极坐标与参数方程知识点总结

1、第一部分：坐标系与参数方程【考纲知识梳理】1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点p（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换®:,'二需需的作用下，点Px，y网应到点P（x： yj称W为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换 2极坐标系的概念（1）极坐标系如图（1）所示，在平面内取一个定点0，叫做极点，自极点0引一条射线个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可但极坐标系和平面直

2、角坐标系都是平面坐标系（2）极坐标 设M是平面内一点，极点0与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为P;以极轴0灿始边，射线OM为终 边的角NxOM叫做点M的极角，记为9 有序数对（P,0 ）叫做点M的极坐标，记作M（P月）一般地，不作特殊说明时，我们认为P > 0,日可取任意实数特别地，当点M在极点时，它的极坐标为（0,0炉R ）。和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示如果规定P >0,0<9 £2兀，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（P，0俵示侗时,极坐标（P，9 ）表示的点也是唯一确定的3极坐标和直角坐标的互化（1）互化背景：把直角坐标系的原

3、点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图（2）所示: 互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是（X，y），极坐标是（P，9 IP>0），于是极坐标与直角坐标的互化公式如表曲线图形极坐标方程点M直角坐标（X，y ）极坐标（P0）互化公式Jx = P cos日O22.2甘=x + yy = P si n9ta n£ =（xH0） x在一般情况下，由tan8确定角时，可根据点M所在的象限最小正角4常见曲线的极坐标方程注：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即（P，0 ）（P，2兀 +0）（-Pe +£ ）（-P，兀+ 9 ）都表示

4、同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点M ! !可以表示为U 4丿一，一-2兀或MU 4/等多种形式，其中,只有M （的极坐标满足方程二、参数方程1.参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标（X, y ）都是某个变数t的函数J X = f （t ，并且对ly 二 g（t）于t的每一个允许值，由方程组所确定的点 M（x，y ）都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数（x,y 的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系

5、的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式 程.，一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方（2）如果知道变数（X, y中的一个与参数t的关系,例如x=f（t）,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y = g（t ）,那么= f （t）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使（X, y）的取ly = g（t）值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设 参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3圆的参数如图所示，设圆 0的半

6、径为r，点M从初始位置Mo出发，按逆时针方向在圆0上作匀速圆周运动，设X = r cos日M（X, y ），则J3为参数）。这就是圆心在原点 O,半径为r的圆的参数方程，其中0的几何意ly =r si n9229义是OM0转过的角度。圆心为（a,b ），半径为r的圆的普通方程是（x a） +（y-b） = r2它的参数方程为：P = a +r co前（8为参数、ly =b +r si nS4.椭圆的参数方程2以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为a2丄 =1（a>0）其参数方程为b2fx acos®护为参数），其中参数W称为离心角；焦点在y轴上的椭圆的标准方程是y

7、=bsi n W2 2x bcos 申話乍wmo淇参数方程为s屏为参数淇中参数"为离心角，通常规定参数的范围为申迂0,2兀）。注：椭圆的参数方程中，参数 W的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角a区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2兀的范围内），在其他任何一点，两个兀平兀角的数值都不相等。但当 0兰a < 一时，相应地也有 0兰®兰一，在其他象限内类似。2 25.双曲线的参数方程2 2笃_与=1(a > 0, b A 0 )其参数方程为a bx2X = b cot 申筈=1(aA0,b>0 )其参数方程为j

8、"W为参数)，其b(7 = a csCP以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线y2=2 px（ p > 0的参数方程为2X = 2 pt (t为参数) y = 2 pt7.直线的参数方程经过点M 0（X0, y ）,倾斜角为a ”工专 J的直线I的普通方程是y - y0 = tana（x- x。）而过M。区，y ）,X = x +t COSa, ,倾斜角为a的直线I的参数方程为J（t为参数）。y = yo +t sinct注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点Mo（Xo,yo ），倾斜角为a的直线I的参数方程为x = x0 +t COSa（t为参数），其中t表示直线I上以定点Mo

