点到直线地距离定律

1、§7 向量应用举例7.1点到直线的距离公式7. 2 向量的应用举例学习目标1. 了解直线法向量的概念2会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学 问题及一些实际问题3进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.r预习导学 聾 挑战自我，盒直落实|Ax0+ Byo + C|寸 A2 + B23 .向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行洪线)的等价条件：a /b(b工0)? a =入b ? xiy2 X2yi= 0.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、 正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a,b , a 丄 b ? a b = 0?

2、X1X2 + y1y2 = 0.xiX2+ yiy2a b求夹角问题，往往利用向量的夹角公式 cos e= J J.|a|b| px2 + y2 寸 x2 + y(4) 求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：&|=心.4 .向量方法在物理中的应用(1) 力、速度、加速度、位移都是向量.(2) 力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减运篡，运动的叠加亦用到向量的 合成.(3) 动量 mv是数乘向量.功即是力F与所产生位移s的数量积.r课堂讲义上»点难点，个个击战要点一直线法向量(或方向向量)的应用例 1已知 ABC 的三顶点 A(0， 4)

3、, B(4,0) , C( 6,2)，点 D、E、F 分别为边 BC、CA、AB的中点.(1)求直线DE、EF、FD的方程;(2) 求AB边上的高线CH所在的直线方程.解 (1)由已知得点 D( 1,1) , E( 3 , 1), F(2 , 2).设点M(x, y)是直线DE上任一点,则dM /DE, DM = (X + 1 , y 1), DE = ( 2, 2) 2) x(x + 1) ( 2)(y 1) = 0,即 xy + 2 = 0为直线DE的方程.同理可求，直线 EF、FD的方程分别为 X+ 5y + 8= 0, x + y = 0.设点N(x, y)是 CH所在的直线上任一点，

4、 则cN丄AB, CN AB = 0, CN = (x+ 6 , y 2),AB = (4,4) , 4(x + 6) + 4(y 2) = 0 ,即卩x + y + 4 = 0为所求直线 CH所在的直线方程.规律方法对于解析几何中的有关直线平行与垂直问题，常常可以转而考虑与直线相关的向 量的共线与垂直，这样一来将形的问题转化为相关数的问题，从而容易将问题解决.跟踪演练1 求点Po( 1,2)到直线I： 2X+ y 10 = 0的距离.解 方法一 取直线I的一个法向量为n = (2,1), 在直线I上任取一点 P(5,0) , PP0= ( 6,2), 点到直线I的距离d就是PP0在法向量n上

5、的射影.设PP。与n的夹角为0.d = IPPollcos e|= IPPol 也|PP0| n|PP0 n|12 + 2厂=25.|n|故点P0到直线I的距离为2a/5.方法二由点到直线的距离公式得|AX0+ Byo + C|2 x 1+ 1 X2 10|要点二向量在平面几何中的应用 例 2 如图，已知 Rt OAB 中，/AOB = 90 ° , OA = 3 , OB = 2 , M 在 OB 上，且 OM = 1,N在OA上，且 ON = 1 , P为AM与BN的交点，求/ MPN .1 1解 设oA = a, OB = b，且 AM , BN 的夹角为 e,则 oM = -

6、b , oN = -a ,2 31 1又皿=OM - OA=-b - a, bn=赤-OB=-a-b,1 1AM Bn = Tb a 孑b = 5,2 3|aM |=a/10, |BN| =寸5,卫 .cos e =厂 /= 寸5 1023 n又5 0,冗,"=7 又 v/MPN即为向量aM , BN的夹角,规律方法 (1)本题可以选择oA , OB作为基向量，这是两个互相垂直的向量，选用这组特殊的基向量可以简化运算.(2)本题也可以建立平面直角坐标系进行求解.把平面几何中求角的问题转化为向量的夹角问 题是平面向量的工具性体现之一，转化时一定要注意向量的方向.跟踪演练2 已知AABC

7、中，/ BAC = 60 °,AB = 4 , AC = 3，求BC的长.解 以A为原点建立如图所示平面直角坐标系，则A(0,0) , B(4cos 60 °,4sin 60 °), C(3,0),AC= (3,0) , AB = (2 , 2©)/BC= Ac - AB = (1 , - 2), 诚1=寸1 + (-2血2=丽 要点三 利用向量解决物理中的问题例3 在风速为75(6-乂2) km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行, 求没有风时飞机的航速和航向.解 设向量a表示风速，b表示无风时飞机的航行速度，c表示有风时飞机的航行

