阶段质量检测推理与证明

1、阶段质量检测(一)推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)1.下列推理正确的是()A. 把 a(b+ C)与 loga(x+ y)类比，则有 loga(x + y)= logax+ logayB. 把 a(b+ c)与 sin(x+ y)类比，则有 sin(x + y) = sinx+ sin yC .把 a(b+ c)与 ax+ y类比，则有 ax+ y= ax+ ayD .把(a+ b) + c 与(xy)z类比，则有(xy)z= x(yz)解析：选D (xy)z= x(yz)是乘法的

2、结合律，正确.2.用反证法证明命题“若关于x的方程ax2 + bx+ c= 0(a 0, a, b, c Z)有有理根,那么a, b, c中至少有一个是奇数”时，下列假设正确的是()A. 假设a, b, c都是奇数B. 假设a, b, c都不是奇数C. 假设a, b, c至多有一个奇数D. 假设a, b, c至多有两个奇数解析：选B 命题“a, b, c中至少有一个是奇数”的否定是“a, b, c都不是奇数故选B.3.求证：2+ 3> 5.证明：因为 2+ .3和.5都是正数，所以为了证明 2 +3> 5,只需证明(2+ 3)2>( 5)2，展开得5 + 2 6>5,即

3、2 6>0 ,此式显然成立，所以不等式2 + , 3> 5成立.上述证明过程应用了 ()B .分析法A .综合法C .综合法、分析法配合使用D .间接证法解析：选B 证明过程中的 “为了证明“只需证明”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式.11 14.利用数学归纳法证明不等式1 + 2 + 3+ n二 V n(n> 2, n N + )的过程中，由n=k变到n = k+ 1时，左边增加了()解析：选D 当n= k时，不等式左边的最后一项为,而当n= k + 1时，最后12k+1 11kk，2k 1+ 2k并且不等式左边和式的分母的变化规律是每一项比前一项加1, 故B

4、. k项C. 2_1 项D. 2k 项增加了 2k项.5.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是()A 各正三角形内的任一点B.各正三角形的中心C 各正三角形边上的任一点D 各正三角形的某中线的中点解析：选B 正三角形类比正四面体，正三角形的三边类比正四面体的四个面，三边的中点类比正三角形的中心.6已知函数f(x)= 5x,贝V f(2 019)的末四位数字为()A. 3 125B . 5 625C . 0 625D . 8 125解析：选D 因为f(5) = 5s = 3 125的末四位数字为 3 125, f(6) = 56= 1

5、5 625的末四位数 字为5 625, f(7) = 57= 78 125的末四位数字为 8 125, f(8) = 58= 390 625的末四位数字为 0 625 , f(9) = 59= 1 953 125的末四位数字为 3 125，故周期T = 4.又由于2 0佃=504X 4+ 3,因此f(2 019 )的末四位数字与 f(7)的末四位数字相同，即f(2 019)的末四位数字是 8 125.7.用数学归纳法证明不等式“1丄1丄1+1+ 3+ 2“w 2+ n(n N +)时，第一步应验证( )11A. 1+：w：+1B .1K丄+ 12 221111,D .,1 ,c . 1+2+3

6、+产 1+ 解析：选A 当n = 1时不等式左边为1 + *右边为1+ 1，即需要验证：1 +w + 1. 8. (2019全国卷H )在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测. 甲：我的成绩比乙高.1< 1 1 1+ 1乙：丙的成绩比我和甲的都高.丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的 次序为()A .甲、乙、丙B .乙、甲、丙C .丙、乙、甲D .甲、丙、乙解析：选A 若甲预测正确，则乙、丙预测错误，即甲的成绩比乙高；丙的成绩不是最高的；丙的成绩比乙低.由可得甲、乙、丙成绩由高到低的顺序为甲、乙、丙，A正确.(2)

7、 若乙预测正确，则甲、丙预测错误，即乙的成绩比甲高；丙的成绩最高；丙的成绩比乙低.由上可知相矛盾，故此情况不成立.(3) 若丙预测正确，则甲、乙预测错误，即乙的成绩比甲高；丙的成绩不是最高的；丙的成绩比乙高.由得成绩由高到低的顺序为丙、乙、甲，与相矛盾，此情况不成立.故选A.9.对于函数f(x), g(x)和区间D,如果存在xo D,使|f(x。) g(xo)|w 1,则称xo是函数f(x)与g(x)在区间D上的"友好点” 现给出下列四对函数： f(x)= x2, g(x) = 2x 3； f(x)= x, g(x)= x+ 2； f(x)= e x, g(x)=-；1 f(x)=

