第2讲三角变换与解三角形

1、三角变换与解三角形考情解读1.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用,常和同角三角函数的关系、诱导公结合2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合进行综合考查.主干知识梳理1 .两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)s in( a± 3) = sina cosB±cosasin卩.(2)cos( a± 3) = cos acos3?sin 久sin 卩.tan a±ta n3(3)ta n( a±3) = 1?tan aan 3.2 .二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)s in 2 a= 2sin

2、acosa.(2)cos 2a= cos 2 a sin 2 a = 2COS 2 a 1 = 12sin 22tan a3 .三角恒等式的证明方法(2)等式的两边同时变形为同一个式(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简.子.(3)将式子变形后再证明.4 .正弦定理c=2 R(2 R为ABC外接圆的直径sin A sin B sin C变形：a= 2Rsi n A , b = 2Rsin B, c = 2 Rs in C.abcsin A=灵 sin B=2R，sin C= 2Ra : b : c= sin A : sin B : sin C.5 .余弦定理a2= b2 + c2

3、2bccos A,b2 = a2+ c2 2accos B,c2 = a2 + b2 2abcos C.b2+ c2 a2推论：cos A =2bca2+ c2 b2cos B =, cos2aca2 + b2 c2C=2ab变形：b2 + c2 a2 = 2 bc cosA, a2+ c2 b2 = 2accosa2+ b2 c2= 2 ab cos C.16 .面积公式 S$BC = bcsin A= acsin2 21B = absin C.27 .解三角形 已知两角及一边，利用正弦定理求解.(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一.(3)已知两边及其夹

4、角，利用余弦定理求解.已知三边，利用余弦定理求解.热点分类突破解析鬲考热点一三角变换n例 1(1)已知 sin( a+? + sina=5n2 n-< a<0 ,贝y cos( a+)等于()233B.一54C."53D_5(2013 浙江已知 a R, sin a + 2cosfX2 ，则tan 2 a等于()24A.-34D .-3思维启迪(1)利用和角公式化简已知式子，和cos( a+ - n)进行比较.思维升华“切化弦”；平方；降次.(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式,三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系

5、，发现题目所给条件与 恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况.(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.Is式训fcOl 设函数 f(x) = cos(2 x + 3) + sin 2x.3(1) 求函数f(x)的最小正周期和最大值;cos 2 00若0是第二象限角，且f(2)= 0，求1 + cos 2 0-sin 2 0的值热点二解三角形例1、完成考前11页的考向1和2 ;(分小组完成) 例2 . (2014 江苏若AABC的内角满足 sin A + /sin B= 2sin C,

6、贝U cos C的最小值是cos B 2a例3 在AABC中，角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,满足a = 2sin A, + +cos C cb-=0.c(1) 求边c的大小;求ABC面积的最大值.思维启迪将cosB+2a+ b= 0中的边化成角，然后利用和差公式求cos C,进而求c.(2)cos C c c只需求ab的最大值，可利用cos C=a 2ab2+ " - J和基本不等式求解.思维升华 三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破.几种常见变形:(1) a : b : c = sinA : s

7、in B : sin C; a = 2Rsin A,b = 2Rsin B, c= 2Rsin C,其中R为ABC外接圆的半径;(3)sin( A + B) = sin C, cos( A + B) = cos C.A B 例4 .已知角A、B、C是AABC的三个内角，若向量 m = (1 cos( A + B), cos5 A B9(,cos )，且 m n =.8 2 8 (1)求 tan Atan B 的值;abs in C求a2+ b2 c2的最大值.a,例 5在MBC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, q = (2a,1), p = (2b c, cos C)

8、,(1)求sin A的值;2COS 2 C求三角函数式三+1的取值范围热点三 正、余弦定理的实际应用例1(2013 江苏如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处A沿索道乘有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从 缆车到B,然后从B沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A处下山，甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC长为1 260 m，经测12量 cos A =,133cos C =5(1)求索道AB的长;(2) 问：乙出发多少分钟后，乙

9、在缆车上与甲的距离最短?(3) 为使两位游客在 C处互相等待的时间不超过 3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？思维升华 求解三角形的实际问题， 首先要准确理解题意， 分清已知与所求，关注应用题中 的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键通过合理运用正、 余弦定理等有的作用；再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中, 关知识建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确；最后作答.A地侦察发现，在南偏变式训练1如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在东60 °方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方

10、向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民.此时，C地位于中国海监船的南偏东45。方向的10海里处，中国海监船以每小时 30海里的速度赶往 C地救援我国渔民，能不能及时赶到？(、/2 -1.41 , ©1.73，念2.45)A .锐角三角形B.直角三角形II本讲规律总结1 .求解恒等变换问题的基本思路 一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”的过程，具体分析如下:(1)首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心.(2) 其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”(3) 再次观察代数式的结构特点.a = 2Rsin A,2 .解三角形的两个关键

11、点(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，注意定理的灵活变形，如asin A =二(其中2R为三角形外接圆的直径)，a2 + b2 c2 = 2ab cos C等，灵活根据条件2R求解三角形中的边与角.(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于n”A + B C和诱导公式可得到 sin( A+ B) = sin C, sin 2 = cos ；等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等.3 .禾U用正弦定理、余弦定理解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题，抽象 出三角形模型.专题突破练（推荐时间：60分钟）一、选择题1 （201

12、4 浙江为了得到函数y = sin 3 x+ cos 3 x的图象，可以将函数y =、cos 3 x的图A .向右平移n-个单位4B.向左平移n-个单位4C.向右平移n个单位12D .向左平移n个单位12n2 .已知 a (, n), sin(n 3a+4）爲，则cosa等于（）7眾107/2D. 102A.107 证C. 或10 105=3 , b* 1 2 * 4 a2 = ac,2则cos B的值为（）1B.21D"41A.3c.钝角三角形D .不确定5 .已知ABC中，角A、B、C的对边分别是 a、b、c,且tanB= a2 b； + c2, bCbA=2,则tan B等于（

13、）B© 1C. 2二、填空题7t2sin 2 a + sin 2 a6 .已知tana+4 = 2，且2< a<0,则cos a 47 .在AABC中，内角A、B、C的对边长分别为 a、b、c,已知 a2 c2= 2b，且 sin Acos C=3cos A si n C,贝 U b =nn 148 .已知 0< a<2< 仟 n, cos（ 3 ）= 3, sin（ a+ 卩）=，贝U cos（ a+ ；）=7t9 .如图，嵩山上原有一条笔直的山路 BC,现在又新架设了一条索道 AC,小李在山脚B处看索道AC,发现张角/ ABC = 120 ° ;MB处攀登400米到达D处，回头看索道 AC,发现张角/ADC = 150 °从D处再攀登800米方到达C处，则索道 AC的长为米.三、解答题10 . (2014 安徽设MBC的内角A, B, C所对边的长分别是 a, b , c,且=2B.(1)求a的值;n求Si