9、为起点，任一点M（xly = y +ts ina,y ）为终点的有向线段M0M的数量，当点M在Mo上方时，t >0；当点M在Mo下方时，t <0；当点M与Mo重合时，t=0。我们也可以把参数t理解为以Mo为原点，直线I向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。【要点名师透析】一、坐标系（一）平面直角坐标系中的伸缩变换1例在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换cp Jx 3x2y/ = y以坐标原点 O为中心，焦点在x轴上的双曲线的标准议程为仁3为参数），其中®e e宀 汁詈2焦点在y轴上的双曲线的标准方程是 丫a以上参数都是双曲线上任

10、意一点的离心角。6.抛物线的参数方程<1、 _（1）求点A -, -2经过申变换所得的点A的坐标;丿（2）点B经过W变换得到点B "（ 3,2）,求点B的坐标;（3）求直线1 : y = 6x经过W变换后所得到直线的I'方程;2C:x2 丄=1(4)求双曲线64经过®变换后所得到曲线 C'的焦点坐标。（二）极坐标与直角坐标的互化1例2在极坐标系中，如果兀5-_A（2,-）, B（2,）44为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点 C的极坐标(P >0,0 <9 <2 兀)。（三）求曲线的极坐标方程1例已知 P, Q分别在/ AOB的两边

11、OA, OB 上,/ AOB= Z," POQ的面积为8，求PQ中点M的3极坐标方程。（四）极坐标的应用例如图，点 A在直线x=4上移动，"OPA为等腰直角三角形，" OPA的顶角为/ OPA （0, P, A依 次按顺时针方向排列），求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状。二、参数方程（一）把参数方程化为普通方程'工二-4 + co 沱*例已知曲线cl： b = 叱 （t为参数），Cx = 8cos5,】：=（0为参数）。（1）化C1, cJ的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;（2）若cl上的点P对应的参数为t = - , Q为 J上的动点，求 PQ

12、 中点M到直线2x=3+2tG ： <（t为参数）距离的最小值。y =_2+t（二）椭圆参数方程的应用在平面直角坐标系xOy中，点P仇y）是椭圆上的一个动点，求的最大值解答：（三）直线参数方程的应用谬）的a的值。解析：1例过点作倾斜角为a的直线与曲线才 = +12/=1 交于点 M求PQPN的值及相应（四）圆的参数方程的应用X = 2 +罷冷9 ' （01例已知曲线C的参数方程是Iy =忑皿8 为参数），且曲线C与直线x-$y=o相交于两点A、B（1）求曲线C的普通方程；（2）求弦AB的垂直平分线的方程（【感悟高考真题】3）求弦AB的长1在极坐标系中，点（2,3 )到圆P = 2

13、cos fi"2cos 口的圆心的距离为（）(A) 2(B)2.在极坐标系中，圆P = -2sin日的圆心的极坐标是（）兀（A）（1，?）(B)兀（匸）(C)(1,0)(D)(“)X = coset3在直角坐标系xOy 中,曲线Cl的参数方程为ly =1严为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy有相同的长度单位,且以原点O为极点，以X轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为P（cos日-sin日）+1 =0,则Ci与C2的交点个数为X = 2 cos Ct4.直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为.y（Ct为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以X轴

14、正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为P（cos -sin日）+1 =0,则C1与C2的交点个数为5. （ 1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为P =2sin9+4cos0，以极点为原点，极轴为 x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为6. （2011 陕西高考理科-T15C）直角坐标系XOy中,以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,fx =3 + cos9设点A ,B分别在曲线C1 : y=4+Sin日（8为参数）和曲线C2 : P i上，则| AB |的最小值为7.（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点A

15、 , B分别在曲线（日为参数）和曲线C2 : P i上，则1 AB|的最小值为fx =3 +COS&C1: y =si n0: 8. （ 2011天津高考理科T11）.已知抛物线C的参数方程为x 8t （ t为参数）若斜率为1的直线经过抛 iy = &物线C的焦点，且与圆2 2 2（X-4） +y =r（r>°）相切，则9.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为 的交点坐标为.-ix-t2严-cos日（gEv兀）r=4 （t迂旳y=sin日和y"，它们10. （ 2）在直角坐标系xOy中，直线（I）已知在极坐标系（与直角坐标系广=岳0汽为参

