平面内一点,uuuruuiruuuruuuruumuuuu uuu13、（提纲12月11日例1）化简：（1）ABCDACBD(2) ADBM CB向量的减法：三角形法则（共起点，连终点，指被减）14、平行四边形uur

8、ABCD 中，AB a,uuuADuuur uuinb ,用a、b表示向量AC, DB .（1） 当a, b满足什么条件时，a+b, a- b互相垂直?(2)(3)当a, b满足什么条件时，| a+b|=| a- b|?24、（提纲 12月15日）已知uu OuuuOB_ uuu uuuJ3 , OA OB ,点C在线段 AB上，且a+b,a-b有可能是相等的向量吗？为什么？15、化简：uurr uuir(AB CD)uurr uur uuuAB BC CDuuur uur(AC BD) uuu uuu uuur ； AB AD DCAOC30uuur，设OCuuu mOAuuunOB m,n

9、，则U的值为（）n16、（限12月11日9）下列命题中，真命题的个数为（其中aw0, bw0）（A.13_33| a| +1 b| = | a+ b| ? a与b方向相同| a| + | b| = | a b| ? a与b方向相反|a+b|=|a b|? a与b有相等的模|a| |b| = |a b|? a与b方向相同25、（第三次调研考试 20）如下图所示，四边形A. 017、(限 12 月 11 日 16)B. 1C. 2D. 3为 AG BD的交点，AD=4, BC=6 AB=2, 设与18、(限 12 月 11 日 14)19、若D为ABC的边 uur若 | a| = | b| = |

10、 a+b | =1,则 | a b | =点O是4ABC内一点，若OA OB OC 0,则O是三角形的uuuBC的中点，ABC所在平面内有一点 P,满足PAuuu uur心.rBP CP 0 ,设喷口 ，则的值为.|PD|（三）向量的线性运算：向量的加法、减法、数乘运算称为向量的线性运算，运算的结果还是向量；注意向量共线定理的应用，找到向量的数量关系是做题的关键，特别是用已知向量表示未知向量时，一定要往已知向量上靠拢， 利用加法和减法进行向量的分解与合成, 些关键性的语言，比如中点，三等分点，中位线，还有特殊的图形：平行四边形、菱形、 等。还有可能涉及到给出的向量式子相对繁杂，那么要先化简，进

11、行移项合并，量的几何意义，数形结合做题。注意到一矩形然后再利用向为a ,与BA同向的单位向量为 b ,以a , b为基底表示下列向量:26、已知 ABC中，点.uuu uuu27、已知AD,BE分别是表不为CD , OA .D在BC边上，且CD 2DB, CDuuuABC的边BC, AC上的中线，且ADr ABr uuua, BE28、在ABC43, AB= c, AC= b,若点 D满足BD= 2DC 则AD=(A.|b+cB.5c-"|bC.|b-1c333333uuu uuur三点共线的结论：要证三点A、B、C共线只需证AB、BC共线20、（提纲12月20日例2）在平行四边形

12、ABC珅，AC与BD交于点Q,且有公共点BEuuuuuur是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AB = a, AD = b,利用a, b表示向量AF （提示：利用相似找出相似比）21、（提纲12月20日变式1）设 M是 ABC的重心,则 AM=(AC- ABA.-2AB+ ACAC- ABB. -；C. -； D.23AB+ AC3-22、（提纲12月20日变式2）在平行四边形 ABCD43,AB=则M N=23、(提纲12月13日例1)如图，以向量OA= . .7 1 1 7.平行四边形 OADB BM=-BC； CN=;CD 用 a, 3329、已知 ABC和点 M满足MAFM

13、BbMC= 0,若存在实数=.（注意到重心的表示形式以及重心结论的应用）ABC同向的单位向量ABCD一个才!形，OsAC ,则r s的值ruuurb ,则BC可用向量a,bD. 3b+3cm,使得AB+AC= mA城立，则 m30、在 ABC所在的平面上有一点 P,满足撼幅电AB,则 PBC与 ABC的面积之比是 .（化繁为简，利用图形的相似比做题）（四）向量基本定理和夹角问题：基底要求不共线。关注向量的夹角是共起点的角才是夹角，注意其范围是 0,不要在求出角后给其加周期！在计算向量数量积时要特别关注夹角问题。31、（提纲12月15日例1）设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量: e

