中考数学压轴题专题复习—反比例函数的综合含详细答案

1、中考数学压轴题专题复习一反比例函数的综合含详细答案、反比例函数(1) m=_ , ki=_ ;(2 )当 x 的取值是_ 时，kix+b *;(3)过点 A 作 AD 丄 x 轴于点 D,点 P 是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线 0P与线段 AD 交于点 E,当 S四边形ODAC:ODE=3:1 时，求点 P 的坐标.1【答案】(1) 4;-(2) - 84J_16（3）解：由（1）知，yi= - x+2 与反比例函数 y2= 的坐标是（4, 4）. C0=2, AD=0D=4.CO +2 + 4-S梯形ODAC=-?0D= -X4=12/S四边形ODAC:SAODE=3:1 ,I_

2、SAODE=- S梯形ODAC=- X12=4丄即-OD?DE=4, DE=2.点 E 的坐标为(4, 2). 又点 E 在直线 0P 上,丄直线 0P 的解析式是 y= - x,16直线 0P 与 y2=的图象在第一象限内的交点 P 的坐标为(4 7 - , 2、-)【解析】【解答】解：(1)反比例函数 y2=的图象过点 B (-8,- 2),k2=(-点 C 的坐标是(0, 2),点 AA（4，m）和 B （-8,8) X (-2)=16,即反比例函数解析式为y=,将点 A( 4， m)代入 y2=，得：m=4，即点 A( 4，4),将点 A (4, 4)、B (- 8, - 2)代入 y

3、i=kix+b,zIk b = 4得：甜， 一，IJi =-I 2解得：社-力，1 一次函数解析式为 yi= x+2,0 故答案为：4,;( 2) 一次函数 yi=kix+2 与反比例函数 y2= 的图象交于点 A (4,4)和 B (- 8,- 2),.当 yi y2时，x 的取值范围是-8VXV0 或 x 4,故答案为：-8Vxv0 或 x 4;【分析】(i )由 A 与 B 为一次函数与反比例函数的交点，将B 坐标代入反比例函数解析式中，求出 k2的值，确定出反比例解析式，再将A 的坐标代入反比例解析式中求出m 的值，确定出 A 的坐标，将 B 坐标代入一次函数解析式中即可求出ki的值；

4、(2)由 A 与 B横坐标分别为 4、- 8,加上 0，将 x 轴分为四个范围，由图象找出一次函数图象在反比例 函数图象上方时x 的范围即可；(3)先求出四边形ODAC 的面积，由 S四边形ODAC:SAODE=3:i 得到 ODE 的面积，继而求得点 E 的坐标，从而得出直线 OP 的解析式，结合 反比例函数解析式即可得.2.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点 O 重合，点 B 在 y 轴的正半轴A上，点 A 在反比例函数 y=1(k 0, x0 )的图象上，点 D 的坐标为( , 2).BOi(i )求 k 的值；(2)若将菱形 ABCD 沿 x 轴正方向平移，当菱形的一

5、个顶点恰好落在函数y= ( k0, x 0)的图象上时，求菱形 ABCD 平移的距离.【答案】(1)解：作 DE 丄 BO, DF 丄 x 轴于点 F, DO=AD=3, A 点坐标为：(h 它，5), k=5 .;(2)解：将菱形 ABCD 向右平移，使点 D 落在反比例函数y(x 0)的图象上 D, DF=D F, =2 D点的纵坐标为 2,设点 D (X, 2)同理，将菱形 ABCD 向右平移，使点 B 落在反比例函数 y=(x0)的图象上,【解析】【分析】(1)根据菱形的性质和 D 的坐标即可求出 A 的坐标，代入求出即可;(2) B 和 D 可能落在反比例函数的图象上，根据平移求出即

6、可.3.平行四边形 ABCD 的两个顶点 A、C 在反比例函数 y=x( k 工0图象上，点 B、D 在 x 轴 上，综上，当菱形 ABCD 平移的距离为叭3或时，菱形的一个顶点恰好落在函数图象上.点 D 的坐标为(.，2),菱形 ABCD 平移的距离为菱形ABCD且 B、 D 两点关于原点对称，AD 交 y 轴于 P 点(1) 已知点 A 的坐标是(2, 3),求 k 的值及 C 点的坐标；(2 )在(1 )的条件下，若 APO 的面积为 2，求点 D 到直线 AC 的距离.【答案】(1)解：点 A 的坐标是(2, 3)，平行四边形 ABCD 的两个顶点 A、k例函数y乂 (k0图象上，点

