激光物理基础

1、目录第一章 激光的基本原理 . . 21.1相干性的光子描述 . . 2 1.2光的受激辐射基本概念 . . 5 1.3 光的受激辐射放大 . . 7 1.4 光的自激振荡 . . 10 1.6激光器的自组织（加页） . 11 第二章 开放式光腔与高斯光束 . . 132.1 光腔理论的一般问题 . . 13 第四章 电磁场和物质的共振相互作用 . . 154.1 电介质的极化 . . 16 4.2 光和物质相互作用的经典理论简介 . . 17 2激光器的速率方程理论 . . 302.1激光器的速率方程 . . 30 2.3激光器的瞬态特性 . . 33 2.4 调Q 激光器的速率方程 . .

2、 35 24典型激光器速率方程 . . 37 3. 密度矩阵 . . 483.1 激光的半经典理论概况与近似条件 . . 48 22密度矩阵 . . 49 2.3密度矩阵的运动方程 . . 50 2.4 二能级原子系统的密度矩阵 . . 51 2.5 密度矩阵的矢量模型 . . 56 4.3行波与二能级原子作用的M-B 方程 . 62 4.4谐振腔中的M-B 方程 . 64 4.5哈肯的激光方程 . . 67 4.6 单模均匀加宽的行波激光方程 . . 69第一章 激光的基本原理1.1相干性的光子描述一 . 基本性质光子（量子力学图象），速度c ,是粒子，光子流是粒子流。1. 能量 q h =

3、 是频率， 346.62610h J S -= 普朗克常数2. 运动质量 22h m c c=静质量 00m = 3. 动量 0000222h h h p m c n c n nk c c =，2h = ，02k n = 4. 两个独立的偏振状态5. 光子的自旋，1s =，玻色爱因斯坦统计, 一个态可以有无数量子数。波和粒子不可分辨，二象性。由康普顿散射实验证实。理论上由量子电动力学把波和粒子统一描述。二. 光波模式和光子状态的相格。1. 光波模式单色波：20(, i t ik r E r t E e -=，自由空间里k 可任意，2k =，任意。有限体积V 内，k不任意，设V x y z =的

4、立方体。驻波条件：2x m =， 2y n =，2z q =，m , n , q 正整数。x k m x=，y k n y=，z k q z=在动量空间，x k ，y k ，z k 为轴的直角坐标系中，x k x=，y k y=, z k z=,每一个模式占的体积：33x y z k k k x y zV=k 空间中，k k d k + 内体积为21(48k k dk V =模式数（状态数）：2322kV k dk V V=， 22k c =，2dk d c=。模式数为3223(2 2V d c 。考虑每一个模式有两个偏振态，所以 2P =模式数238Vd c=。2. 粒子观点测不准关系x x

5、 p h ，这内部的粒子属于同一状态，3x y z x y z p p p h ，一个相格空间体积为3x y zh x y z p p p =一列光波模两列相反波形成驻波，2x x p k = ，2y y p k = ，2z z p k = ，(332x y zx y z p p p k k k x y z= 3x y z x y z p p p h =它们是一致的。三. 光子的相干性在不同空间点上，在不同时刻的光波场的某些特性的相关性。 相干性的粗略描述，相干体积 c V 。 c c c c c V A L A c =，c 为相干时间 1. 原子发光持续一段时间t ，或波列长度为c t 原子

6、谱线，t 即为原子激发态寿命频带宽度1t ，是单色性的量度。相干长度就是波列的长度。即c c L c t =，相干时间1c t = 线x 的光源A ，证明1s ，2s 两点有相干性：条件为xxL R，22(c x R A L x =，x L R ，x L R，2( x 为光源的面积22( ( x ，x ，3222( ( cs c c V = 2. 光子的观点：x y h p p p c =，z p p =，z h p p c= 33322222( ( ( cs x y z h h c x y z V h h p p p c c= （1） 相格空间体积与相干体积相等。（2） 属于同一状态的光子或