14、与 e + e2； 0 与 e 1 1 2e2； e1 2e2 与 4e2 2e1 ； e1 + e 与 e1 e2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的序号是32、（第三次调研考试15）设O是平行四边形 ABCDW对角线的交点，下列向量组：AD与AB;DA与BC ；CA与DC ；OD与OB ,其中可以作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底的是33、（第三次调研考试17）如图，平面内有三个向量 错误！未找到引用源。、错误！未找到引用 源。、错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。的夹角为120。， 错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。 的夹角为3

15、0。，且|错误！未找到引用源。|=|错误！未找到引用源。|=1, |错误！未找到引用源。| =错误！未找到引用源。，若错误！未找 到引用源。=入错误！未找到引用源。+（1错误！未找到引用源。（入，（1CR）,则入+（!的值为 34、（第三次调研考试 16）己知| a |= 1,| b |= 2, a与b的夹角为120, a+b+c=0,则a与c 的夹角为.35、已知 |a|=1,| b|=2, c=a+b, c a,贝U a 与 b 的夹角大小为（ ）A 30o B. 150o C. 60o D. 120o36、设非零向量 a、b满足| a| 二| b| =| a+b|,则向量a与a+b的夹角

16、为, a与a-b的夹角 为, a与b-a的夹角为;（五）向量的坐标表示及运算：向量是一个几何图形，把它坐标化之后就让数和形相结合了，注意向量的坐标书写形式与点的坐标书写的不同，以及向量的坐标是终点坐标减起点坐标.37、（提纲12月17日例3）已知A （-2 , 1）, B （1, 3）,点M P, Q分别是有向线段 AB的中1 点和二等分点，且 AP PB,求点M P, Q的坐标。238、（第三次调研考试）设点P是线段P1P2上的一点，P,P2的坐标分别是（1,22）, （8, 2）.当点P是线段PP2的一个四等分点时,39、若 a (1,1)b (1, 1),c ( 1,2),求点r则c _

17、uuuP的坐标.40、已知点 A(2,3), B(5,4) , C(7,10),若 APuuuABuiurAC(时，点P在1第一、三象限的角平分线上12uHT41、设 A（2,3）, B（ 1,5）,且 AC1 uuu uuu2 AB, AD（六）向量共线的坐标表不3r ra/buuu3AB ,D的坐标分别是42、（提纲12月12日例2）设非零a、求证A B、D三点共线；b是不共线,r r 2 (a b)2uuu设ABr r 2(|a|b|)2uuua+b, BCxy2y1x2=0。uuir2a+8b, CD3(a-b),43、（提纲12月17日例1）给定两个向量a= （1,2） , b= （

18、 ,1）,若a +2b与2a-2b共线, 求的值.uuuuuu uur44、（提纲12月20日例2）设向量OA （k,12）, OB （4,5）, OC （10,k）,求当k为何值时， A,B,C三点共线.r.r一 r45、（提纲12月20日例3）平面内给定二个向量a3,2,b1,2 ,c4,1 ,回答下列r.r rr r rr .问题：（1）求满足ambnc的头数mn； （2）右 akc/ 2ba，求k。46、（提纲12月20日例5）设。为 ABC内任一点，且满足 OM 2O拼3OG= 0.若D, E分别是BC, CA的中点，求证：D, E, O共线；r rr r47、若向量a （x,1）,

19、b （4, x）,当*=时a与b共线且方向相同.r r（七）平面向量的数量积：定义式： a ? b = a b cos ,关注向量的夹角！规定：零向量与任一向量的数量积是 0。注意数量积是一个实数， 不再是一个向量；数量积可以用来求夹角， r rr r也可以判断三角形的形状，若a b 0说明夹角为锐角；若 a b 0则 为钝角；若r r-ra b 0则 为直角；注意投影的概念也是一个难点，例如b在a上的投影为|b| cos ，它是一个实数，但不一定大于0;数量积的一个重要应用就是垂直关系的获得，三角形垂心的结论就是利用数量积得出来的，只要出现数量积我们就应当留心，对式子进行化简移项处理，合并之

20、后通常利用几何意义判断图形的特殊性，特别关注等腰或等边三角形、直角三角形，平行四边形、菱形、矩形等。rrr r rr rr若 aba b0 |ab| |ab|.（a,btB是非零）48、（提纲12月20日例4）已知| a |二2 , | b |=3 ,且a与b夹角为600,试确定k ,使向量 a + k b与ka +b互相垂直？49、（提纲12月19日例4）在4ABC中，aB =a, BC=b，若a b>0,则三角形的形状为 .50、（提纲12月19日）若e1,e2是夹角为60的两个单位向量， 则a 2e1 e2 ,b3ei 2e2 的夹角为（）A. 30 B. 60 C. 120 D.

