《数学分析选论》习题解答

1、11 / 11数学分析选论习题解答第二章 连续性1. 设x, y三 J；n，证明：I|X y|2|x y|2= 2(|x |2|y).证由向量模的定义，nn2222I|X y II |X y|八(Xiyi) (x yji丄i丄n9999=2 (xfyi2)= 2 (|x|y| ).口i =12. 设S二：n,点x山n到集合S的距离定义为:?(x, S)二infj x, y).y匸S证明：(1)若S是闭集，x，S，贝yr(x,S) 0;-X(2)若s = S S(称为S的闭包)，贝yS = x：Hn| r(x, S) =证 (1)倘若x, S) = 0，则由?( x, S )的定义，yn S，使

2、得?(x, yn ) 4，n=1,2.因X y S，故yn = X，于是x必为S的聚点；又因S是闭集，故X S，这就导致矛盾所以证得?(x , S )0.-X(2)-X S若xS，则珥x, S) = 0显然成立.若xyS，则XS(即X为S的聚点)，由聚点定义，一；0, U lx;；) - S = 一 ，因此同样有inf J(x, y)(x, S) = 012 / 11y S反之，凡是满足 珥x, S) = 0的点x，不可能是S的外点(若为外点，则存在正13 / 11数；。，使u（x；。）飞,这导致叫小匚）_；。0，与（x,s）=o相矛盾）.从而x只能是S的聚点或孤立点若x为聚点，则xSdS；若

3、x为孤立点，则x S S所以这样的点x必定属于S综上，证得S崇|;?（x, S） =0成立.3 证明：对任何s二二n,Sd必为闭集.证 如图所示，设x0为Sd的任一聚点，欲证X。Sd，即xo亦为S的聚点.这是因为由聚点定义，-；.0, y，使得dy u （xo；o S再由y为S的聚点，-U（ y； ；） U （x0;），有于是又有U （xo；） -S，所以xo为S的聚点，即 集.4 证明：对任何S山n,：S必为闭集.证 如图所示，设Xo为；S的任一聚点，欲证Xo rs，即Xo亦为S的界点.由聚点定义，7:；$ o , T y，使yU（xo； ；）一 再由y为界点的定义，U（y；、J U（x;J

4、, 在U（ y；：）内既有S的内点，又有S的外点.由此证得在U（xo；）内既有S的内点，又有S的外点，所以Xo为S的界点，即:S必为 闭集. 口“ $ 设S二:n,xo为S的任一内点，xi为S的任一外点.证明：联结xo与xi的直线段必与；:S至少有一交点.Xo Sd，亦即Sd为闭14 / 11证 如图所示，把直线段x0 x1置于一实轴上，并为叙述方便起见，约定此实轴上的点与其坐标用同一字 母表示.下面用区间套方法来证明记ai, bi =xo, xi , ci则结论成立；若ci为S的内点，则取a?, b2 =ci, bi；若ci为S的外点，则取点现设lim anlim bn= y，下面证明y.S

5、.n）：:n“：由区间套定理的推论，-；，当n足够大时，an,bn U（y;；）,因此在点y必是S的界点.口6 证明聚点定理的推论 2和推论 3.（1）推论 2 山n中的无限点集S为有界集的充要条件是：S的任一无限子集必有聚点.证必要性当S为有界集时，S的任一无限子集亦为有界集，由聚点定理直接推知结论成立.充分性 用反证法来证明倘若S为无界集，则必能求得一个点列IPk? S,使得lim II PkII=止“ 这个 E 作为S的一个无限子集不存在聚点， 与条件矛盾.故SkTo为有界集.口（2）推论 3 山n中的无限点集S为有界闭集的充要条件是：S为列紧集，即S的任一无限子集必有属于S的聚点.证

6、必要性 因S有界，故S的任一无限子集亦有界，由聚点定理，这种无限子集aibi2-若cv；:S,a2, b2 =ai, ci.一般地，用逐次二等分法构造区间套：记anbn（不妨设cn, bn,an申，bn+i=丿,an, cn,Cn为S的内点，6 为S的外点,n -i, 2,此区间套的特征是：其中每个闭区间的左端点an恒为S的内点，右端点bn恒为S的外U（y;；）中既含有S的内点（例如an），又含有S的外点（例如bn），所以XXi上的15 / 11必有聚点.又因子集的聚点也是S的聚点，而S为闭集，故子集的聚点必属于S.充分性 由上面(1)的充分性证明，已知S必为有界集下面用反证法再来证明S为闭集

7、.错误！lim Pk =P.据题设条件，9k !的惟一聚点P应属于S,故又导致矛盾.所 k_.以S的所有聚点都属于S，即S为闭集.口7 .设X山n, f:X rm, A, B X证明：(1)f (A一B)二f(A)一f (B);(2)f (A - B) f(A) - f(B);(3)若f为一一映射，则f (A - B)二f (A)，f(B).证 (1)-y f(A_. B), x A_. B,使y = f(x)若x A,则y f (A)；若x B,则y f (B).所以，当x A B时，y = f (x) f (A) f (B).这表示f(A一B) f (A) f(B).反之，-y f (A)一f (B), Tx X ,使y = f (x).若y f (A),则x A;若y f (B),则x B，于是x A _ B.这表示y = f (x) f (A B)，亦即f(A B)二f(A)一.f (B).综上，结论f(A B)二f (A) f (B)得证.(2)- y f(AB), Tx AB,使f(x) = y.因x A且x B，故f(x) f(A)且f(x) f(