7、B、D 在 x 轴上，且 B、D 两点关于原点对称， 点 C 与点 A关于原点 O 对称， k=6, C (- 2,- 3),即 k 的值是 6, C 点的坐标是(-2,- 3);于点 N ,过点 D 作 DM 丄 AC , AN=2, APO 的面积为 2,OPANn_OP 2 r即，得 OP=2,点 P ( 0, 2), 设过点 A (2, 3),P ( 0, 2)2盒十b的直线解析式为 y=kx+b，/曰I= -，得 j,过点 A (2, 3), P ( 0, 2)当 y=0 时，0=0.5x+2,得 x=- 4,的直线解析式为 y=0.5x+2,C 在反比k 3=-,如图，点 A (2

8、，3)，k=6,点 D 的坐标为(-4, 0),设过点 A (2, 3), B (- 2, - 3)的直线解析式为 y=mx+b ,则卜= ，得 = 0过点 A (2, 3), C (- 2, - 3)的直线解析式为 y=1.5x.【解析】【分析】(1)根据点 A 的坐标是(2, 3),平行四边形 ABCD 的两个顶点 A、C在反比例函数 y=A-( k0图象上，点 B、D 在 x 轴上，且 B、D 两点关于原点对称，可以 求得 k 的值和点 C 的坐标；(2)根据 APO 的面积为 2，可以求得 0P 的长，从而可以求 得点 P 的坐标，进而可以求得直线 AP 的解析式，从而可以求得点 D

9、的坐标，再根据点到 直线的距离公式可以求得点 D 到直线 AC 的距离.4.如图，已知直线y=ax+b 与双曲线 y=(x 0)交于 A(xi, yi), B (x2,y2)两点(A 与 B 不重合)，直线 AB 与 x 轴交于 P ( xo,0),与 y 轴交于点C.0(1 )若 A, B 两点坐标分别为(1, 3),( 3, y2)，求点 P 的坐标.(2) 若 b=yi+l，点 P 的坐标为(6, 0),且 AB=BP,求 A, B 两点的坐标.(3)结合(1),( 2)中的结果，猜想并用等式表示xi, X2, xo之间的关系(不要求 证明).k【答案】(1)解：T直线 y=ax+b 与

10、双曲线 y=(x0)交于 A (1, 3), k=1x3=3 B (3, y2)在反比例函数的图象上,3 y2= - =1,- B (3, 1),点 D 到直线 AC 的直线得距离为:罗(边9圖 =T直线 y=ax+b 经过 A、B 两点，解得直线为 y=- x+4, 令 y=0,则 x=4,- P (4, O)(2 )解：如图，作AD 丄 y 轴于 D, AE 丄 x 轴于 E, BF 丄 x 轴于 F, BG 丄 y 轴于 G, AE、BG交于 H,贝UAD/ BG/ x 轴，AE/ BF/ y 轴,CD亠辺PF RF PR无=OP PE - AE = PA=,= =,Tb=yi+1,AB

11、=BP,6 4-jq 1 B (-，- yi)/ A, B 两点都是反比例函数图象上的点,6十码1s 耳 xi?yi=-?亠 yi,解得 xi=2,代入=-，解得 yi=2.(3)解：根据(1),( 2)中的结果，猜想:【解析】【分析】(1)先把 A (1 , 3),xi, X2, x0之间的关系为 xi+x2=x0式，进而求得B 的坐标，然后把 A、B 代入 y=ax+b 利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而即可求得 P 的坐标；(2)作 AD 丄 y 轴于 D, AEx 轴于 E, BF 丄 x 轴于 F, BG 丄 y轴于 G, AE、BG 交于 H,贝 U AD/ BG/ x 轴，

12、AE/ BF/ y 轴，得出B(3, y2)代入求得反比例函数的解析5.如图，四边形 OPlAlBl、A1P2A2B2、A2P3A3B3、An-iPnAnBn都是正方形，对角线 OAl、 A1A2、A2A3、An-iAn都在 y 轴上(nl的整数)，点Pi(xi, yi)，点P2(X2,ky2), , Pn( xn, yn)在反比例函数 y=(x0)的图象上，并已知 Bi(- i, i).(1) 求反比例函数 y=的解析式；(2) 求点 P2和点 F3的坐标；(3)由(i)、( 2)的结果或规律试猜想并直接写出： PnBnO 的面积为 _ ，点Pn的坐标为_(用含 n 的式子表示).【答案】(