21、 150uur uuur uuv51、（限时练12月19日15）已知平面上三点 A、B、C满足AB 3, BC 4, CA 5,则 uuuv uuuv uuuv uuui urn ulutAB ? BC BC ?CA CA? AB 的值等于.52、（限时练12月29日16）已知向量a=（1 , 2） , b=（2,入），且a与b夹角为锐角，则 实数人的取值范围是.53、已知| a| =6, | b| = 3, a - b=- 12,则向量a在向量b方向上的投影是.54、已知单位向量 eb e2的夹角为60° ,则|2e 囤=.55、 ABC中，| AB | 3, | AC | 4 ,

22、 | BC | 5,则 AB BC .56、已知1 r （1，2）,b （0,1 r r r u ）,c a kb, d2r r rira b, c与d的夹角为z，则k等于64、若点O是 ABC所在平面内的一点， 且满足| OB-OC=|O跳OC 2OA,则ABC勺形状为57、已知58、已知2, b5,agorr r3,则 a b59、r abr aruuuuuur0,AB-ADa,b是两个非零向量，且uuu uum若四边形ABCD荫足AB+CDrb的夹角为uuir?AC 0,则该四边形的形状为（八）向量中一些常用的结论 ：（1） 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用;uuuu

23、uu uuuuuur65。是平面上一定点，A B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 OPOA（ABAC）入C 0,+ 8）,则点P的轨迹一定通过 ABC的（）（A）重心 （B）垂心 （C） 内心 （D）外心66、若ABC的三边的中点分别为（2, 1）、（-3, 4）、（-1 , -1 ）,则ABC的重心的坐标为60、已知 ai + a2+ an= 0,且 an =（3,4）,则ai+a2+ ai的坐标为r r（2） |a| |b|r r r|a| |b| |a r ra、b不共线r |arb|；r|a|r r rb| |a| |b|,特别地,r r当a、b反向或有一个为r r当a、b同向或

24、有一个为r r r rr0|a b| |a| |b|r r r r r|b| |a b| |a| |b|（这些和实数比较类似）.rl|a|r r r|a b| |a|r r r|b| |a b|r|b|（九）向量中的一些常用方法：1、将已知向量坐标化或者拆分向量67、（提纲12月31日例3）在边长为2的菱形ABCW, / BAD= 60° ,（3）三角形四心：外心指三角形外接圆的圆心，到三角形的三个顶点距离相等，是三角形各 边垂直平分线的交点；内心指三角形内切圆的圆心，到三角形的三条边的距离相等，是三角形各角平分线的交点；重心是三角形各边中线的交点，将中线分为上：下=1: 2;垂心是

25、三角形各边高线的交点，在ABC中， 若A X1,% ,BX2 , y2 ,CX3,y3,则其重心的坐标为XiX2X3 yiy2y3uuu uuu特别地PA PBuiur rPC 0ABC的重心；E为CD勺中点，则AEE- BD=.68、如图，在矩形 ABCD中，AB J2 , BC 2,点E为BC的中点，点F在 边CD上，若aB AF J2,求NE"BF的值69、（提纲12月30日例2）在正方形 ABCD43, E,F分别是AB,BC的中点， 求证：AF DE .2、向量与函数结合，建立函数表达式，求函数最值。uuu uuuPA PBuuu uurPB PCuur uuuPC PAA

26、BC的垂心;向量uuu（族|AB|uuur-AC-）（0）所在|AC|70、在 ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2则OA （OB OC）的最小值是 A. 1 B. 0 C .-2D .- 171、已知向量OA= （2,2） , OB= （4,1）,在X轴上一点P,使AP-BPr最小彳t,则 P点的坐标是直线过 uuu umr|AB|PCABC uuir uuu的内心urn uuu|BC|PA |CA|PBBAC的角平线所在直线）；P是ABC的内心;61、（提纲12月31日）（1）若G是的 重 心;ABC所在平面上一点GAGB GC 0 ,则点 G是 ABC（2）若O是 ABC所在平面上一点,|OA| |OB| |OC|,则 O是 ABC 的 外 心；（3）若P是 ABC所在平面上一点，62、已知点O为ABO接圆的圆心,若PA PB PB PC PC PA ,