特殊平行四边形提高训练

1、-!特殊平行四边形提高训练一 选择题（共16小题）1. （2016?灵璧县一模）如图所示，矩形ABCD中，AE平分/ BAD交BC于E, / CAE=15 ° 则下面的结论： ODC 是等边三角形； BC=2AB ; / AOE=135 ° Saaoe=S coe,其中正确结论有（）9A21V-VCA . 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. （ 2016?鄂州一模）如图，在矩形 AOBC中，点A的坐标（-2, 1）,点C的纵坐标是4, ）B.（寻 3）、（-鲁 4） C.（寻 3）、（-寺，4） D. ,寺、3. （2016?石峰区模拟）矩形ABCD中,AB=2 , A

2、D=1 ,点M在边CD上，若AM平分/ DMB , 则DM的长是（、4 C.岛-号 D .F4. （2016?姜堰区校级模拟） 矩形ABCD中，AB=4 , BC=8 ,矩形CEFG上的点G在CD边, 则 BDF的面积是（ ）A. 32 B. 16C. 8 D. 16+a25. （ 2016?灯塔市二模）如图，在矩形 OB、OC,点E在线段BC上ABCD中，AB=3 , DC=2 , O是AD的中点，连接（点E不与点B、C重合），过点E作EM丄OB于M , EN丄OCA . 6 B . 1.5 C.备怖 D.6. （ 2016?肥城市二模）已知一个菱形的周长是形的面积是（）2 2A. 12cm

3、 B. 96cm C.7. （2015?丹东）过矩形 ABCD20cm，两条对角线的比是 4: 3,则这个菱248cm D.的对角线AC的中点O作EF丄AC ,交BC边于点 ）24cm2E,交 AD边于点F,分别连接 AE、CF .若AB=a, / DCF=30 °贝U EF的长为（A . 2 B. 3C.密2& （ 2016?天津一模）如图,点O作OH丄AB，垂足为菱形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点O, AC=8 ,H,则点O到边AB的距离OH等于（）BD=6，过）A . 2 B .耳C . W D . ¥435OB、OD ,9. （ 2016?和县一模）

4、如图，菱形 ABCD中，点0对角线AC的三等分点，连接 且OB=OC=OD .已知AC=3，那么菱形的边长为（）A .舅 B . 2 C.苗+ 1 D .210. （2016?丹东模拟）如图，在菱形V32ABCD中，对角线 AC , BD相交于点0,点E为BC）11. （2015?西城区二模）如图，将正方形D . AC=2OEOABC放在平面直角坐标系 xOy中，0是原点,）12. （2015?桐庐县模拟）如图，在正方形 一点，过点 P作PF丄AD , PE丄CD，则D. （W3,- 1）ABCD中，对角线PF+PE的值为（AC=6，点P是对角线AC上的 ）A . 32 B . 3C. 2並

5、D. 613. （2015?本溪二模）如图，在矩形 ABCD中，AD=2AB ,E、F分别是AD、BC的中点,M、N两点，则四边形 EMFN是（ ）A 正方形 B 菱形C.矩形D.无法确定14. （2015春?石林县期末）如图，在正方形 ABCD的外侧，作等边三角形 ADE，连接CE, 与对角线BD交于F,则/ BFC为（ ）EA. 75° B. 70° C. 65° D. 60°15. （2015?铁力市二模）如图，点P是正方形 PF丄CD于点F，连接EF，给出下列五个结论:ABCD的对角线 BD上一点，PE丄BC于点E; AP=EF ; AP 丄 E

6、F; / PFE= / BAP ; )个.16. （2015?陕西模拟）P为CE上任意一点，如图，E是边长为1的正方形ABCDPQ丄BC于点Q, PR丄BE于点R,的对角线BD上一点，且BE=BC , 则PQ+PR的值是（C.二解答题（共17. （2016?咸阳模拟）如图，矩形 ABCD , 中点，连接 AM、DM，求证：AM=DM .11小题）E、F 在 AB、CD 上，且 EF/ AD ,M为EF的A18. （2016?市南区一模）已知：如图，在矩形 上，且AE=CF，作EG / FH，分别与对角线（1）求证： BFH DEG ;ABCD 中，BD交于点G、H，连接EH , FG .点E在