7、同一模式的光波是相干的，不同，则不相干。四光子的简并度相干光强决定具有相干性的光子数目或同态光子的数目，处于同一光子态上的光子数称为光子的简并度： （1） 同态光子数（2） 同一模式的光子数（3） 处于相干体积内的光子数 （4） 处于同一相格内的光子数1.2光的受激辐射基本概念一. 黑体辐射的普朗克公式：某温度T ，黑体辐射每个模式上的平均能量为1h kTh E e =-，光波模式数为：238P n Vd c=单色能量密度：33811h c e kT=- 是黑体辐射公式二：受激辐射和自发辐射概念 辐射场和物质的相互作用21E E h -=，2E ，1E 上粒子取密度2n ，1n 。1. 自发辐

8、射 几率21A ，2121212211( sp n dn A t n dt n = ， 21A 与原子的性质有关。221212( sp dn dn A n dt dt=-=-，2122020( s tA tn t n e n e -=，211sA =，21A 自发跃迁爱因斯坦系数。 2. 受激吸收：概率 ： 121211(st dn W dt n =，12W 与原子和有关，1212W B = 3. 受激辐射： 212121(st dn W dt n = ，2121W B =。 三：21A ，21B ，12B 的相互关系。（1） 腔内热平衡黑体辐射（2） 腔内物质原子服从玻尔兹曼分布 111E

9、kTn f e-=，222E kTn f e-=，21(2211E E kTn f e n f -=，2f ，1f 为2E ，1E 的统计权重。（3） 平衡态时，2n ，1n 不变。有212112(s p s t s td n d n d n d t d t d t += (001m s dI z g I I z dzg I g l=-=+(22121121n A B B n += 12121122h KTf A B B e f +=KT f B f A B e B B e f B f =-=- KT B B f c e e h A B f -=- T ，121212B f B f =，代入上

10、式得3213218A h n h B c = 当12f f =时，1221B B =或1221WW = 四. 受激辐射的相干性：自发辐射的相位是无规则的，不相干的。受激辐射的相位不是无规则的，与外界辐射场有相同的相位。量子电动力学（量子场论）证明：受激辐射光子与入射光子属于同一光子态。即受激辐射场与入射场有相同的频率，相位，波矢和振幅。 经典模型：自发跃迁电子自发阻尼振荡，受激辐射为外加电场中的强迫振荡。1.3 光的受激辐射放大一：光放大概念的产生11h KTE h e=-， 300T K =， 30cm = 微波 310= 相干光源60m = 远红外，1= 0. 6m = 可见光，3510-

11、 非相干光源提高温度 1m =，1=，50000T K =21213212138B W h A A c = 当一模式的很大，其他很小，这一特定的模式可产生很高的。使相干的受激辐射光子集中在某一种（或n 个）模式内，而不均匀分配在所有模内。 方法：多次反射不出去，每次传播不是吸收，而是使受激辐射转到放大，不断上升，。 1：模式的选择； 2：受激辐射放大。二：实现光放大的条件集层数反转。 平衡态：2121E E KT n e n -= ，21E E ，21n n 吸收光子数112n W 221n W 受激辐射 吸收光子。当 2n 1n 称为集层数反转，需要外界的物质提供能差（称为激励或泵浦过程），

12、物质处于非平衡态。激励是光放大的必要条件。三：光放大物质的增益系数与增益曲线1. 处于集层数反转状态的物质称为激活物质（或激光物质）。 放大作用，用g 放大系数描述。 (1d I z g z dz I z = ， 表示单位长度激活物质后光强增益的百分比。(212121d I z W n zW n z h d z - 假定：12f f = ， (2121d I z B h z n z n z d z -(2121B h I z n z n z d z-(2121g z B h n nd z -， 21n n - 不随 z 变，0g g 常数(00g z I z I e = ，0I 为 0z =

