圆锥曲线常见题型及规范标准答案

1、圆锥曲线常见题型归纳、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几a,b,c,e, p何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形 面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意:（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系;（2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x轴和y轴的两种（或四种）情况;（3）注意a,2a,a2，b,2b,b2，c,2c,c2，2p, p, p/2的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中c2a2 b2，双曲线中c2a2 b2，离心率e c/a，准线方程xa2/c

2、 ；例题:_(1 )已知定点F1( 3,0), F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点A. |PF1I |PF2I4 B. IPF1I |PF2I6 C. IPF1一方程 J(x 6)2 y2 7( x 6)2y28表示的曲线是(4)(5)(6)PF2P的轨迹中是椭圆的是10D. PFi(答:已知点Q（2 J2,0）及抛物线y2 上一动点P （x,y）,则y+|PQ|的最小值是42 2已知方程1表示椭圆，则双曲线的离心率等于设中心在坐标原点，十22_（答：x y、定义题k的取值范围为2y 1有公共焦点，则该双曲线的方程4)PF2212 （答：C）；双曲线的左支）（答：2）1 1(答:(3,

3、 -)U(-,2)；2y 1 )；0,焦点Fi、F2在坐标轴上，离心率e 42的双曲线C过点P（4, J10），6）C的方程为对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用 平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质,勾股定理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应由向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理;圆锥曲线的几何性质X2（1）椭圆（以r a范围： a

4、 X a, b对称性：两条对称轴:* 1b ；o,yb 0 ）为例）：2a，短轴长为2 b ;离心率：e C，椭圆a2例：（1）若椭圆5焦点：两个焦点（c,o）；一个对称中心（o,o），四个顶点（a,o）,（o, b），其中长轴长为2a?co e 1， e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。准线：两条准线X1的离心率e也，则m的值是_（答：3或空）；53（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为_（答:242 ）¥ 1（ a o,b o ）为例）：b2R ;焦点：两个焦点（c,o）；o,y 0 , 个对称中心（0,0），两个顶点（a,0），其中

5、实轴长为2a，虚X2 y2 k, k 0 ；2准线：两条准线X；两条渐近线：yc离心率：e c，双曲线 e 1，等轴双曲线a例：（3）双曲线的渐近线方程为y= ±3x/4,则双曲线的离心率为离心率：e -，抛物线ax（4） 双曲线ax by1的离心率为用，则a:b=（答：4或4 ）; 2 _（5） 设双曲线务 岭1 （a>0,b>0 ）中，离心率e 2 ,2,则两条渐近线夹角0的取值范围是 a b（答：孑尹；（3）抛物线（以y2 2px（p o）为例）：范围：X o,y R ;焦点：一个焦点（号,o），其中P的几何意义是：焦点到准线的距离; 对称性：一条对称轴y o，没有

6、对称中心，只有一个顶点（o,o）； 准线：一条准线XP ；（2）双曲线（以一a2范围：X a或X a, y对称性：两条对称轴X 轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为bX 0a(4)点P(Xo,yo)和椭圆2）点P（xo,yo）在椭圆上aXo2 2例：(6)厶1设a25 16o,a:2_ £'2b22 2 乌=1 ; （ 3）点P（xo,yo）在椭圆内电baR，则抛物线y 4ax2的焦点坐标为1 （ a b 0）的关系：（1 ）点P（xo, yo）在椭圆外2Tob2(答:(o,16a2Xo2 a)；e 42，e越小，开口越小，e越大，开口越大

7、;（答：善）；y2 8x，若抛物线上一点到y轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离（7）已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为（8）已知抛物线方程为等于_；（9）若该抛物线上的点M到焦点的距离是4，则点M的坐标为（答：7,（2,4）；2（10）点P在椭圆252才1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为（答：25）；三、直线与圆锥曲线的关系题（1）写直线方程时，先考虑斜率k存在，把直线方程设为y kx b的形式，但随后应对斜率k不存在的情况作出相应说明，因为k不存在的情况很特殊，一般是验证前面的结论此时是否成立;（2）联立直线方程和圆锥曲线方程，消

8、去x或消去y，得到方程ax2bx c 0 或ay2 by c 0，此方程是后一切计算的基础，应确保不出错。（3）当方程或的二次项系数a 0时，方程是一次方程，只有唯一解，不能用判别式，这种情况是直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行;（过抛物线外一点作与抛物线只有一个公共点的直线有三条,过双曲线含中心的区域内一点（不在渐近线上）作与双曲线只有一个公共点的直线有四条；）（4）当方程或的二次项系数a 0时，判别式 0、 0、 0，与之相对应的是，直线与圆锥曲线分别相离、相切、相交。如直线与圆锥曲线有公共点，应用0来求斜率k的范围;例题:（答: 2）；（1）过点（2,4）作直线与抛物线y