7、边AD上，点F在边BCEGFH是什么特殊四边形？证明你的结论.19. (2016春？南京校级月考) 平分线，AE丄BE,垂足为点 证：(1)已知：如图， BE、BF分别是/ ABC与它的邻补角 / ABD的E,AF丄BF，垂足为点F, EF分别交边 AB、AC于点M和N .求四边形AFBEMN= 2bC .2是矩形;D是BC边的中点，F, E分别是AD及其延长20. (2016?安徽模拟)如图，在 ABC中, 线上的点，CF/ BE,连结BF, CE .(1) 求证：四边形BFCE是平行四边形；BECF是菱形？并说明理由.(2) 当边AB、AC满足什么条件时，四边形ABCD中，F为边BC的中点

8、，DF与对角线 AC21. (2016?十堰模拟)已知：如图，在菱形 交于点M，过M作ME丄CD于点E, /仁/2.(1 )若CE=2，求BC的长；(2)求证：ME=AM - DF . ABC中，/ ABC=90 ° BD为AC的中线，过点 C作 CE丄BD于点E,过点A作BD的平行线，交 CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取 FG=BD，连接 BG、DF .(1) 求证：BD=DF ;(2) 求证：四边形 BDFG为菱形；AC上，点F在边BC(1) 求证：AE=CG ;(2) 试判断BE和DF的位置关系，并说明理由.24. (2016?景德镇校级二模)如图，在四边形 ABCD中

9、，AB=BC，对角线BD平分/ ABC , P是BD上一点，过点 P作PM丄AD , PN丄CD，垂足分别为 M , N .(1 )求证：点A与C关于直线BD对称.(2)若/ADC=90 °求证四边形 MPND为正方形.25. (2015?滕州市模拟)已知：如图，正方形 ABCD中，点E在BC的延长线上，AE分别 交DC, BD于F, G,点H为EF的中点.求证：(1) / DAG= / DCG ;26. (2016春？丹阳市校级月考)如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,E是AC上的一点，过点 A作AG丄BE，垂足为 G, AG交BD于点F.(1) 试说明OE=OF

10、;(2) 当AE=AB时，过点E作EH丄BE交AD边于H，找出与 AHE全等的一个三角形加 以证明，(3) 在(2)的条件下若该正方形边长为1，求AH的长.证明：P C=PE;求/ CPE的度数；如图2,把正方形 ABCD改为菱形 ABCD，其他条件不变，当 / ABC=120时，连接27. (2015?荆州)如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点 E在AD的延 长线上，且PA= PE, PE交CD于F.(1)(2)(3)特殊平行四边形提高训练参考答案与试题解析一 选择题（共16小题）1. （2016?灵璧县一模）如图所示，矩形ABCD中，AE平分/ BAD交BC于E, / C

11、AE=15 ° 则下面的结论： BC=2AB ; / AOE=135 ° $ aoe=S cOE, ODC是等边三角形；其中正确结论有（）B. 2个C. 3个 根据矩形性质求出 求出AC=2AB ,即可判断 ，求出/ BOE=75 ° / AOB=60 °相加即可求出 / AOE ,aoe=Scoe.D. 4个OD=OC，根据角求出/ DOC=60。即可得出三角形 DOC是等边A. 1个【分析】三角形，根据等底等高的三角形面积相等得出：【解答】 解：四边形ABCD是矩形， / BAD=90 ° OA=OC , OD=OB , AC=BD , O

12、A=OD=OC=OB ,/ AE 平分 / BAD , / DAE=45 ° / CAE=15 ° , / DAC=30 °/ OA=OD , / ODA= / DAC=30 ° / DOC=60 °/ OD=OC , ODC是等边三角形， 正确；四边形ABCD是矩形， AD / BC, / ABC=90 ° / DAC= / ACB=30 ° AC=2AB , AC > BC , 2AB > BC , 错误；/AD / BC, / DBC= / ADB=30 °/ AE 平分 / DAB , / DA

