实数与向量的乘法

1、资源信息表附录 3实数与向量的乘积关键词:数乘向量教学目标1 .掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行 有关的计算;2 .理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行;3.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩 证思想。教学重点及难点重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件;难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。附录 3实数与向量的乘积一、教学内容分析实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，也叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识和运用向量知

2、识解决问题的基础。实数与向量的积的结果是向量，要按大小和方向这两个要素去理 解。向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的，定理为 解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。特别：向量的平 行要与平面中直线的平行区别开。二、教学目标设计1 .掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算 律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算;2.理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否 平行;3.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、 抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。三、教学重点与难点重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件;难

3、点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。四、教学用具准备多媒体、实物投影仪 五、教学流程设计六、教学过程设计1 .设置情境:引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都 是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。如力与加速 度的关系F= m a ,位移与速度的关系1= Vt O这些公式都是实数与向量a+ 1+ a 和间的关系。师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出(-a) + (- a)+ (- a)向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？生：a+a+a的长度是a的长度的3倍，其方向与a的方向相同,(-a)+ (- a)+

4、 (-：)的长度是a长度的3倍，其方向与a的方向相反。师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，(板书课 题：实数与向量的乘积)2 .探索研究1) 定义:请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的 积？(可结合教材思考)可根据小学算术中3+ 3+ 3+ 3+ 3= 3? 5的解释，类比规定：实数入与III向量a的积就是書，它还是一个向量，但要对实数 入与向量a相乘的含义作一番解释才行。II实数入与向量a的积是一个向量，记作 舊.它的长度和方向规定如下:（1）i 尙=i 川ai.III（2）入0时，腐的方向与a的方向相同；当入0时，比的方向与 a的方向相反；特别地，当入=0

5、或a= 0时，？a=0.2）运算律：问：求作向量2（31）和6a（ a为非零向量）并进行比较，向量2（1+b）与向量2a + 2b相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）斗 -14+42（3a） = 6a , 2a + 2b = 2（a+ b）.II设a、b为任意向量，入、卩为任意实数，则有：（1）（入 + 口）3 二?3+ ； ；（2） X 鬣）=（烏）;（3）翳+ b）二：+ ?b .生:师:入、通常将（2）称为结合律，小练习1：计算：（1）（- 3）? 4a ；444（3）（2a+ 3b- c）-（3）称为分配律。(2)I4(3 a-斗 T 4 443(a+ b)- 2(a-

6、 b)- a ；4 T2b+ c).3）向量平行的充要条件：请同学们观察a= m-n , b=-2m+2n，回答a、b有何关系？ 生：因为b=- 2：，所以a、b是平行向量.引导：若a、b是平行向量，能否得出b= Xa ?为什么？可得出a二X 吗？为什么?II生：可以！因为a、b平行，它们的方向相同或相反.II师：由此可得向量平行的充要条件：向量 b与非零向量a平行的充 要条件是有且仅有一个实数X,使得b= a则由实数与向量乘积定义中第 对此定理的证明，是两层来说明的: 其一，若存在实数入，使b=盘,IIII其二，若b与a平行，且不妨令ii 0，设血=（这是实数概念）.接条可知2与a平行，即b

7、与a平行.|a|IIIIIII下来看a、b方向如何：a、b同向，则b = g，若a、b反向，则 记b= - pa，总而言之，存在实数 入（入二卩或入=-口）使b= aT T -H TT小练习2:如图：已知AD = 3AB，DE = 3BC，试判断AC与AE是否平行.解： A?= AD+ DE= 3AB+ 3BC = 3（AB+ BC）= 3ACAE与AC平行.4）单位向量:I向量a单位向量：模为1的向量.di 0）的单位向量：与a同方向的单位向量，记作:.思考:a0如何用a来表示?(a=iai?a0Tf1 呷0)=丄-? a )|a|3 .例题与练习：题1:如图，在从BC中，D是AB的中点，E

8、是BC延长线上的点，且BE= 2BC，是根据下列要求表示向量DE :（1）用 BA、BC 表示；（2）用CA、CB表E示.题2:如图，在AABC中，已知 M、N分别是AB、法证明：MN /丄BC=2AC的中点，用向量方C题3题 3:如图，已知 OA= kOAj , OB= kOB； ,OC= koCj，求证：AABC s aA1B1C1练习:P145 1 、 2、 3、 44 .课堂小结：III(1)入与a的积还是向量，蛊与a是共线的;(2)向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路。该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等 题型问题;(3)运算律暗示我们，化简向量

9、代数式就像计算多项式一样去合并同类项。5 .作业布置:练习部分 P88-89 习题3 A组2、3、4、5.P89习题3 B组2、3.6 .拓展思考题：设a、b是两个不共线向量，已知AB = 2a+ mb , CB = a + 3b，若A、B、C三点共线，求m的值。七、教学建议与说明1. 从实际问题出发引入新课，不但展示了教学的主要内容，而且 还激发了学生学习兴趣。如可以通过物理中力与加速度的关系 F= m a,位移与速度的关系1= Vt等实际问题引入实数与向量的积。2. 实数与向量的三个运算律，为了降低难度课本上没有证明，可 以结合图形给学生直观解释，程度好的学生可以适当指导给出证明, 证明的关键是向量的两要素