13、i)解：在正方形 OPiAiBi中，OAi是对角线，则 Bi与 Pi关于 y 轴对称，Bi(- i, i),二 Pi(i, i).则 k=ix仁 i 即反比例函数解析式为y=k(2)解：连接 P2B2、P3B3,分别交 y 轴于点 E、F,，从而求得 B(6 xiXI,yi),然后根据k=xy 得求得 xi=2，代入=，解得 yi=2,即可求得 A、标；(3)合(1),( 2)中的结果，猜想 Xi+X2=xo.B的坐FF B卜o又点P1的坐标为（1, 1）,0Ai=2,设点 P2的坐标为（a, a+2）,代入 y=得 a=. -1,故点 P2的坐标为（彳二-1, 二+1）,则 A1E=A2E=

14、2. -2, OA2=OA1+A1A2=2 ,设点 P3的坐标为（b, b+2：）,1代入 y= i （Q0）可得 b=】-/ ,故点 P3的坐标为（ - ,+、）（3）1 ;（/ _J ,5+7 _）1 1【解析】 【解答】解：（3） %问做=25 仇=2 乞=1,汗如F=2、驱d=2 乞=1 , PnBnO 的面积为 1,由P1（ 1 , 1）、P21 , k 平 +1）、P3 （2叫:.）知点 Pn的坐标为（十已心 7, k；+_ ）,故答案为：1、（ .-.,.+y ）.【分析】 （1 ）由四边形 OP1A1B1为正方形且 OA1是对角线知 B1与 P1关于 y 轴对称，得出 点 P1

15、（1,1），然后利用待定系数法求解即可；（2） 连接 P2B2、P3B3,分别交 y 轴于点 E、F,由点 P1坐标及正方形的性质知 OA1=2，设 P2的坐标为（a, a+2）,代入解析式求得 a 的值即可，同理可得点 P3的坐标；（3） 先分别求得SxP1B1O、SxP2B2O 的值，然后找出其中的规律，最后依据规律进行计算 即可6.已知点 P 在一次函数 y=kx+b （k, b 为常数，且 kv0, b 0）的图象上，将点 P 向左平 移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到点 Q,点 Q 也在该函数 y=kx+b 的图象上.(1) k 的值是_ ;(2)如图，该一次函数的图象分别与

16、 x 轴、 y 轴交于 A, B 两点，且与反比例函数 y=图象交于 C, D 两点(点 C 在第二象限内)，过点 C 作CEL x轴于点 E,记 S 为四边形CEOB 的面积，9OAB 的面积，若(2) 3【解析】 【解答】解：(1)设点 P 的坐标为(m, n),则点 Q 的坐标为(m - 1 ,n+2),n = km b依题意得：；卞鱼二/总-承黑解得：k=- 2.故答案为：-2.(2) / BOLx 轴，CE! x 轴， BO/ CEAOBs AEC.令一次函数 y=- 2x+b 中 x=0,则 y=b, BO=b;令一次函数 y=- 2x+b 中 y=0,则 0=- 2x+b,ia解

17、得：x=，即 AO=.S磁9/AOBs AEC,且 $ 碾=丿山, AE=3AO=3b, CE= 1 BO=b, OE=AE AO=6b.OE?CE=| 4|=4，即 b2=4,解得：b=3 .，或 b= - 3 .(舍去).故答案为：3.【分析】(1)设出点 P 的坐标，根据平移的特性写出 Q 点的坐标，由点 PQ 均在一次函数 y=kx+b( k,b 为常数，且 kv0, b 0)的图象上，即可得出关于 k,m,n,b 的四元次一方程 组，两式作差即可求出 k的值；(2 )由 BO 丄 x 轴，CE 丄 x 轴，找出 AOBsAEC.再由给定图形的面积比即可求出AG BC 3历=刁门，根据

18、一次函数的解析式可以用含b 的式子表示出 OA,OB,由此即可得出线段 CE,AE的长，利用 OE=AE- AO 求出 OE 的长，再借助反比例函数K 的几何意义得出关于 b 的一元二次方程，解方程即可得出结论。的图象与一次函数D,连接 AO,其中点 A 的横坐标为卜 I , AOD，求 值【答案】(1)解：设 A (xo, yo)，则 OD=x), AD=yo,SAAOD=OD?AD= xoyo=2, 二 k=xoyo=4;当 Xo=4 时，yo=1 , 二 A (4, 1),代入 y=mx+5 中得 4m+5=1 , m=-1(2)解：I=砒十S ,的图象相7.如图，已知函数交不同的点 A