9、2 8x只有一个公共点，这样的直线有2 2(2)过点(0,2)与双曲线冷备i有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为(答:+ OO2 2直线y-kx=0与椭圆乞i恒有公共点，则5 mm的取值范围是(答：1 ,5) U (5,2 2(4)过双曲线 i的右焦点直线交双曲线于 A、i 2条(答：3);B两点，若IAB 1= 4,则这样的直线有(5)直线与圆锥曲线相交成弦(前提a 0，0)，记为 AB，其中 A(xi,yi)，B(X2,y2)，AB 的坐标可由方程或求得，一般是由方程求出Xi,X2，再代入直线方程求yi, y2，或由方程求出yi,y2，再代入直线方程求Xi ,X2 o(6)涉及弦长问

10、题，可用韦达定理，由方程2 axbx c 0 求出XiX2,XiX2，A(Xi,yi)， B(X2, y2)在直线 y kX b上，二 yi kXi b， y? kx?i2yi y2k(Xi X2),； AB (xi X2) (yi y2)2 ' 2 2V(i k )(xiX2)J(i k2)(xiX2)2 4xiX2olal请注意，如果联立直线和圆锥曲线方程，消去X，得到ay2 by c 0，继而用韦达定理，求出i！Ljiyiy2，yiy2，XiX2-(Yi y2)，| AB| 7( XiX2)2 (yiy2)2J(i厂)(yi y2)2存(yi y2)2 4yiy2 j(1 占)祜

11、；(6) 若抛物线 y2 2px(p 0)的焦点弦为 AB，A(xi, yi), B(x2,y2)，则 | AB | Xi X2 p :2PXiX2,yiy24(7) 若OA、OB是过抛物线y2 2px(p 0)顶点点(2p,0)的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定(7)涉及弦中点问题，可用韦达定理，由方程ax2 bx0 求出 XiX2，设弦 A(Xi, yi) B(X2, y2)的中点为M (Xo, yo)，则Xo宁，M点也在直线kX b 上，二 yokX0b o如果问题仅仅与弦中点和弦的斜率k有关，而不涉及弦长，则可把弦AB的坐标（xi,yi） , （X2,y2）直接(yi y2)、(y

12、i y)，代入曲线方程，然后相减，因式分解，所得的式子中只有（x1 X2） A （x1 X2） A这些都与弦中点坐标和弦的斜率k有关。（点差法）（8）弦AB满足有关的向量的条件，如 OA OB 0（ O 为原点），则 XiX2 %丫20，y1kx1 b，y2 kx2 b， Ax1x2 (kx1 b)(kx2 b)2 2(1 k )x1x2 kb(x1 x2) b 0.又如过椭圆X2 2y22的右焦点Fi的直线I与该椭圆交于M ,N两点，且F.MFM 226/3，求直线l的方程。特别提醒：因为务必别忘了检验0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时,0!例：（1 ）抛物

13、线（答: 2）;2x上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到y轴的距离为X2(2)如果椭圆一36X 2y 80);2y91弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是(答:(3)已知直线y= X+1x2与椭圆pa2右 1(a b0）相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L:X 2y=0上，则此椭圆的离心率为(答:（1 ）双曲线冷与1的渐近线方程为笃 Z a ba bK.22（2）以ybx为渐近线（即与双曲线务占a2 221共渐近线）的双曲线方程为电a数,工0 ）02如（4）与双曲线92 _J 1有共同的渐近线，且过点（3刃3）的双曲线方程为16(答:4x29经过双曲线X21

14、的右焦点F2作倾斜角为30。的弦AB，(1 )求 |AB|(2 )求三角形F1 AB的周长，（Fi是左焦点）3(6).已知抛物线y(1)求证：OA OB(2 )当 Soab，x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点求k的值。(7)已知动直线y k(x2x1)与椭圆C: w2y1相交于A、53B两点，已知点uur LULT,求证：MA MB为定值.解：将y k(x221)代入£1中得(15532 2 23k2)x2 6k2x3k236k4 4(3k2 1)(3k25)48k220 0,6k2，X1X23k25X1 X22123k2 13k21uur UULT 所以MA MB7(X1 3