13、B=90 ° , / DAE= / BAE=45 ° ,/AD / BC, / DAE= / AEB ,-!./ AEB= / BAE ,AB=BE ,四边形ABCD是矩形，./ DOC=60 °, DC=AB , DOC是等边三角形， DC=OD , BE=BO , / BOE= / BEO=± （ 180°- / OBE） =75 ° °2/ / AOB= / DOC=60 ° °/AOE=60 +75 °135 ° 正确；/ OA=OC ,根据等底等高的三角形面积相等得出Saao

14、e=Scoe，正确;故选C.2. （ 2016?鄂州一模）如图，在矩形 AOBC中，点A 则B、C两点的坐标分别是（）的坐标（-2 , 1）,点C的纵坐标是4 ,A q，1 3 2（"刁 4） B -（叵,3）、（ - , 4）T- 4zznI 4）如过点A、B作x轴的垂线垂足分别为 F、M .过点C作y轴的垂线交FA、根据【分析】 AOF S CAE , AOF BCN , ACE BOM 解决问题.【解答】解：如图过点 A、B作x轴的垂线垂足分别为 F、M 过点C作y轴的垂线交FA、 点A坐标（-2, 1），点C纵坐标为4, AF=1 , FO=2 , AE=3 ,/ / EAC

15、+ / OAF=90 ° ° / OAF+ / AOF=90 ° ° / EAC= / AOF ,/ / E= / AFO=90 ° ° AEC sA OFA ,.EC AE卷育F , EC电，点C坐标（-寺4）, aOF BCN , AEC BMO , CN=2 , BN=1 , BM=MN - BN=3 , BM=AE=3 , OM=EC,点B坐标煜3），3.（ 2016?石峰区模拟）矩形ABCD中,AB=2 , AD=1 则DM的长是（）,点M在边CD上，若AM平分/ DMB ,得出/ BAM= / AMD，再由角平分线证出 /

16、 BAM= 求出CM，即可得出DM的长.【解答】 解：四边形ABCD是矩形， CD=AB=2 , AB / CD , BC=AD=1 , / C=90 ° / BAM= / AMD ,/ AM 平分/ DMB , / AMD= / AMB , / BAM= / AMB , BMB=AB=2 ,-cm-BC=V2 DM=CD - CM=2 -Vs； 故选：D.BC=AD=1 , / C=90 °由平行线的性质/ AMB ,得出MB=AB=2，由勾股定理4. （2016?姜堰区校级模拟）EF=a，CE=2a，连接 BD、矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，BF、DF，贝U

17、BDF的面积是（矩形CEFG上的点G在CD边,）F2A. 32 B. 16 C. 8 D. 16+a【分析】根据两个矩形面积之和加上三角形DGF面积，减去 ABD面积与 BEF面积，求出 BDF面积即可.【解答】 解：根据题意得：I2 - 16 - a2-1 11 2 BDF 的面积=8 >4+2a?a4 X2a （4- a）-土 X8>4-da （2a+8） =32+2a2+4a - a2 2 24a=16; 故选：B.5. （ 2016?灯塔市二模）如图，在矩形 ABCD中，AB=3 , DC=2 , O是AD的中点，连接DA. 6OB、OC,点E在线段BC上（点E不与点B、C

18、重合），过点E作EM丄OB于M , EN丄OC 于N，则EM+EN的值为（）B. 1.5 C.韶D .【分析】连接OE,由矩形的性质得出 CD=AB=3 , AD=BC=2 , / A= / D=90 °由勾股定理 得出OB=OC= Jpj，由 OBE的面积+ OCE的面积= OBC的面积，即可得出结果.【解答】解：连接OE,如图所示：四边形ABCD是矩形， CD=AB=3 , AD=BC=2 , / A= / D=90 °/ O是AD的中点， AO=DO=1 ,OB=OC=OC?ENBC?AB ,= >2 X3,解得：EM+EN=和冠;5 OBE的面积+ OCE的面

19、积= OBC的面积,冷 OB?EM+* (EM+EN )故选：D.20cm，两条对角线的比是 4: 3，则这个菱224cm6. （ 2016?肥城市二模）已知一个菱形的周长是形的面积是（）2 2 2A. 12cm B. 96cmC. 48cm D .【分析】 先求出菱形的边长，然后设菱形的两对角线分别为8x , 6x，根据菱形的对角线垂直平分求出两对角线的一半，再利用勾股定理列式求出x，从而得到对角线的长，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解.【解答】 解：菱形的周长是20cm,边长为20韶=5cm ,两条对角线的比是 4: 3,设菱形的两对角线分别为8x, 6x,根据菱