8、速度，则 c = a+ b.如图，作向量Oa = a, OB = b , Oc = c,则四边形 OACB为平行四边形.过C、B分别作OA的垂线，交 AO的延长线于 D、E点.由已知，|OA|= 75(&-a/2) , |OC| = 150，/COD = 45 °.在 Rt COD 中，OD = OCcos 45 °=5 寸2, CD = 75/2.又 ED= BC = OA = 75(寸6 -(2),QE= OD + ED= 75/6.又 BE= CD = 75 乂 在 Rt OEB 中，OB =寸OE2+ BE2 = 150 (2,sin /BOE = OB =

9、 2，-|ObI = 150&，/BOE= 30 故没有风时飞机的航速为150 (2 km/h，航向为西偏北 30 ° 规律方法用向量的有关知识研究物理中有关力与速度等问题的基本思路和方法如下: (1)认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系;(2)通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题;(3) 利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的解;（4）利用这个结果，对原物理现象作出解释.跟踪演练3如图，在细绳0处用水平力F2缓慢拉起所受重力为 G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为e,绳子所受到的拉力为Fi.（1）求|Fi|, |F2|随角e的变化而变化的情况

10、;当|Fi|W2|G|时，求角e的取值范围.解（1）如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得|Fi| =|G|,|F2|=|G|tane. cos e当e从0 °趋向于90。时，|Fi|,|G|由，得 |Fi|=coseG|F2|都逐渐变大.由 |Fi|W2|G|，得 cos又因为0°Wv 90，所以0 °g60 °.解析设直线li, 12的法向量为ni, n2,则 ni = (3,1),n2 = (m , i).由题意cos 45|ni n2|3m i| 念2|ni|m2| i + m2当愛训练,1整理得2m2 3m 2 = 0，解得 m = 2

11、或m =-22 .已知A(1,2) , B( 2,1)，以AB为直径的圆的方程是 答案 X2+ y2 + X 3y = 0 解析 设P(x, y)为圆上任一点，则AP = (X 1 , y 2), Bp=(X+ 2 , y 1), 由 AP Bp=(X 1)(x + 2) + (y 2)(y 1) = 0 , 化简得 X2 + y2 + X 3y = 0.3 正方形 OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，试求cos /DOE的值.解 以OA, OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知:1/CD0X£打od =1,2，2，1，Od Oe故 cos /DOE

12、=|OD|QE|1 11 X-+-X13 km/h，方向正东，风2 2 4解如图，设水的速度为 V1,A 梯形B .菱形风的速度为V2, V1+ V2 = a.易求得a的方向是北偏东30a的大小是3 km/h.设船的实际航行速度为 V.方向由南向北，大小为23 km/h , 船本身的速度为V3，则a + V3= V,即V3 = v a,数形结合知V3的方向是北偏西60大小是3 km/h.课堂小结 1.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.禾U用向量解决平面 几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；一种思 路是建立坐标系，求出题目中涉及到

13、的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的计算获得几 何命题的证明.2.用向量理论讨论物理中相关问题的步骤(2)模型的建立，建立以得到答案，回到物理般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题;向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解;现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.r分层训练 聾僻疑刎偏，训竦检测一、基础达标1.已知A, B, C, D四点坐标分别是(1,0) , (4,3) , (2,4) , (0,2)，则此四边形为()C .矩形D .正方形答案 A解析 AB = (3,3) , DC = (2,2) , aAb /DC, |AB|dC|,a 四

14、边形为梯形.2 当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为B,两人用力都为|F|,若|F| = |G|,则e的值为（）A. 30B. 60C. 90D . 120答案 D解析 作OA = F1, OB = F2, OC = G，则OC=OA + OB，当 |F1|=旧|= |G|时，aoac 为正三角形，/ AOC = 60 °，从而小OB = 120 °3 .平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(DB + DC 2DA)(Ab aC) = 0,则 AABC 的形状是（）A .直角三角形B .等腰三角形C .等腰直角三角形D.无法确定答案 B 解析 由(DB + DC 2I