15、,y1)(X273，y2)7(X1 3)(：(x1 7)(x2 7)k2(x,1)(X2 1)(1X2)73) yy3(3k2 )x1x2k2)(X1499k2(1(3k2)(氏)3k416k253k2 1499k2X2(8)过椭圆161内一点M (2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程。四、关于圆锥曲线的最值(1)圆锥曲线上的动点到一个定点的距离的最值。设动点的坐标M(xo,yo)，用两点间的距离公式表示距离d，利用点M的坐标(X0, yo)满足圆锥曲线方程，消去yo (或消去x。)，把d2表示成x。(或y)的二次函数，因为xo (或yo )有一个取值范围(闭区间或半开半闭

16、区间)，所以问题转化为：求二 次函数在闭区间上的最值。有时须针对二次函数的对称轴与闭区间的关系进行分类讨论。(2)圆锥曲线上的动点到一条定直线的距离的最值。作圆锥曲线与定直线平行的切线，切点即为所求的点，切线与定直线的距离即为所求最值。例：(1)椭圆xA2/3+yA2=1上的点到直线x-y+4=0 的最短距离;五、求动点的轨迹方程(1)求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围;注意：不重合的两条直线i：Ax Biy Ci0 与 2 : AxB2y C2 0，1 的法向量为：n1 (A1,B1)，方向向量为 e1（ B1,A1）（1,k1）,12AA2 b1b21 / 2A1 B2

17、 B1 A2 且 AC 2 C1 A2 ;(2)求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系F(x, y)(1)已知动点P到定点F(1,0)和直线xy212(x 4)(3 x 4)或 y20 ；3的距离之和等于4，求P的轨迹方程.(答:4x(0 x 3); 待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件 确定其待定系数。(2)线段AB过x轴正半轴上一点M (m， 0) (m 0)，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x 轴为对称轴，过A、0、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 (答：y2 2x ); 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知

18、曲线， 程；由动点P向圆x2 y2 1作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，/APB=60 0，则动点P的轨迹 方程为 (答：x2 y24);(4)点M与点F(4,0)的距离比它到直线I： X 5y2 16x);(5) 一动圆与两圆O M : x2 y2 1和O N : x2 (答：双曲线的一支)；再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方0的距离小于1，则点M的轨迹方程是y2 8x 120都外切，则动圆圆心的轨迹为（答:代入转移法：动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化，并且Q(x0,y0)又在某已知曲 线上，则可先用X, y的代数式表示x0, y0，再将x0, y0代入已知曲

19、线得要求的轨迹方程；动点P是抛物线y 2x 2(1 4k )x 16kx 120 1上任一点，定点为A(0, 1)，点M分PA所成的比为2，则M的轨迹方程 (答：y 6x21);3(7) AB是圆O的直径，且|AB|=2 a，M为圆上一动点，作MN丄AB，垂足为N，在OM 上取点P， 使|0卩|皿"，求点P的轨迹。(答：X2 y2 a| y|);(答:(8) 若点P(X1,y1)在圆X2 y2 1上运动，则点Q(X1y1,X1 %)的轨迹方程是y2 2x 1(|x| 2)；(9) 过抛物线X2 4y的焦点F作直线I交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是 (答：X2 2y

20、2 );(14全国卷)20.(本小题满分12分)已知点 A (0,-2 )，椭圆E :2 x 2 a2yb21(a b 0)的离心率为旦,F是椭圆的焦24点，直线AF的斜率为 巫，O为坐标原点.3(I)求E的方程;20.解:(n)设过点A的直线I与E相交于P,Q两点，当(本小题满分12分)(I)设F(c,0)，由条件知,a 2,b2a2c21OPQ的面积最大时，求I的方程.2X故E的方程为4y2 15.分2 X2(n)当I X轴时不合题意，故设I : y kx 2，卩(为，yJQ, y?)，将y kx 2代入一 y 1得2 2当 16(4 k 3)0 ,即 k?时，X1,2 8k 2I44k2

21、 1从而|PQ| Jk1 |X1 X2 |4jk2 1 74k2 34k2 1又点O到直线PQ的距离d=，所以 OPQ的面积1S OPQ2d|PQ|4j4k2 34k2 1设 J4k23 t,则 t 0 ,S OPQ4t因为t 44，当且仅当t2，即k也时等号成立，且满足2所以当 OPQ的面积最大时,l的方程为12分答案:1.C2.双曲线的左支3 vy=x2/4即 x2=4y 焦点 F 为(0,1 )准线：y=-1 过点 P 作 PM 丄y=-1 于 M pM 1= |PF I y+ |P Q|= I PM |+| PQ|-仁 |P F I+l PQI-1当F,PQ三点共线时I PF I +|

