北京市市东城区171中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)试题

1、北京市第一 一中学 2016-20172016-2017 学年度第一学期 高二年级数学（理）期中考试试题（考试时间：100100 分钟 总分：100100 分）正方形中还有表示棱的线段，故选D-2原点到直线 x 2y -0 的距离为（）.A 1B3C2D 、5【答案】D【解析】d2 I2= 5，故选DJi2+223 正方体的表面积与其外接球表面积的比为（）A3:nB2 :nC.1: 2nD.1: 3n【答案】B【解析】设正方体的棱长为a，则正方体的表面积 S =6a2,由正方体的体对角线就是其外接球的直径可知：2R = 3a，即 R fa ,所以外接球的表面积：$ =4TR2=3na2,故正方

2、体的表面积与其外接球的表面积的比为：6a2:3 归2=2:n故选B4如图，直线 li, I2, I3的斜率分别为 ki、k2、k3，则（）所以一、选择题：1 如图是一个正四棱锥，它的俯视图是（）.【答案】D【解析】由于几何体是正四棱锥，所以俯视图是正方形，又因为有四条可以看见的棱,A. k-1: k2: k3B . k3: k : k2C.k3： k2: kD .k1叮 k3：；k2【答案】 A【解析】 由图可知：k1：0,k2 l0,k3*0,且直线 l3的倾斜角大于直线 12的倾斜角，所以k3k2, 综上可知：k1: k2: k3，故选A.5. 平面P平面：=l，点 A 三:丄，B 三,C

3、：- |. ,Cl，有 ABPI=R，过A,B, C 确 定的平面记为，则丁是（ ）.A 直线 AC B 直线 BC C.直线 CRD 以上都不对【答案】C【解析】 ABI 二 R , RI ,RAB,又I ,I1, R ,R, 又 C，C , 了 二 CR，故选 C .6.对于平面： 和异面直线 m , n，下列命题中真命题是（）.A .存在平面使 m 丄：，n 丄：.B.存在平面，使m二:；，n :-C.存在平面二,满足 m 丄，n/ :D 存在平面,满足m/, n/ :-【答案】D【解析】A选项，如果存在平面 ，使 m 丄二，n 丄二，则 m/ n，与m,n是异面直线矛 盾，故A不成立；

4、B选项，如果存在平面，使m：_，则 m , n 共面，与 m , n 是异面直线矛盾，故B不成立；C 选项，存在平面 ，满足 m 丄二，n /二，贝Vm 丄 n，因为 m , n 是任意两条异面直线， 不一定满足 m 丄 n，故 C 不成立；D选项，存在平面 ，使 m/ , n/-,故D成立.综上所述，故选D.【答案】1设直线的倾斜角为，则 tan=：- -一COST,V3/-1 8，当且仅当2二1二1时，等号成立，,aba b 2 ab 的取值范围是：8,；)，故选D.10.如图，正方体 ABCDA1BGD1的棱长为2，动点E、F在棱 AB1上，动点P，Q分别 在棱AD, CD 上，若EF

5、=1, AE =x , DQ 二 y ,DP二z( x ,y, z 大于零)，则四面体 PEFQ的面积().A .与x,y, z 都有关B .与 x 有关，与y, z 无关C.与y有关，与x, z 无关D 与 z 有关，与 x ,y无关【答案】D【解析】如图：EF在棱 AiBi上，Q 在棱 CD 上，A1B1/CD，所以 QEF 的高为定值，又EF为定值1，所以 QEF 的面积为定值，四面体 PEFQ 的体积与点P到平面 EFQ 的距离有关，即与DP的大小有关，故选D.二、填空题：11._ 已知圆C : x2y2=4，则过点 P(2,0)的圆的切线方程是 _.9若直线 a+bH（a0）始终平分

6、圆X2+V2-4的周长，则是（).A.，8B0 1 1CB .0,8 C .(0,8D . 8,：)【答案】D【解析】由圆的方程2 2X V4x -2y -8 =0 ,得圆心坐标为：（2,1）,因直线:十 T（0,b 沁）始终平分圆的周长，则直线:十1必过点（2,1）ab 的取值范围【答案】x-2=0【解析】T点 P(2,0)在圆 C : x2y2=4上，且 kcp=0 ,过点 P(2,0)的且切线斜率不存在，故切线方程是： x -2 =0 .12._ 直线(2k 1)x(k+3)y k+11 =0(k R)所经过的顶点坐标为 _ .【答案】(2,3)【解析】把(2k -1)x-(k 3)y-

7、k 11=0 整理后得：k(2x-y-1)-(x 3y-11)=0 ,2x -y T =0 x = 2x 3y -11 =0，解得：y *，故直线（2k _1）x （k 3）y k 11=0 恒过定点（2,3）.2 213.已知 Fi, F2是椭圆X y1的两焦点，过点 F2的直线交椭圆于A,B两点，则厶 AFiB169周长为_.【答案】162 2【解析】由椭圆X y1，可得：a =4 .169=| AF1| | BF11 | AB |彳 AF1| - |AF21| BF1| | BF2|=4a =16 .14.在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥

8、后，剩下的几何体的体积是 _.5【答案】-6【解析】V正方体-8V三棱锥=1-8【注意有文字】3 2 22 2615.在三棱锥 P-ABC 中，已知 PA 二 PB 二 PC =2 , . BPA 二 BPC - CPA =30，从A点 绕三棱锥侧面一周回到点_A的距离中，最短距离是.【答案】2 2【解析】由题意可知： PA 二 PA =2 , ZAPA =90 ， 二 AA =2 2 .即从A点绕三棱锥侧面一周回到点A的距离中，最短距离是 2 2 .16.二面角T - -的大小是 60，线段 AB 二: ,Bl ,AB与 I 所成的角 45，则AB与平面：所成的角的正弦值是 _.【答案】4【

9、解析】 AF1B 的周长B C将三棱锥 P -ABC 沿PA展开，如图所示:过点A作平面 1 的垂线，垂足为 C，在：内作 AD 丄 I，垂足为D，连接 CD , 则.ADC即是二面角-1 - 的平面角， . ADC =60 ,设 AD=x，则 BD=x，AB2x，CD-，AC 弓 x.V3 亍亠-,2x 一 4即AB与平面 1 所成角的正弦值是 一64三、解答题17.如图，在正方体 ABCD -AiBiCiDi中，E、F为棱AD、AB的中点.(I)求证：EFII平面 CBiDi.(H)求证：平面 CAACi丄平面 CBiDi.(川)若正方体棱长为 2，求三棱锥 A EFBi的体积.【答案】

10、见解析【解析】sin. ABC 二空ABDq(I)证明：连接BD,BBiIIDDi且 BBi二 DDi, 四边形 BBiDiD 是平行四边形，BDIB1D1.又E、F分别是AD,AB的中点， EFIIBD, EFIIB1D1,又TEF 平面 CB1D1, BQtU 平面 CBD1, EFII平面 CB1D1.(n)证明：在正万体 ABCD - AiB1C1Di中，-AA|丄平面 AjBiCiDi, AA1丄 B1D1,又四边形 ABCD 是正方形，BiDi _LACi, BiDi丄平面 CAACi,又TBiDi-平面CBiDi,.平面 CAACi _L平面 CBiDi.i(川)VA _EFBM

11、VEVBFABFAE ,11TSAABFABiAAi2 2=2,22i2VA,.EFBi2i =33i8.如图，ABCD 是边长为 3 的正方形，DE 丄平面 ABCD , AFIIDE , DE =3AF ,BE与 平面 ABCD所成角为 60 .(I)求证：AC 丄平面BDE.(H)求二面角F -BE - D的余弦值.(川)设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AMII平面BEF，并证明 你的结论. DE 丄 AC , 又 ABCD 是正方形, AC 丄 BD ,/ BDP1DE 二 D , AC 丄平面BDE.(n)vDA,DC,DE两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系 BE

12、 与平面 ABCD 所成角为 60，即.DBE =60，由 AD =3，可知:则 A(3,0,0) , F(3,0, ,6) ,E(0,0,3 ,6) , B(3,3,0) , C(0,3,0), BF =(0,弋.6) , EF =(3,0,-2.6),4设平面BEF的法向量为 n =(x,y,z)，贝 U令 zn 妬，则 n =(4,2, 6).因为 AC 丄平面BDE，所以 CA 为平面BDE的法向量,【答案】 见解析AC 二平面 ABCD ,D xyz ,EDDB4 Tn BF =0刚，即-3y 、6z =03x -2 .6z =0因为二面角为锐角, 故二面角FBED的余弦值为爭.(川

13、)依题意得，设M(t,t,O)(t .0),贝 UAM =(t -3,t,0), AM/平面BEF,- AM n =0，即 4(t -0)20，解得：t =2 ,点M的坐标为(2,2,0),2 i此时 DM DB3，点M是线段BD靠近B点的三等分点.2 219.已知椭圆C:爲爲=1(a b 0)，其长轴为4，短轴为2.a b(I)求椭圆 C 的方程，及离心率.(H)直线 l 经过定点(0,2)，且与椭圆 C 交于A,B两点，求 OAB 面积的最大值. 【答案】见解析【解析】解：(I)a =2,b=1, c=3,椭圆 C 的方程为：兰 y2=1，离心率：e3.4a 2(n)依题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为k，则直线方程为：y 二 kx 2 ,x24y2=422由，得(4k1)x 16kx 12 =0 ,y =kx2 2 2，；.=(16k) -4(4k1) 12 =16(4k -3),由.0 得：4k2-3 0 ,