15、DA) (AB AC) = 0, 得(DB IDA) + (DCDA) (AB AC) = 0, 所以(AB+AC) (AbAC) = 0.所以 IABI2 - |aC|2 = |aC| , 故ABC是等腰三角形.4 .已知直线li的方向向量为a = （1,3），直线12的方向向量为b = （ 1 ,k）,若直线12过点（0,5）,且l1丄l2，则直线l2的方程是（）A . x + 3y 5 = 0B. x + 3y 15 = 0C. x 3y + 5 = 0D . x 3y + 15 = 0答案 B解析 .小丄 l2,.a丄b ,£ b = 1 + 3k= 0,11k = 3, l

16、2 的方程为 y = -x+ 5，即 X+ 3y 15 = 0.3 3 故选B.5 过点A( 2,1)且平行于向量a = (3,1)的直线方程为 答案 x 3y + 5 = 0 解析 设P(x, y)是所求直线上的任一点,AP = (X + 2 , y 1) /Ar /a.(x + 2) X1 3(y 1) = 0.即所求直线方程为X 3y+ 5= 0.6 .已知点 A( 1,2),B(0， 2)，若点D在线段AB上，且2|AD| = 3|BD|，则点D的坐标答案-5，-5解析 由题意得OD=OA + Ad = OA +0AB = (1,2) + (1 , 4)= ?,?，所以5 555CE7

17、 如图，点 O是？ ABCD的对角线AC, BD的交点，E, F分别在边CD, AB上，且占=AF 1FB 2求证：点E, 0, F在同一直线上.证明设AB= a, AD = b ,由E, F分别为对应边的三等分点，得77711711FO = FA+ AO 一 3a + 2AC一 3a + 2(a+ b)1 1=6a+尹，1111OE= OC + CE= AC + CD = _ (a + b)飞2323所以FO = OE.又因为O为其公共点，所以点 E, O , F在同一直线上.二、能力提升8 .已知直线 li: (m + 2)x + 3my + 1 = 0 与直线 b : (m 2)x +

18、(m + 2)y 3 = 0 相互垂直，则实数m的值是()1B.2答案 C1 解析(m + 2)(m -2) + 3m(m + 2) = (m + 2)(4m - 2) = 0. 5 一 2 或2.9 .在四边形 ABCD中，Ac = (1,2) , BD = ( 4,2)，则四边形的面积为()D . 10答案 C 解 因为在四边形 ABCD 中，AC = (1,2) , BD = ( 4,2) , ACBD = 0, 所以四边形ABCD的对角线互相垂直,|BD| = V - 4 2+ 22 = 2# , 该四边形的面积： 1|AC| |BD|10 .已知曲线 C： x =-寸4-y2，直线I

19、： x = 6.若对于点A(m,0)，存在C上的点P和I上的点Q使得AP + AQ = 0，贝U m的取值范围为答案2,3 解析 由AP + aQ = 0知A是PQ的中点，设P(x, y)，则Q(2m x, - y)，由题意一2<x<0,2 m x= 6，解得 2 <m <3.11.如图所示，已知力 F与水平方向的夹角为 30 °斜向上)，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数 尸0.02的水平平面上运动了20 m 问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g = 10 m/s 2)解 设木块的位移为 S,则 W = Fs = |F| |

20、s|cos 30 ° =50 X20 x丰=500 寸3(J)1F在竖直方向上的分力的大小为|F1|=|F|sin 30 ° =50 x； = 25(N).则 f = Mmg - |Fi|)= 0.02 x(8 X10 25) = 1.1(N).所以 fs= |f|rs|cos 180 ° 1.1 X20 x(- 1) = - 22(J).即F与f所做的功分别是 500 3 J与一22 J.12 在ABC中，AB = AC, D为AB的中点，E为AACD的重心，F为ABC的外心，证明:EF 丄 CD.证明 建立如图所示的平面直角坐标系.设 A(0, b), B(

21、a,0), C(a,O),a b 则 D（2，2），CD = (-2a, |).易知ABC的外心F在y轴上，可设为（0, y）.由 |AF| = |CF|,得(y b)2= a2 + y2,b2 a2 所以y=匚厂，即 f（0 ,b2 a22b ).由重心坐标公式,b2），所以ef=（色6a22?.所以 Cd eF=(ba23 a畀以-6)+2"(2?=°，所以CD丄EF,I卩EF丄CD.三、探究与创新13 如图，在？ ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点.求证：AR = RT= TC.证明设AB= a, AD = b , AR= r,则AC = a + b.由于 AR /aC , 所以设 r = n(a + b), n R.又AB AE= a 1bER/EB,故设 ER= mEB= m1a -b .2总徒+ 取"=2b + ma - 2b.