13、处的光强2. 增益饱和效应光放大，使 21n n - 减少，g 也减少，0021211s n n n n I I -=+ ，s I 为饱和光强。(000212111s sn n g g I B h I I -=+ 所以 g 与 有关，(, g I ， 2E 与 1E 内有频带。(210E E h-= (, g I 是增益曲线 ， 称为曲线宽度 。1.4 光的自激振荡一： 自激振荡的概念。光放大， 有损耗，引入损耗系数 ；光通过单位距离的光强衰减的百分比(1d I z d z I z=-(d I z g I I z d z=-小信号时， (0gzI I e-= I ，(g I ，当 (g I =

14、 时，达 最大值 mI1m sg I =+(0sm I I g =- ，m I 与 0I 无关 。0I 很弱 ，放大器足够长，0m I I 自激振荡。采用光谐振腔，不用把激活物质元加长。 反射镜之间往返传播，等效增加长度， 光的反馈。轴向光模产生自激振荡，激光器。 激光器包括：（1） 光放大器 （2） 光谐振腔 光腔的作用：（1） 模式选择（2） 提供轴向光波模的反馈。二： 振荡条件：(00sm I I g =-0g 包括放大器损耗，谐振腔损耗。工作物质长 l ，光腔长 L ，L = ，0g l ， 0g l 称为单程小信号的增益。1.6激光器的自组织（加页）二级相变 激光器的阈值C D 是临

15、界点，当反转粒子数C D D <时，光是无序的。C D D >时，产生激光，是有序的。激光场E 振荡器是噪音起振，激光器也是噪音（自发辐射）起振（起伏或涨落）。 自发辐射的相位是混乱的，随即的。沿轴向的自发辐射引起雪崩式的受激放大。激光器从无序到产生有序的激光，是自组织的结果。光在腔内来回反射，只有特定的频率，特定方向和模向分布才能最有效地被放大。 不同频率和方向的辐射的竞争，是不同模式的竞争。 一旦某一模式占了优势，其它模式受到抑制。序参数是描述系统的整体行为的物理量（磁化强度，激光光场）。控制参数是决定系统状态和动力学特性的物理量。如温度，反转粒子数。 序参数一般在临界点为0。

16、序参数由子系产生，反过来又“统帅和指挥”各个子系统。这在协同学中称为伺服原理。同E ，介质极化P和反转粒子数D 描述激光器的行为。第二章 开放式光腔与高斯光束2.1 光腔理论的一般问题一，光腔的构成和分类在激活物质的两端恰当地放置两个反射镜片，就构成一个最简单的光学谐振腔。 开腔又可以分为稳定腔，非稳腔和临界腔。二， 模的概念腔与模的一般联系被约束在空间有限范围内的电磁波都只能存在于一系列分立的本征状态之中，场的每一个本征态将是具有一定的振荡频率和一定的空间分布。光腔中可能存在的电磁场的本征态称为腔的模式。 边界条件决定驻波。 2qL q =， 0qq =为物质的谐振波长，为折射率，L 为几何

17、长度（简称腔长）。 物质中光速度0, , c v cv =1' 22q q q c vL L+-=不同本征值间频率差= 三， 光腔的损耗开腔有几个方面损耗：（1） 几何偏折损耗 （2） 衍射损耗（3） 腔镜反射不完全引起的损耗（4） 材料中的非激活吸收，散射，腔内插入物所引起的损耗 （1）（2）为选择损耗，（3）（4）为非选择损耗。 定量描述：引入“平均单程损耗因子”，120120101222100121, ln 2, i I I I I I eI I I e e I e -=+往返一次后，光强为，则多个因素时，' 0102' ' 00021(12 2, I I