19、、B,过点 A 作 AD 丄 轴于点，3&理数学兴趣小组在探究如何求tan15 的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路:4! = mx+5，整理得，mx2+5x-4=0,A 的横坐标为 xo, mxo2+5xo=4,当y=0时，mx+5=0,Ex=-,/ OC=- , OD=xo, m2?t=m2? (OD?DC),r.J=m2?xo(- -xo),=m (-5xo-mxo2),=-4m,JJ- 4 v mv- , 5v-4 mv6, m2?t=5【解析】【分析】(1)根据反比例函数比例系数k 的几何意义，即可得出k 的值；根据反比例函数图像上的点的坐标特点，即可求出A 点的坐标，再

20、将A 点的坐标代入直线y=mx+5 中即可求出 m 的值；(2)解联立直线与双曲线的解析式所组成的方程组，得出mx2+5x-4=0,将 A 点的横坐标代入得出 mxo2+5xo=4，根据直线与 x 轴交点的坐标特点，表示出 OC,OD 的长，由 m2?t=m2?(OD?DC) =-4m，根据 m 的取值范围得出 5v-4mv6，从而答案。1思路一 如图 1，在 RtAABC 中，/ C=90, / ABC=30,延长 CB 至点 D,使 BD=BA 连接AD .设 AC=1 ,贝 U BD=BA=2, BC=时了. tanD=tan15 =並=6?回 2 问思路三 在顶角为 30的等腰三角形中

21、，作腰上的高也可以 思路四 请解决下列问题(上述思路仅供参考).(1) 类比：求出 tan75 勺值;(2)应用： 如图 2， 某电视塔建在一座小山上，山高BC 为 30 米，在地平面上有一点A,测得 A, C 两点间距离为 60 米，从 A 测得电视塔的视角(/ CAD)为 45求这座电视塔将直线 AB 绕点 C 旋转 45后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P 的坐标；若不能,请说明理由.思路二 利用科普书上的和(差)角正切公式:tan口 空 t an #tan( a) = /士tdfitan/?.假设a=60,3=45 弋入差角正切公式:tan15 =tan (60 - 45 CD 的

22、高度；(3)拓展：如图 3，直线I与双曲线r -XB两点，与y 轴交于点C,0t an6W -庁交于 A,在 RtAABC 中，/ C=90, / ABC=30,延长 CB 至点 D,使 BD=BA 连接 AD.设 AC=1,贝 U23DbbPAOi4图3F D(2 )解：如图 2,:&皆：30比口丘2即?在 RtAABC 中，AB=Uc：-:瓷=卜事找:療=BC 30,sin/ BAC=(3)解： 若直线 AB 绕点 C 逆时针旋转 45后，与双曲线相交于点P,如图 3.过点 C作 CD/ x 轴，过点 P 作 PE CD 于 E,过点 A 作 AF 丄 CD 于 F.DC + BC

23、 2+忑BD=BA=2, BC= . tan / DAC=tan75 =MT =AC=ItanVz?。十tanJOD方法二：tan75 =tan (45+30)=答：这座电视塔 CD 的高度为(和？f )米 DB=AB?tan/ DAB=(百)=込怎+少， DC=DB- BC=90-36=/ BAC=30 :/ / DAC=45 / DAB=45 +30 =75 在RtAABD 中，tan/DAB=- I解方程组:y =JT7二一：JT2）.对于2卢=4JC- 2，得：!y = J或* 一 g,点 A (4, 1)，点 B (- 2,x=0 时，y= 1,则 C (0， 1),0C=1, CF

24、=4, AF=1 tan / PCE=tantan 75 Ian ACF=3,即卩=3.设点AFF1-A(1 ) =2 , tan / ACF=Cf42，当/ACP+ZACF)=tan(45 + / ACF)=的坐标为（a, b）,则有:b - 3,.点 P 的坐标为（-1, 4）或（,3);解得:与 x 轴相交于点 G,如图 4.由 可知/ ACP=45 , P ( 3 , 3)，贝 U CP 丄 CG.过点 P 作PH 丄 y 轴于 H ,则GO OC/GOC=/CHP=90 ,/GCO=90 /HCP=/CPH, GOCs CHP,/ CH=3GO.设直线 CG 的解析联立:7Jc =-