20、形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，则对角线的一半分别为4x, 3x,根据勾股定理得，（4x） 2+ （ 3X） 2=52,解得x=1 ,两对角线分别为 8cm, 6cm,所以,这个菱形的面积 >8 >6=24cm 2.3所以，故选:7. （2015?丹东）过矩形ABCD的对角线AC的中点0作EF丄AC,交BC边于点E,交AD 边于点F,分别连接 AE、CF .若AB=V§, / DCF=30 °贝U EF的长为（）B. 3C.当 D .巫2【分析】求出/ ACB= / DAC，然后利用 角角边”证明 AOF和 COE全等，根据全等三 角形对应边相等可得 O

21、E=OF ,再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形AECF是菱形，再求出/ ECF=60 °然后判断出 CEF是等边三角形，根据等边三角形的三条边都 相等可得EF=CF，根据矩形的对边相等可得CD=AB，然后求出CF，从而得解.【解答】 解：矩形对边AD / BC , / ACB= / DAC ,/ O是AC的中点， AO=CO ,在 AOF和 COE中，rZACB=ZDACAO 二 CO,ZAOK=ZCOE AOF COE (ASA ),OE=OF ,又 EF丄 AC ,四边形AECF是菱形，/ / DCF=30 ° / ECF=90 30°60

22、76; CEF是等边三角形， EF=CF ,- AB=, CD=AB=體, / DCF=30 ° CF3近=2 , EF=2 .故选A .A. 2& （ 2016?天津一模）如图，菱形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点 O, AC=8 , BD=6，过 点O作OH丄AB，垂足为H,则点O到边AB的距离OH等于（）OH的B. i C. 3 D .晋【分析】长.【解答】因为菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出 解：四边形ABCD是菱形，AC=8 , BD=6 , BO=3 , AO=4 , AO 丄 BO ,-ab=+B0=5.11AO?BO=22/

23、 OH 丄 AB ,AB?OH,5普,故选D .9. （ 2016?和县一模）如图，菱形 ABCD中，点0对角线AC的三等分点，连接 OB、OD ,那么菱形的边长为（）【分析】由菱形的性质得出 AB=BC ,得出/ BAC= / ACB ,由已知条件得出OB=OC=AC=1 ,3由等腰三角形的性质得出 B0CABC，得出对应边成比例罟堆,即可求出菱形的边长.【解答】 解：四边形ABCD是菱形， AB=BC , / BAC= / ACB , 的三等分点， ob=oc=2ac=i ,3 / BAC= / ACB= / OBC , BOCsA ABC ,所以型，BA AC即丄竺BA 32 BA =3

24、 , BA=|V1 ；故选：A.点0对角线AC10. （2016?丹东模拟）如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC , BD相交于点0,点E为BC 的中点，则下列等式中一定成立的是（）A. AB=BE B. AC=2AB C. AB=2OE D. AC=2OE【分析】由菱形的性质以及三角形中位线定理逐项分析即可.【解答】解：点E为BC的中点， CE=BE= *BC ,/ AB=BC , AB=2BE，故选项 A错误;在菱形ABCD中，对角线 AC , BD相交于点0, AO=CO= |2ac,|2OE是 ABC的中位线，.OE=AB，故选项 C正确；2/ AC桃毛C, AC老AB老OE，故选项

25、 B , D错误， 故选C.11. （2015?西城区二模）如图，将正方形 OABC放在平面直角坐标系 xOy中，0是原点, 若点A的坐标为（1,讥j）,则点C的坐标为（）o1 'B. (- 13) C.(-近 1) D. (-”1,-1)A .(V)【分析】 作AD丄轴于D，作CE丄x轴于E,则/ ADO= / OEC=90 °得出/ 1+ / 2=90°由 正方形的性质得出 OC=AO , / 1 + / 3=90 °证出/ 3= / 2，由AAS证明 OCE AOD , OE=AD=M1 , CE=OD=1，即可得出结果.【解答】 解：作ad丄轴于D