18、 I I I eI -=-=-=另一种定义很小时，2（1） 光子在腔内的平均寿命22000200'( 0, 2, Rm m m tmR m I I e I e t t I t m L cI I eI eL c-=(t往返次，时光强时, 定义称为腔的时间常数，描述光腔的一个重要参数。0000000, , 11( ( R RRR R R ttRtRRRI t I eI Nh v N N e N t t dt dN edtN dN t t e dt N N dN t N -=+=-= (t(t时，愈大，愈小，腔内光强衰减愈快。为“光子在腔内的平均寿命”设t 时刻光子数密度为N, 时间内减少的

19、光子数密度为-的寿命为，所有的加起来，对平均就得到了腔内光子的平均寿命（2） 无源谐振腔的Q 值Q 值叫品质因数，标志谐振腔的特性，定义2Q PP=式中是储存在腔内的总能量，P 为单位时间内损耗的能量，为腔内电磁场的振荡频率。' , 2RR R d dN NNh V P h V h V dt dt Nh V L Q P h VN c=-=-=这就是光谐振腔的一般表达式。越小，Q 越高。（3） 损耗举例第四章 电磁场和物质的共振相互作用一， 经典理论模型：用麦克斯韦方程描述电磁场，原子中的电子视为服从经典力学的振子。 解释：光的吸收和色散现象，定性地说明了原子的自发辐射及其谱线宽度，等等

20、。二， 半经典理论模型：用麦克斯韦方程描述电磁场，原子用量子力学描述。跃迁，辐射，吸收 1964年，兰姆建立方程，称为兰姆理论。解释：强度特性，增益饱和效应，多模耦合等。数学比较繁杂。三， 量子理论电磁场和物质原子都做量子化处理，二者作为一个统一系统来描述。在确定激光的相干性和噪声及线宽极限时是必要的。四， 速率方程理论量子理论的一种简化形式，从光子与原子的相互作用出发。4.1 电介质的极化原子在电场中极化 p e l =介质： iipP V=，单位体积内电偶极矩之和， 0D E P =+。场比较弱，即E 较小，线形关系00L L L P E P E =，各向同性。，各向异性，也是线性关系。一

21、般情况：(1(2(3(1(2(30:L NL P P P P P P E EE EEE =+=+=+1232(30NL P PP P P EE EEE =+=+（）（）（）（）0：+ ' ' ' 2001( ( , i t i t ex x x E z e mx t x e =+=-=和分别为相对介电常数和相对磁导率，介电物质中运动方程为令特解为代入2/, at at atat at E EE E E E E E E V cm E E =009上式第二项与第一项之比当和可比拟时，场与物质间的相互作用会导致明显的非线性效应。此时由于，有当约为10则比要小很多。时，只考虑线

22、性项。共振和非共振相互作用:R NR R LR NL RNR L NR NL NRP P P P P P P P P =+=+=+， 0LR D E P =+研究激光只考虑共振相互作用，。4.2 光和物质相互作用的经典理论简介一，原子自发辐射的经典模型原子为线性谐振子，运动方程：0120000, ( , (i tmxkx K x t x em+= 其解为为谐振频率，并且2230( , 6e vv c 是加速度。2230( 6e e e vFv c F -=上式所表示的电子能量在电位时间内的损失也可以认为是辐射对电子的反作用力在单位时间内所作的负功，即可表示为式中 为作用在电子上的辐射反作用力。

23、22222111112222233330000( 6666t tttt e e e e e e t e e t t tte v e e e Fv dt dt vdv v v vdv c c cc =-=-=-+221122213300( 0,(66t t ee e et t e e F v v dt v v t t cc-=-=为一个周期）0222333000220302220030200, 666, 60, 6( ti te e e F v F v x c c c e mxKx x F Kx x xce x xx c mx t x e e-=+=-+= 由于比小很多，因此所以式中称为经典辐射