25、z- 3k b = 0i3；b = - 1，解得：b = - J3, GO=3, G ( 3, 0)式为卜=匕“匀，则有:，直线 CG 的解析式为，消去y,得:，整理得:- I4k*卜益子彩= $, =,方程没有实数根，点 P不存在.综上所述：直线 AB 绕点 C 旋转 45后，能与双曲线相交，交点P 的坐标为(-1 , - 4)或4(,3).【解析】 【分析】tan / DAC=tan75 , tan / DAC 用边的比值表示在 RtAABC 中，由勾股定 理求出 AB,由三角函数得出 / BAC=30，从而得到 / DAB=75，在 RtAABD 中，可求出 DB, DC=DB- BC分

26、两种情况讨论，设点P 的坐标为(a, b)，根据 tan / PCE 和 P 在图像上列出含有 a, b 的方程组，求出 a, b.利用已知证明GOSACHP,根据相似三角形的性 质可求出 G的坐标，设出直线 CG 的解析式，与反比例函数组成方程组消元，m=2n，则称双曲线(m 0)是双曲线y=刃(m 0 )和双曲线ny= ( n0)的倍双曲线y=工(n0)为倍半双曲线”，双曲线 y= ”，双曲线y=* (n0)是双曲线 y= ( m 0)的半双曲线”,J(1 )请你写出双曲线 y= 的 倍双曲线”是_;4xOy 中，已知点 A 是双曲线 y= +在第一象限内任意一点,2k刃平行的直线交双曲线

27、 y=詈的半双曲线于点 N，过点 M 与 x 轴平行的直线交双曲线y=x的半双曲线”于点巳若厶 MNP 的面积记为SAMNP,且 1 MNP 0)在第一象限内任意一点，过点;y=(2 )解：如图 1 ,T双曲线 y=的半双曲线堤 y=, AOD 的面积为 2, BOD 的面积为 1, AOB 的面积为 1(3)解：解法一：如图 2,-一0图2一SAPMN= 1PMN 0)X的半双曲线”为设点 M 的横坐标为2klAm， 则点M 坐标m,inv = - (k 0)x,k，点 N 坐标为(m,),依题意可知双曲线 MN=同理 PM=m劝一二一一 1-J 0)kv = - (k 0)依题意可知双曲线

28、X的半双曲线”为上2k设点 M 的横坐标为 m，则点 M 坐标为（m,），点 N 坐标为点 N 为 MC 的中点，同理点 P 为 MD 的中点.连接 0M ,曲 1 -A0CJT SAocM=k, -SAPMN=.IWPMN2k1J24WkW8【解析】【解答】解：（1 ）由 倍双曲线”的定义J打双曲线 y=，的倍双曲线堤 y=;料|彳双曲线 y= 的半双曲线堤 y=.故答案为 y=x, y=A;【分析】（1 ）直接利用 倍双曲线”的定义即可；（2）利用双曲线的性质即可；（3）先利 用双曲线上的点设出 M 的横坐标，进而表示出 M, N 的坐标；方法一、用三角形的面积公 式建立不等式即可得出结论

29、；方法二、利用相似三角形的性质得出 PMN 的面积，进而建立不等式即可得出结论.11.在平面直角坐标系中，抛物线 了 经过点川馆，、g，渤，其中利、 卜是方程护_加- &-二的两根，且，过点 的直线 M 与抛物线只有一个公共点（2）求直线的解析式;（3）如图 2，点 是线段 上的动点，若过点 作 轴的平行线您与直线 相交于点，与抛物线相交于点，过点 作的平行线与直线 相交于点 ，求.的长.【答案】(1 )解：TX1、X2是方程 X2-2X-8=O 的两根，且 X1VX2,二 X1=-2, X2=4, A (-2, 2), C (4, 8)(2)解： 设直线 I 的解析式为 y=kx+b

30、 (20 ,/ A (-2, 2)在直线 I 上， 2=-2k+b, b=2k+2,直线 I 的解析式为 y=kX+2k+2抛物线 y=二 x2，联立 化简得，X2-2kX-4k-4=0,直线 I 与抛物线只有一个公共点， = (2k)2-4 (-4k-4) =4k2+ 16k+16=4 (k2+4k+4) =4 ( k+2)2=0,S 1（1） 求、 |； 、 :两点的坐标; k=-2, b=2k+2=-2,直线 I 的解析式为 y=-2x-2; 平行于 y 轴的直线和抛物线y= x2 3只有一个交点,直线 I 过点 A (-2, 2),直线 I： x=-2(3)解：由(1)知，A (-2, 2), C (4, 8),直线 AC 的解析式为 y=x+4,设点 B (m