26、，作CE丄x轴于E,如图所示：贝U/ ADO= / OEC=90 ° / 1+ / 2=90°点A的坐标为(1, V5),OD=1 , AD= ,四边形OABC是正方形， / AOC=90 ° OC=AO , / 1+ / 3=90° ,/ 3= / 2 ,在 OCE和 AOD中，rZ0EC=ZAD0Z5=Z2,OC=A!0I OCE AOD (AAS ),OE=AD=V , CE=OD=1 ,点C的坐标为(-, 1);故选：C.12. （2015?桐庐县模拟）如图，在正方形 ABCD中，对角线AC=6，点P是对角线AC上的 一点，过点 P作PF丄AD

27、, PE丄CD，贝U PF+PE的值为（）A . 3血 B . 3 C.赣 D. 6P , PE巫PC,即可得出结论.2 2【解答】 解：/四边形ABCD是正方形， / BAD= / BCD=90 ° / PAF=/ PCE=45 °/ PF 丄 AD , PE丄 CD , APF和CPE是等腰直角三角形，72P E PC,2【分析】由正方形的性质得出 / PAF= / PCE=45 °证出APF和CPE是等腰直角三角形, 得出pfZaC=W2 ；(AP+PC) P F=A P, PF+P E=2 故选：A.A .正方形 B .菱形C.矩形D.无法确定 【分析】利

28、用矩形的性质与判定方法得出四边形 的性质得出AM=ME ,【解答】解：四边形 AD / BC , AD=BC , 又 E, F分别为AD , AE / BF, ED / CF ,13. （2015?本溪二模）如图，在矩形 ABCD中，AD=2AB , E、F分别是 AD、BC的中点, M、N两点，则四边形 EMFN是（ ）EMFN是矩形，进而利用等腰直角三角形 BM=MF=AM ，贝U ME=MF，进而求出即可.ABCD为矩形，/ EAB= / ABF= / BCD= / CDA=90 °BC 中点，AD=2AB ,AE=BF=DE=CF=AB=DC , / ABE= / AEB=

29、/ DEC= / DCE= / DFC=45 °, / BEN=90 °,又 DeJLbF , AE童FC,四边形EMFN是矩形， AM 丄 BE , BM 丄 AF , AM=ME , BM=MF=AM , ME=MF ,四边形EMFN是正方形. 故选：A.14. （2015春?石林县期末）如图，在正方形 ABCD的外侧，作等边三角形 ）ADE，连接 CE,B. 70° C.65 ° D. 60A. 75【分析】 由于四边形ABCD是正方形， ADE是正三角形，由此可以得到 利用正方形和正三角形的内角的性质即可求解.【解答】 解：/四边形ABCD是正方

30、形， / ADC=90 °, AD=DC，又 ADE是正三角形， CD=DE，/ ADE=60 °, CDE 是等腰三角形， / CDE=90 °+60 丄150 °,/ ECD= / DEC=15 °,/ / BDC=45 °,/CFD=18015°-45 °=120 / BFC=60故选DCD=DE，接着15. （2015?铁力市二模）如图，点P是正方形 PF丄CD于点F，连接EF，给出下列五个结论: PD=EC ； PB2+ PD2=2pa2，正确的有（ABCD的对角线BD上一点， AP=EF ; AP 丄

31、EF; / PFE= / BAP ; ）个.PE丄BC于点E;【分析】【解答】3 D. 2 正确; 正确; 错误， 故选B .延长 AP,交 EF 于点 N，则/EPN= / BAP= / P CE= / PFE,可得 AP 丄 EF; / PFE= / PCE= / BAP ;PD=PF=JjcE; 正确，2 2 2PB2+P D2=2 pa2.16. (2015?陕西模拟)如图，E是边长为PQ丄BC于点Q,1的正方形 ABCD的对角线 BD上一点，且BE=BC ,PR丄BE于点R,贝U PQ+PR的值是（）逅D也2 . 2连接BP,利用面积法求解，PQ+PR的值等于C点到BE的距离，即正方

