第一章第10节闭区间上连续函数的性质

1、1质质闭区间上连续函数的性闭区间上连续函数的性第十节第十节一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理二、介值定理二、介值定理三、小结及作业三、小结及作业2一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理定义定义.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在区间在区间是函数是函数则称则称都有都有使得对于任一使得对于任一如果有如果有上有定义的函数上有定义的函数对于在区间对于在区间ixfxfxfxfxfxfixixxfi 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ;

2、 0min y, 1max y3定理定理1(1(最值定理最值定理) ) 在闭区间上连续的函数，在在闭区间上连续的函数，在该区间上一定能取得它的最大值和最小值该区间上一定能取得它的最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabacxf 有有使得使得则则若若注意注意 1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理也不一定成立定理也不一定成立.4xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在闭区间上连续的函数一定在闭区间上连续的

3、函数一定在该区间上有界在该区间上有界. .证证,)(上连续上连续在在设函数设函数baxf,bax ,)(mxfm 有有,maxmmk 取取.)(kxf 则有则有.,)(上上有有界界在在函函数数故故baxf5二、介值定理定理定理 3(3(零点定理零点定理) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba, 上连续，且上连续，且)(af与与)(bf异号异号( (即即0)()( bfaf),),那末在开区间那末在开区间 ba,内至少有函数内至少有函数)(xf的一个零的一个零点点, ,即至少有一点即至少有一点 )(ba ，使，使0)( f. . 定义定义.)(,)(的的零零点点称称为为函函数数则则使使

4、如如果果xfxxfx0000.),()(内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在或方程或方程baxf06ab3 2 1 几何解释几何解释.,)(轴至少有一个交点轴至少有一个交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的两个的两个连续曲线弧连续曲线弧xxxfy 定定理理4 4( (介介值值定定理理) ) 设设函函数数)(xf在在闭闭区区间间 ba, 上上连连续续，且且在在这这区区间间的的端端点点取取不不同同的的函函数数值值 aaf )( 及及 bbf )(, , 那那末末，对对于于a与与b之之间间的的任任意意一一个个数数 c，在在开开区区间间 ba,内内至至少少有有一一点点 ，使

5、使得得cf )( )(ba . . xyo)(xfy 7几何解释几何解释mbcamab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 证证,)()(cxfx 设设,)(上连续上连续在在则则bax cafa )()( 且且,ca cbfb )()( ,cb ,)()(0ba 因因由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( cf 即即.)(cf 故故.)(至少有一个交点至少有一个交点与水平直线与水平直线连续曲线弧连续曲线弧cyxfy8推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值. .例例1 1.)1 ,

6、0(01423至少有一根至少有一根内内在区间在区间证明方程证明方程 xx证证, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上连续上连续在在则则xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零点定理由零点定理,使使),( 10 , 0)( f, 01423 即即.),( 内至少有一根内至少有一根在在方程方程故故1001423 xxmm9例例2 2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函数证证,)()(xxfxf 令令,)(上连续上连续在在则则baxfaafaf )()(而而, 0 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0

7、)()( ffbbfbf )()(, 0 .)( f即即10例3例3有界。有界。证明证明存在，存在，内连续，且内连续，且在在设设)()(lim),()(xfxfxfx证明证明,)(limaxfx设设,)(, axfxxx时，恒有时，恒有当当则则00,)( axfa即即）上连续，）上连续，在（在（又又)(xf上连续，上连续，在在所以所以)(xxxf使使和和由由最最值值定定理理，必必存存在在mm11,)(mxfm,max0mmaam 取取),(x故故,)(0mxf必有必有）上有界。）上有界。，在（在（即即)(xf12例4例4,0),(),()(iitbaxbaxf内连续，内连续，在在设设), 2

8、, 1(ni）（试证至少存在一点试证至少存在一点且且batnii, 11 ).()()()(2211nnxftxftxftf 使使证明证明,min1knkxx记记,max1knkxx 内内连连续续，在在由由),()(baxf上连续，上连续，在在得得,)(xxxf 有有使使故存在故存在,xxxmm ,)(mxfm), 2 , 1(0,nitxxxii 由于由于,)(mmtxftmtmniiiniinii111所以所以13),(,baxx 从从而而，至至少少存存在在一一点点).()()()(2211nnxftxftxftf 使使14三、小结四个定理四个定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介

9、值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1闭区间；闭区间； 2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立解题思路解题思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法: :先作辅助函数先作辅助函数f(x),再利用零点定理再利用零点定理;15作业作业73101p习题73p总习题一.,),(,),(1210963284423. 4, 2, 116思考题思考题下述命题是否正确？下述命题是否正确？ 如如果果)(xf在在,ba上上有有定定义义，在在),(ba内内连连续续，且且0)()( bfaf，那那么么)(xf在在),(ba内内必必有有零零点点.17思考题解答思考题解答不正确不正确.例函数例函数 0, 210,)(xxexf)(xf在在)1 , 0(内连续内连续,. 02)1()0( ef但但)(xf在在)1 , 0(内内无无零零点点.18一、一、 证明方程证明方程bxax sin，其中，其中0,0 ba，至，至少有一个正根，并且它不超过少有一个正根，并且它不超过ba . .二、二、 若若)(xf在在,ba上连续，上连续，bxxxan