24、阻尼系数，并且=很小，方程的解为按上式作简谐振动的电子和带正电的原子核组成一个作简谐振动的电偶极子，其偶极矩为0002200208( ( 110tti ti tti tr r p t ex t ex eep e eE E ees-=-=-=辐射的电磁波为定义为简谐振动的辐射衰减时间。可见光范围内，二，受激吸收和色散现象的经典理论原子在电磁场中，物质沿z 方向传播单色平面波，x方向场 强0, ( i ti t E z t E z eE ee -=（' ' '2001( ( , i t i t ex x x E z e mx t x e =+=-=和分别为相对介电常数和相对

25、磁导率，介电物质中运动方程为令特解为代入0220( eE z x ir -=-+， 0，0000( 2( eE z x ir -=-+， 2000( (, (, 2( i t e E z e p z t e x z t ir =-=-+ 则单位体积内，200( (, (, 2( i t ne E z e P z t np z t ir =-+ 物质的感应电极化强度也可表示为：0(, (, P z t E z t =与前式对比可得：22000000112( 2( 1ne ine i m ir m -=-+ 令' '' i =+，则电极化系数的实部和虚部分别为：12'

26、;0200022( ( 4( 1ne m -=-+ 2''200021(4( 1ne m =-+则物质的相对介电系数与电极化系数关系为：' ' '' 11i =+=+因为1' ''11222i =+=+=+ 令' 12=+，''2=电场强度可表示为：(0(, z i t z c cE z t E e e-=根据增益系数的定义( 1( (dI z g d z I z =考虑到2220( (, (, (, z cI z E z t E z t E z t E e*=可得： 2' 'g c

27、c=则：220021(4(1ne g m c=-+12020002( 1( 4( 1ne m -=+-+其中运用到0，无激励时，小信号下， 21n n n n =-=-，则0g <即处于吸收状态，将上述结果推广到普遍的状态时，令n n =-，2H =，则上式可写为：22200(4( ( 2H H ne g m c =-+ 202220001(16( ( 2H ne m -=-+ 若0, 0n g >>，对应于增益状态 若0, 0n g <<，对应于吸收状态由上两式可得物质折射率与增益系数之间的普遍关系式：0( 1H cg -=-4.3谱线加宽和线形函数考虑原子能级

28、2E ，1E 有一定宽度，但很窄。当不考虑能级宽度时：21221dn P h n A h dt= 但实际上，辐射不是单色的，而是分布在中心频率是21( E E -附近很小的频率的范围内。着就叫做谱线加宽。( P P =，令210( E E -=则总功率为：( P P d +-=引入谱线的线形函数0(, g 定义为：0(, P g P=（0(, g s =） 归一化条件： 0(, 1g d +-=线形函数0(, g 在0=时有最大值00(, g ，并在0=± 时下降到最大值的一半，即：0000(, (, g g ±=（ 为谱线宽度） 谱线加宽的物理机制一 均匀加宽：加宽的物理

29、因素对每个原子都是等同的。 1. 自然加宽（自发辐射）020( t i t x t x ee -=（考虑损耗，为阻尼系数）对( x t 做傅氏变换：02( 202000( ( 2( 2ti ti tx x x t edt x e edt i +-=- 频率在d + 区间内的自发辐射功率为：2( ( P d x d 线形函数可写为：20222202220(1(, 1( ( 4( 2( 4( 2x P g Px d +-=+-+-积分为一常数，令其为A 。由归一化条件得： A =于是可得：02220(, ( 4( 2N g =+-阻尼系数，与寿命的关系为：22020( ( ( ( P t x t

30、n n x t x t *=所以2200( t P t n x e -也可写作0( t P t P e -=另外2212sdn dn ndt dt =-=- 220( sn t n e-=自发辐射功率为：220210( ( s s t t dn t P t h n h A e Pe dt-=-= 经比较可得：1s=自然加宽谱线0(, g 为洛仑兹型，0=时，00(, 4s g =12N s=称为自然宽度0220(, ( ( 2N N N g =+-2. 碰撞加宽碰撞使原子发出的自发辐射波列发生无规则的相位突变。引起波列的缩短可等效于原子寿命的缩短。 统计平均，碰撞时间间隔为L 。它也为指数衰减