16、数） l的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为ly =sin°xOy取相同的长度单位，且以原点0为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为P与直线I位置关系;（II）设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线 I的距离的最小值.lx = 5cosW11.选修4-4:坐标系与参数方程为参数）的右焦点，且与直线（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆ly = 3sin®lx=4-2tly =3-t （ t为参数）平行的直线的普通方程。x = 2coso12. （2011新课标全国高考理科T 23）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为ly=2十2s ina

17、 （0uuvUUlV为参数）M是C1上的动点，P点满足OP =2OM ,P点的轨迹为曲线 C2 （I ）求C2的方程e =-（n ）在以0为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与C1的异于极点的交点为 A，与C2的异于极点的交点为 B,求AB13. （2011新课标全国高考文科-T 23）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为X =2cosa（uuvuuuv"=2十2Si na （Ct为参数）M是C1上的动点，P点满足OP =2OM ,P点的轨迹为曲线C2 （I ）求C2的方程e =-（n ）在以O为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与C1的异于极点的交点为 A

18、，与C2的异于极点的交点为 B,求AB14. （2011 辽宁高考理科-T 23）（本小题满分10分）（选修4-4 :坐标系与参数方程）在平面直角坐标系X = cos®,j _ ./（申为参数）xOy中，曲线C1的参数方程为ly =Sin ，,曲线C2的参数方程为x=acosW,G主'（aAbAO,® 为参数）ly=bSin '在以O为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线1: 0 =a与C1 , C2各有一个交点.当a=0时，这两个交点间的距离为n2,当a= 2时，这两个交点重合.（I）分别说明C1 , C2是什么曲线，并求出 a与b的值;n当a=-4

19、时，I与C1,n（II ）设当a = 4时，I与C1, C2的交点分别为A1 , B1 ,C2的交点为A2 , B2，求四边形 A1A2B2B1的面积.15.极坐标P =C°ST和参数方程X = -1 -ty=2 +1 （t为参数）所表示的图形分别是（ D）A.直线、直线 B.直线、圆C.圆、圆 D.圆、直线 16极坐标方程（P-1）（日一兀）=（P 3。）表示的图形是（A）两个圆（B ）两条直线（C） 一个圆和一条射线（D） 条直线和一条射线17 .在极坐标系（p 0） （0 < 0 <2）n中，曲线 p=Sin日与p COST 1的交点的极坐标为X =COS日 fl1

20、8.已知P为半圆C：a （灯为参数,y = Si nB0 -日-兀）上的点，点A的坐标为（1,0） , O为坐标原点, 点M在射线OP上，线段OM与C的弧肿 的长度均为二。3（I）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标;（II ）求直线AM的参数方程。【考点模拟演练】一、选择题1. 已知极坐标平面内的点P（2,-号，则p关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为A.（2, n （1，W）B.（2, - n （1，-V3）2. 在平面直角坐标系 xOy中，点P的直角坐标为极坐标系，则点 P的极坐标可以是（）a/，一 n B.,約 C.f2，- n 叹，C.（2,（ - 1,眉）

21、D.（2,-罚,（-1,-73）（1,-73）.若以原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立3. 在直角坐标系xOy中，已知点C（- 3,Q3），若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则点 C的极坐标 （p 0 ）（ p,>- n < 0 <可写为.4.过点（2, £平行于极轴的直线的极坐标方程是 （5.P cos=e4p sin=(4D. p cos=02答案：C曲线的参数方程是（t是参数，t工0）它的普通方程是!y= 1-126.7.(X - 1)2(y - 1) = 1X X-2y =总+ 1n直线p cos=e2关于直线0= 4对称的直线方程为（p cos=0 2 B . p sin=(2C. p sin=0 2D. p= 2si nx= 1-乎t已知直线l的参数方程为厂ly=2 +当（t为参数），则直线I的斜率为 （）X = 2cos直线3x- 4y - 9= 0与圆:y = 2sin（0为参数