8、In x, g(x)= x-.其中在区间(0,)上存在"友好点”的是()A .B .C .D .解析：选 C 对于，|f(x) g(x)| = |x2 (2x 3)|=|(x 1)2+ 2|>2，所以函数 f(x)与 g(x)在区间(0,+)上不存在“友好点”，故错，应排除 A、D;对于，|f(x) g(x)|= | x (x+ 2)1= 伍2 / + 47，所以函数f(x)与g(x)在区间(0 ,+8)上也不存在“友好点”，故错，排除B;同理，可知均正确.10.已知数列an的前n项和Sn，且ai = 1, Sn= n2an（n N+）,可归纳猜想出Sn的表达式为（）A.Sn2

9、nn+ 1B. Sn3n 1n +1Sn =2n+ 1n + 2Sn =2nn + 22 14121解析：选 A 由 a1 = 1，得 a1 + a2= 2 a2,a2=;, S2=;又 1 + ；+ a3 = 3 a3 ,a3=3 336S3= 3=厂11ZR18又 1 + 3+ 6 + a4= 16a4，得 a4=亦，S4= 5.由 S1= 2 S2= 4 , S3 = 4 , S4 = 5可以猜想 Sn= 2n .2345n+111.已知 f(x)= x3+ x,若 a, b, c R,且 a+ b>0, a+ c>0, b+ c>0,则 f(a)+ f(b) + f(

10、c)的值（）B .一定等于0D .正负都有可能A .一定大于0C .一定小于0解析：选 A f，(x) = 3x2 + 1>0, /f(x)在 R 上是增函数.又 a+ b>0, /a> b, -f(a)>f( b).又 f(x)= x3+ x 是奇函数，.f(a)> f(b),即 f(a) + f(b)>0.同理，f(b) + f(c)>0, f(c) + f(a)>0 ,f(a) + f(b)+ f(c)>0，故选 A.12.下面的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的.i1 12 2 丄丄 I11 I12 124

11、丄 L 丄2030201第n行有n个数且两端的数均为2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如；=2+1,殳=3+11，3=1+12，则第10行第4个数（从左往右数）为（）1 1A B3605041 1C.840 D.1 260解析：选C 依题意，结合所给的数阵，归纳规律可知第8行的第一个数、第二个数分别等于8,78,第9行的第一个数、第二个数、第三个数分别等于9, 8 9冷1 "厂 卜1 ,第10行的第一个数、第二个数、第三个数、第四个数分别等于 秸，* 8£ 9_ -0 ,J 8.F 仪9丿L-9 厂 1910/7840.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分

12、请把正确的答案填在题中的横线13.设 f(n)= 1 + 2 + 3+(n N + ),那么 f(n+ 1) f(n)=1 1 111解析：f(n + 1)= 1 +寸+ ；+11+ 2n +，/f(n+ 1) f(n) = 2 + 12n 1 2n 2n+ 12n 2n+12n 2n + 114.已知点 A(xi, 3xi), B(X2, 3X2)是函数y= 3x的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A, B两点之间函数图像的上方，因此有结论3X1 + 3X2>3X1成立.运>3用类比思想方法可知，若点A(X1, tan X1), B(X2, tan X2)是函数

13、y= tan x jvxvO 的图像上任意不同两点，则类似地有成立.解析：因为y= tan2<x<0图像是上凸的，因此线段AB的中点的纵坐标tan xi+ tan X2总是小于函数y= tan x jxvO图像上的点Xl+ X2X1+ X2的纵坐标,tan X1+ tan X2X1+ X2即有 2 <tan 2成立.答案：tan X1 + tan X2X1 + X22<tan215.观察下列等式:(1 + 1) = 2X 1,2(2 + 1)(2 + 2) = 2 X 1 X 3,3(3 + 1)(3 + 2)(3 + 3) = 2 X 1 X 3X 5.照此规律，第n

