第二章复变函数的积分

1、 柯西公式的应用 前面我们讨论了柯西公式背后蕴含的数学 意义，发现了解析函数和奇点之间的密切 关系。关于奇点性质的进一步分析需要用 到级数展开作为工具，将在下一章中展开 讨论。 柯西公式本身应用非常广泛，不仅可用于 回路积分的计算，还可以用于定理的证 明。下面具体讨论柯西公式的一些应用。 3/17/2012 61 应用1: 计算回路积分 计算回路积分 : 被积函数f ( z = 积分路分为l1和l2的回路积分。 1 1 i ，其中a = + ， 2 2 z ( z a 对于l1的积分, 路径位于z = 0附近。 积分形式 : I = l1 1 dz, 可改写成： z ( z a I = 似乎可

2、以归纳出这样一个积分公式： 当l中只有一个奇点z = z0时， 1 /( z a 1 /( a dz = d , 而柯西公式形式是： 0 z 0 l1 l1 f ( 1 f ( , 化成2if ( z = . z 2i z l1 l1 f ( z = f ( zdz = l l ( z z0 f ( z dz = 2i lim ( z z0 f ( z z z0 z z0 这个公式普遍成立吗？ 3/17/2012 两者对比，有z = 0，f ( = 1 /( a。 2i 所以I = 2if (0 = = 2 2i 0.5 0.5i 62 应用1: 计算回路积分 对于l2的积分, 尝试使用刚才的

3、积分公式 : I = 2i lim ( z z0 f ( z z z0 将z 0 = a = 1 i 1 代入，直接有： + 和f ( z = 2 2 z ( z a 1 I = 2i lim( z a z a z ( z a 1 = 2i lim z a z 2i = = 2 + 2i 0.5 + 0.5i 数值结果： f ( z dz = 6.285 6.285i l1 3/17/2012 l2 f ( z dz = 6.285 + 6.285i 和数值计算 结果吻合 63 刚才的积分公式普遍成立吗？ 如果f ( z 形式变为f ( z = 的回路积分。 由 f ( z dz = 2i l

4、im ( z z0 f ( z ， l z z0 1 ，计算z = 0处 z 2 ( z a 将z0 = 0和f ( z = 1 代入，得回路积分发散。 z 2 ( z a 但是由于l1上f ( z 无奇点，这个结果显然不正确。 原因：柯西公式中z = 处不能是f ( 的奇点。 不过有趣的是： 如果得到的是有限的结果，那么结果将总是正确的。 3/17/2012 64 应用2: 解析函数任意阶导数均存在 利用柯西公式还可以把f(z的高阶导数也表示成 回路积分的形式。这表明复变函数在某区域上 只要1阶导数存在，则n阶导数必然都存在。 由于柯西公式的回路积分路径上不存在奇点，因此可以求导。 1 f

5、( d 两边同时求导(对z求导与无关， 对柯西公式f ( z = 2i z l 利用微分公式 d ( z n = n( z n 1，可得： dz f ( 1 f ' ( z = ( z 2 d 2i l f ( 2 ( z3 d 2i l n! f ( ( z n+1 d 2i l 65 f(z 的任意阶导 数都可以用一个 回路积分来表示 f ' ' ( z = f (n ( z = 3/17/2012 应用3: 模数原理 模数原理 若f(z在某闭区域上解析，则|f(z| 只能在境界线上取极大值。 对f ( z 的n次幂应用柯西公式，可得： 1 f ( n f ( z

6、= d 2i z l n 由于存在常函数的例子， “只能”改成“必可”似乎更 严谨一些。 设 z 极小值为 , l上 f ( 极大值为M，l长度为s 则被积函数的绝对值 f ( z n = f ( n M n , 所以 z 1 f ( n 1 Mn d s 2i z 2 l 1/ n 3/17/2012 s 两边开n次方，可得： ( z M f 2 s 由于 有限，当n 时，得 f ( z M，因此 2 M必然为f ( z 的极大值。 有没有更直观的解释？ 66 模数原理讨论 实际上，由于解析函数的实部和虚部都是调和 函数，这将导致实部和虚部都会在区域的边界 上达到极值。 这一点可以通过拉普拉

7、斯方程的差分形式直接看出来. 拉普拉斯方程 2u 2u + = 0的差分形式： x 2 y 2 1 u ( x, y = u ( x + , y + u ( x , y + u ( x, y + + u ( x, y 4 显然，u ( x + , y 、u ( x , y 、u ( x, y + 、u ( x, y 四者中的最大值必然 u ( x, y ，同时四者中的最小值必然 u ( x, y 。对于v( x, y 的情况也是完全类似的。 不过, 还不能保证f(z的绝对值也在边界上达到极值。 3/17/2012 67 解析函数的模和辐角之间独立吗？ 前面我们常把f(z写成u(x,y+iv(x

8、,y的形式， 结果发现u和v之间不独立，之间通过C-R条件相互 联系。而u、v本身也不能是任意函数，要满足拉 普拉斯方程。但仅限于此吗？ 我们知道复数有代数式和指数式，如果把f(z写 成指数式(x,yexpi(x,y的形式，那么 和之间是否也应该有什么限制？这是前面我们 忽视的一个问题。 实际上，解析函数的和之间也是不独立的， 同时和自身也不能是任意函数。和的关 系和u与v的关系非常像。我们是否需要推导一种 广义的C-R方程和广义拉普拉斯方程？ 3/17/2012 68 解析函数的模和辐角之间独立吗？ 对解析f ( z = ( x, y expi ( x, y 两边取对数，可得： f 2 (

9、z = ln f ( z = ln ( x, y + i ( x, y 事情没有想像中的复杂 而f 2 ( z 也是一个解析函数， ln ( x, y 和 ( x, y 分 别是它的实部函数u ( x, y 和虚部函数v( x, y 。 因此： ln ( x, y 和 ( x, y 之间满足C R条件， ln ( x, y 和 ( x, y 自身满足拉普拉斯方程。 根据前面讨论，从而 ln ( x, y 必然也是在边界上取 极大值。而实变 ln 函数单调，因此 ( x, y 必然也是 在边界上取极值。 3/17/2012 69 应用4: 刘维尔定理 刘维尔定理 如果f(z在全平面解析且有界， 即|f(z|N，则f(z必为常数。 应用f ' ( z 的柯西公式： f ' ( z = f ( 1 ( z 2 d 2i l 考虑某点z的情况，以z为原点R为半径作圆， 由于 f ( N 2 ，l的圆周长为2R 2 R ( z 1 2 f ( 1 N N d 2 2R = ( z 2 2 R R l 所以 f ' ( z = 此式对任意R都应成立，令R ，可得 f ' ( z 0 3/17/2012 因此f ' ( z = 0，也就是说f ( z 必为常数。 70 应用4: 刘维尔定理 刘维尔定理和我们前面讨论奇点时证 明