32、形对角线【分析】的一半.【解答】/BCE=SaBPE+S BPC=BC >PQ> +BE >PR> =BC >( PQ+PR) >解：连接BP，过C作CM丄BD ,=BE >CM 易，BC=BE , PQ+PR=CM ,根据正方形的性质与正方形关于对角线对称可得所给选项的正误. 解: 正确，连接 PC,可得 PC=EF , PC=PA, AP=EF ; BE=BC=1，且正方形对角线 BD=QlBC=/j, 又 BC=CD , CM 丄 BD , M为BD中点，又 BDC为直角三角形， cm=2bd= ,32即PQ+PR值是返.2【分析】形，得出可.【

33、解答】在 AEM 和 DFM AEM DFM AM=DM .AE=DF中，” Zaeh=Zdfii*(SAS),18. （2016?市南区一模）已知：如图，在矩形 上，且AE=CF，作EG / FH，分别与对角线（1）求证： BFH DEG ;（2）连接DF，若BF=DF，则四边形EGFHABCD中，点E在边AD上，点F在边BC BD交于点G、H，连接EH , FG .是什么特殊四边形？证明你的结论.二解答题（共11小题）17. （2016?咸阳模拟）如图，矩形 ABCD , E、F在AB、CD上，且EF / AD , M为EF的 求证：AM=DM .由矩形的性质得出 AE / DF, / B

34、AD=90 °再由EF/ AD，证出四边形 AEFD是矩AE=DF , /AEM= / DFM=90 °由SAS证明 AEM DFM，得出对应边相等即证明：/四边形ABCD是矩形, AE / DF , / BAD=90 °/ EF / AD ,四边形AEFD是矩形，/ DFM=90 ° AE=DF , / AEM= M为EF的中点， EM=FM ,【分析】(1)由平行四边形的性质得出 AD / BC , AD=BC , OB=OD，由平行线的性质得出/ FBH= / EDG , / OHF= / OGE，得出/ BHF= / DGE，求出 BF=DE，由

35、 AAS 即可得出结 论；(2) 先证明四边形 EGFH是平行四边形，再由等腰三角形的性质得出EF丄GH，即可得出四边形EGFH是菱形.【解答】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， AD / BC , AD=BC , OB=OD , / FBH= / EDG ,/ AE=CF , BF=DE ,/ EG / FH , / OHF= / OGE , / BHF= / DGE ,在 BFH和 DEG中，r ZFBH=ZEDG:Zbhk=Zdge ,BK=DE BFH BA DEG ( AAS );(2)解：四边形EGFH是菱形；理由如下：连接DF，如图所示：由(1)得：BFH ba deg ,

36、 FH=EG ,又 EG / FH ,四边形EGFH是平行四边形，/ BF=DF , OB=OD , EF 丄 BD , EF 丄 GH ,四边形EGFH是菱形.19. (2016春？南京校级月考)已知：如图， BE、BF分别是/ ABC与它的邻补角 / ABD的 平分线，AE丄BE ,垂足为点E, AF丄BF ,垂足为点F, EF分别交边 AB、AC于点M和N .求 证：(1)四边形AFBE是矩形；(2) MnJbC .2【分析】(1 )由BE、BE是角平分线可得/ EBF是90°进而由条件中的两个垂直可得两个 直角，可得四边形 AEBF是矩形；(2)由矩形的F质可得/ 2= /

37、5进而利用角平分线的性质可得 / 1 = / 5,可得ME / BC ,进 而可得N为AC中点，根据三角形中位线性质求出即可.【解答】 证明：(1) / BE、BF分别是 ABC中/B及它的外角的平分线， / 1 = / 2, / 3= / 4,/ / 1+ / 2+/ 3+ / 4=180° / 2+ / 3=90° AE丄BE , E为垂足，AF丄BF , F为垂足， / AFB= / AEB=90 °四边形AEBF为矩形；(2) /四边形AEBF为矩形,20. (2016?安徽模拟)如图，在 ABC中，D是BC边的中点，F, E分别是AD及其延长 线上的点，

38、CF/ BE,连结BF, CE .(1) 求证：四边形BFCE是平行四边形；(2) 当边AB、AC满足什么条件时，四边形 BECF是菱形？并说明理由.c【分析】(1)由已知各件，据 AAS很容易证得： BDE CDF ;BECF是菱形.在 ABC中，D是BC边的中点,(2)连接BF、CE ,由AB=AC , D是BC边的中点，可知AD丄BC ,易证得 BFD CFD , 可得BF=CF ;又因为(1)中 BDE g CDF得ED=FD，所以EF、BC互相垂直平分，根 据菱形的性质，可得四边形【解答】(1)证明： BD=CD ,/ CF / BE,中, / CFD= / BED , 在 CFD