14、个等式为.解析：从给出的规律可看出， 左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个 加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始,逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列,项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n 个等式可为(n + 1)(n + 2) (n + n)=2nx 1 x 3x-x (2n 1).答案：(n + 1)(n+ 2)(n+ n)= 2nx 1x 3x-x (2n 1)16. 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部

15、分的一 a2面积恒为才.类比到空间，有两个棱长为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为解析：3解法的类比（特殊化），易得两个正方体重叠部分的体积为+.8答案：3 a 8三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤）17. （本小题满分10分）用综合法或分析法证明:a+ b lg a+ lg b（1）如果 a, b>0，则 lg 二g 2 g ；（2）6 + 10>2 3+ 2.a + b 证明：当a, b>0时，有一厂> .ab,a + b 一 lg> lg ab,a + b 1lg

16、a+ lg b|g_A ?lg ab=2.要证，6+10>2 3 + 2,只要证(6 + 10)2>(2 3 + 2)2,即2 _60>2 48,这是显然成立的,所以原不等式成立.18.（本小题满分12分）如图所示，设SA, SB是圆锥SO的两条母线，0是底面圆心，C 是SB上一点，求证： AC与平面 SOB不垂直.5证明：假设AC丄平面SOB ,A因为直线SO在平面SOB内，所以SOJKC,因为SO丄底面圆O,所以SOAAB.因为 AB A AC= A,所以SO丄平面SAB.所以平面SAB /底面圆O,这显然与平面 SAB与底面圆 即AC与平面SOB不垂直.19.(本小题满

17、分12分)已知a, b, c (0,1).求证：(1 a)b, (1 - b)c, (1 c)a 不能都大于41证明：假设(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a都大于寸.因为 0<a<1,0< b<1,0< c<1,所以1 a>0.由基本不等式，得1 ；+b» 1-ab> ,；4=2-1 b + c 1同理， 2>1,1 c + a 12 >2-将这三个不等式两边分别相加，得1 c + a 1 1 12 >1+1+2，即3>3，这是不成立的,1 故(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a 不能都大于；-

18、1 120.(本小题满分12分)用数学归纳法证明173 + 35 +O相交矛盾，所以假设不成立,1= n(2n 1)x(2n+ 1 厂 2n + 1(n N +).证明:当n= 1时，左边=右边=12X 1+ 1左边=右边.所以当 n = 1时等式成立.假设当n = k(k > 1, kN +)时等式成立，即1 1 1+ + + 1X 3 3 X 52k 1 x 2k+ 1 2k+ 1则当n= k + 1时,左边=七+忐+1+1X 3 3X 5（2k 1 x（2k + 1）（2k+ 1 1（2k+ 3）k+2k+ 1 2k+ 1 x 2k+ 32k + 1 k+ 1k 2k+3 + 12

19、k+ 1 x 2k+ 32k + 1 x 2k + 3k+ 1=右边.2 k+ 1 + 1所以当n= k + 1时等式也成立.根据和可知，等式对任何n 3 +都成立.21.(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处.(1) 求证：四边形的内角和等于360 °证明：设四边形 ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有/A +Z B+Z C+Z D =90 °+ 90 °+ 90 °+ 90 °= 360 °所以四边形的内角和为 360 °(2) 已知 2和 3都是无理数，试证：.2+. 3也是无理数.证明：依题

20、设 2和，3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2 + ,3必是无理数.(3) 已知实数 m满足不等式(2m + 1)(m+ 2)<0，用反证法证明：关于 x的方程x2 + 2x + 5 m2= 0无实根.证明：假设方程 x2+ 2x+ 5 m2= 0有实根.由已知实数 m满足不等式(2m+ 1)(m+ 2) v 0,解得一2v mv 2，而关于x的方程x2 + 2x + 5 m2= 0的判别式 = 4(m2 4), v 2<m< 1，二 1 v m2v 4,. A<0，即关于 x 的方程 x2 + 2x+ 5 m2= 0 无实根.24解：(1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形.(2)使用的论据是 “无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理 数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定.(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法.22 .(本小题满分12分)是否存在二次函数f(x)，使得对于任意都有1 + 2 + 3十十n = f(n)成立，若存在，求出f(x)；若不存在，说明理由.解：假设存