22、PQ|最小(I PF I+|PQ| ) min= v (2)八2+1=3 (y+ |PQ| ) mi n= (IP FI+| PQ|-1 ) mi n=3-1=211x224.( 3, 2)U(护)；5.4 y 1 ；2 :6. x y2.设焦点在x轴上，则椭圆上的一点和两个焦点为顶点的三角形，底边长为2c,面积最大时，底边上的高最大，即该动点必须位于椭圆与y轴的交点上，即此时高为b,即2c*b/2=1,bc=1,c=1/b而"2= a2-b2 =(1/b)A2即 a2= "2 +(1/b)A2a>A2 长轴2a边v23. (1)焦点在x轴上,渐近线y= ±

23、(b/a)x二b/a=3/4- b=3t, a=4t c=5t e=c/a=5/4(2)焦点在y轴上,渐近线y= ±(a/b)x二a/b=3/4- a=3t, b=4t c=5t e=c/a=5/314.4 或 45. e=c/a v2,2,( n- 0)/2 n/4, n/3,cos( n- 0)/2=a/c 1/2,1/ v2,n 0冗/2,2 n/3,0的取值范围是n/3, n/2.16%)7.1、2 2.35343,38.79.( 7,(2, 4)10. 15显然该抛物线焦点是(2,0 )这个点在x=5上.解方程组x=5,y 2=8x ,则 x=5,y=2 V10. 该点坐标

24、为(5,2 V10).用公式算得该点至抛物线距离为7.2.设直线为y=kx+a, 过(0,2)点，.可得a=2y=kx+2与x2/9-y2/16=1有且只有一个公共点也就是方程组x2/9-y2/16=1; y=kx+2只有一组解将 y=kx+2 代入 x2/9-y2/16=1 得至U：(16-9k2)x2-18kx-180=0就此讨论: 当16-9k2=0时，方程只有一组解，也就是k= ±(4/3)时，方程只有一组解 当16-9k2不等于0时，一元二次方程有且只有唯一解的条件 也就是b2-4ac=0,可以得到另一组k的值5X' V'3:椭圆'和2 0=且斑丕5

25、，直线y-4-1 = 0X- VL*，欲使其与椭圆孑“石有公共点，只需让(QD落在椭圆内或者椭圆上，即:4. X2 - 丫八2/2 =1c2=1+2=3F( V3,0)过F且垂直x轴的直线是x= V3代入则y2=4y= ±2所以此时AB=2-(-2)=4所以这里有一条且AB都在右支时其他的直线则 AB都大于4所以AB都在右支只有1条直线L交双曲线于A,B两点,A、B分别在两支时,顶点是(-1,0),(1,0)顶点距离是2<4所以也有两条，关于x轴对称所以共有3条1. 22.x 2y 80WMO如ffl SU)所示血口d- 1、趴从而 X 47 f < - 2.0.设川 &

26、#171; y J ,庄AK方程列yC乃).曲-坯 j - 7 U J*整理得&才4* - 13 ' 0* /. T| +町=亏，jq引e -暑. J -引尸二+ +学=¥，即.口号冥 I /w?i = I Mdi - I 冲几丨伯黑 半轻公式知I町讣=f + aI AZ I = - CT, - o /. I Afi I I WFJ - I 沖巧 I r etjT +*；)* 2d e 2 X'J + 3= 3(2) V I 血 I =- fl, III I = a -A IB/31 + MFgl =打社-舸=2武爭 .3虑 .4邮岡长为1朋1 + f 蹈I

27、+T + 3；!设 A (X1,y1 ) ,B(X2,y2)6、(1)将 y=k(x+1)代入 yA2=-x,易得 X1+X2=-(2k2+1)/k2,X1*X2=1 y1*y2=k2(X1+1)(X2+1)=-1 0A 斜率 K1 为 y1/X1,0B 斜率 K2 为 y2/X2,所以K1*K2=-1得证(2) 1/2(根 x12+y12* 根下 x22+yx2)= 根 10(x12+y12) * (x22+yx2) =402-(x12x2+x22x1)=40x12x22+(x12+y22+x22y12)=40x1x2(x1+x2)=-38(2"2+1)/-"2=-38"2=1/36k=-1/6336k4 4(3k2 1)(3k25)48k2200,X1X26k23k2 123k 5，X1X2 -3k 1LUUr LULT 所以MA mb(Xi(Xi(17, ¥1)(x2 7，y2) (x1 7)(x2333772-)(X2 -) k (x, 1)(x2 1)33k2 )X1X2 (- k2)(x1 X2) 4939i)yy(1k2)3k(73k2