39、和 BED r ZCFD=ZBED:CD二BDZFDC=ZEDB(AAS ), CFDBED CF=BE ,四边形BFCE是平行四边形；(2)解：当AB=AC时，四边形BECF是菱形；理由如下： AB=AC , D是BC边的中点， AD 丄 BC , EF 丄 BC,四边形BECF是菱形.21. (2016?十堰模拟)已知：如图，在菱形 ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线 AC 交于点M，过M作ME丄CD于点E, /仁/2.(1 )若CE=2，求BC的长；(2)求证：ME=AM - DF .ACB=CD , AB / CD，然后再证明/ 2= / ACD，根据等角 对等边可得MC=MD

40、，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CE=4，进而可得BC=4 .(2)延长DF , BA交于G,首先证明 CEM CFM可得ME=MF，然后再证明 CDFBGF可得DF=GF，然后证明/ 1 = / G,根据等角对等边可得 GM=CM，利用线段的和差关系可得结论.【解答】(1)解：四边形ABCD是菱形， CB=CD , AB / CD , / 1 = / ACD ./ / 1 = / 2, / 2= / ACD , MC=MD ./ ME 丄 CD , CD=2CE=4 , BC=CD=4 ;(2)证明：如图，延长 DF , BA交于G,四边形ABCD是菱形， / BCA= / DCA

41、 ./ BC=2CF，CD=2CE , CE=CF .r CM=CH在 CEM 和 CFM 中，Jzbc匾二Zdca,l'CE=CF CEM BA CFM ( SAS), ME=MF ./ AB / CD ,/ 2= / G, / GBF= / BCD , F为边BC的中点，/ CF=BF ,在 CDF和 BGF中,« zgbf=Zbcd ,BF=Cr CDF BGF ( AAS ), DF=GF ./ / 1 = / 2, / G=/ 2, / 1 = / G, AM=GM=MF+GF=DF+ME ,22. (2016?东平县一模)如图，在 ABC CE丄BD于点E,过点A

42、作BD的平行线, FG=BD，连接 BG、DF .(1)(2)(3)求证：BD=DF ;求证：四边形 BDFG为菱形；若AG=13，CF=6，求四边形 BDFG中，/ ABC=90 ° BD为AC的中线，过点 C作 交 CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取的周长.【分析】(1)先可判断四边形 BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一 半，可得BD=FD ;(2) 由邻边相等可判断四边形 BGFD是菱形；(3) 设GF=x，贝U AF=13 - X, AC=2x，在Rt ACF中利用勾股定理可求出 x的值.【解答】(1)证明：/ / ABC=90 ° BD为

43、AC的中线， BD=討，/ AG / BD , BD=FG ,四边形BGFD是平行四边形,/ CF 丄 BD , CF 丄 AG ,又点D是AC中点， DFAC , BD=DF ;(2) 证明：/ BD=DF ,四边形BGFD是菱形，(3) 解：设 GF=x，贝U AF=13 - X, AC=2x ,在 Rt ACF 中，/ CFA=90 ° AF2+CF2=AC2，即(13 - X) 2+62= (2x) 2 解得：x=5 ,四边形BDFG的周长=4GF=20 .23. （2016?南岗区模拟）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，连接BE、DF，DF交对角

44、线 AC于点G,且DE=DG .（1）求证：AE=CG ;（2）试判断BE和DF的位置关系，并说明理由.A【分析】(1)先证/ AED= / CGD，再证明 ADECDG，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论；(2)先证明 AEB CGD，得出对应角相等 / AEB= / CGD，得出/ AEB= / EGF，即可 证出平行线.【解答】 解：(1)证明：在正方形 ABCD中，/ AD=CD , / DAE= / DCG ,/ DE=DG , / DEG= / DGE, / AED= / CGD .在 AED和 CGD中，rZDAE=ZDCG：Zaed=ZcgdIde=dg AED CGD (

45、AAS ), AE=CG .(2)解法一：BE II DF，理由如下：在正方形 ABCD中，AB II CD, / BAE= / DCG .在 AEB和 CGD中，rAE=CGZbae=ZdcgAB 二 CDI AEB BA CGD ( SAS), / AEB= / CGD ./ / CGD= / EGF, / AEB= / EGF , BE II DF .解法二：BE II DF，理由如下: 在正方形ABCD中，/ AD II FC,- = .AG AD/ CG=AE , AG=CE .又在正方形ABCD中，AD=CB , CG_CF"E= CB.又 / GCF= / ECB ,

46、CGFsACEB , / CGF= / CEB , BE / DF .24. (2016?景德镇校级二模)如图，在四边形 ABCD中，AB=BC，对角线BD平分/ ABC , P是BD上一点，过点 P作PM丄AD , PN丄CD，垂足分别为 M , N .(1 )求证：点A与C关于直线BD对称.为正方形.(2)若/ADC=90 °求证四边形 MPND/ ABD= / CBD，然后在 ABD 和 CBD 中,/ ADB= / CDB , AD=CD，根据等腰三角形的性【分析】(1)首先根据角平分线的定义求出 根据SAS证明两个三角形全等，进而得到 质可得BD垂直平分AC,进而可得点 A

47、与C关于直线BD对称；(2)首先证明四边形 PMDN是矩形，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得 PM=PN ,进而可得四边形 MPND为正方形.【解答】证明：(1)连接AC ,/ BD 平分 / ABC , / ABD= / CBD , 在 ABD和 CBD中， Zabd=Zdcb ,BD=BDI ABD CBD ( SAS), / ADB= / CDB , DA=DC , BD垂直平分AC ,点A与C关于直线BD对称； (2) / PM 丄 AD , PN 丄 CD , / PMD= / PND=90 °/ / ADC=90 °-四边形PMDN是矩形，-/ ADB

48、= / CDB , BD 平分 / ADC ,PM 丄 AD , PN 丄 CD , PM=PN,.四边形MPND为正方形.AD已知：如图，正方形 ABCD中，点E在BC的延长线上，AE分别25. (2015?滕州市模拟)交DC，BD于F，G，点H为EF的中点. 求证：(1) / DAG= / DCG ;【分析】(1)要证明/ DAG= / DCG，需把两角放到两三角形中，证明两三角形 ADG与 CDG全等得到，全等的方法是：由ABCD为正方形，得到AD与DC相等，/ ADB与/ CDB 相等，再加上公共边 DG,利用SAS”得到全等，利用全等三角形的对应角相等得证；(2)要证明GC与CH垂直

49、，需证/ GCH=90 °即/ FCH+ / DCG=90 °方法是：由正方形 的对边AD与BE平行，根据两直线平行，内错角相等得到/ DAF与/ E相等，由(1)得到的/ DAG与/ DCG相等，等量代换得到/ E与/ DCG相等，再由CH为直角三角形 ECF 斜边上的中线，得到 CH与HE相等都等于斜边EF的一半，根据 等边对等角”得到/ E与/ HCE 相等，又 / FCH+ / DCG 等于 90° 等量代换得到 / FCH+ / DCG=90 ° 即/ GCH=90 ° 得证.【解答】证明：(1) / ABCD为正方形， AD=DC

50、, / ADC=90 ° / ADB= / CDB=45 °又 DG=DG , ADGCDG , / DAG= / DCG ;(2) / ABCD为正方形， AD / BE , / DAG= / E,又/ DAG= / DCG , / E= / DCG , H为直角三角形 CEF斜边EF边的中点, ch=he=2ef,2 / HCE= / E , / DCG= / HCE ,又/ FCH+ / HCE=90 ° / FCH+ / DCG=90 ° ,即/ GCH=90 ° GC 丄 CH .26.(2016春？丹阳市校级月考)如图，已知正方形E是AC上的一点，过点 A作AG丄BE，垂足为G,(1)试说明OE=OF;(2 )当AE=AB时，过点E作EH丄BE交AD边于 以证明，(3)在(2)的条件下若该正方形边长为1，求AHABCD的对角线AC、BD相交于点 0, AG交BD于点F.H，找出与 AHE全等的