31、，使谱线加宽。0220(, ( ( 2L L L g =+- ， 1L L=气体物质：L 与压强P ，截面，温度有关。两种分子a,b 1( b L ab N Q = ， （b N 为b 类原子数，ab Q 为a,b 碰撞截面）同类原子的平均碰撞时间可写为： 1( a aaL aa N Q =多种气体时：1111( ( ( LL aa L ab L ac=+当压强不太高时，L p =以上的计算包括了弹性碰撞和非弹性碰撞两种过程。考虑到均匀加宽来源于自然加宽和碰撞加宽，均匀加宽线形函数可写为：0220(, ( ( 2NH H g =+- ， （112( 2H N L s L =+=+ ） 二 非均

32、匀加宽原子体系中每个原子只对谱线内与它的表现中心频率相应的部分有贡献，因而可以区分谱线上的某一频率范围是由哪一部分原子发射的。 1 多普勒加宽 接近接收器0z v >，远离接收器0z v <，且1zv00, z v = 0, z v = 0(1 z v + 0z v =时，感受到的光波频率为，并在0=有最大的共振相互作用；0z v >时，原子离开光源，感受到的光波频率为' (1 zv =-，当' 0(1 z v =-=或0002(1(1 (11(z zzzv v +=+-时有最大的相互作用；当运动原子与光相互作用时，原子表现出来的中心频率变为' 00(

33、1 z v =+，只有当光波频率' =时才有最大相互作用。结论：z 方向传播的广播与中心频率为0并具有速度z v 的运动的原子相互作用时，原子表现出来的中心频率为： ' 00(1, (1 z z v v =+' 0可称为运动原子的表现中心频率，简称为中心频率。 多粒子时：2622222211' 00''' '2002000''' '10010002' 000( ( 2( ( 2( ( 2( (, ( (, (, ( 2z z z mv KTz z zmv KTz z zmv KTz z zz

34、 D D mc KT D m n v dv n e dv KTm n v dv n e dv KTm n v dv n e dv KTv cn d n g d n d n g d cm g e KT-=-=' 2000( -自发辐射光功率：0202102120( ( (, D P d h n A d h A n g d =2210P n A h = 则分布函数为：2' 20020(200( (, ( 2mc KT D P c m g e P KT-= 202000024ln 2( 0(, (222(ln 2 2ln 2(, (D D D D Dcm g KTKTmcg e-=

35、27 2晶格缺陷加宽三 综合加宽1. 气体工作物质的综合加宽线形函数对于气体工作物质，主要的加宽类型是由碰撞引起的均匀加宽和多普勒非均匀加宽。中心频率在' ' ' 000d + 内高能级原子数为：' '' ' 2002000( (, D n d n g d =由于均匀加宽这部分原子也发出频率的自发辐射，它对( P d 的贡献为：' '' 2000210(, (, D H h n g d A g d 对' 0积分得：' '' 2000210( (, (, D H P d h n g d

36、 A g d +-=由于整个普线范围内都有' 0，用0h 代替h ，于是：'' ' 02210000( (, (, D H P h n A g g d +-='' ' 00000(, (, (, DH g gg d +-=28 （1） 当H D 时，在'0附近不为0，'000(, (, D D g g ，则： ''00000(, (, (, (, D H D g g g d g +-=（2） 当D H 时，同理00(, (, H g g = 2 固体激光器工作物质的谱线加宽 1晶格振动的热运动引起的均匀加宽

37、 2晶格缺陷引起的非均匀加宽例：室温下，红宝石694.3nm 谱线，其宽度约为19cm -21421( 9(0.6910 0.4cm cm nm -=51( 2.710c MHz =29 302激光器的速率方程理论2.1激光器的速率方程, , , , a b a b E E N N 激发速率及衰减为, a a 和, b b aa a a dN N dt=- （2.1）bb b b dN N dt=- （2.2） 定态：0, a bN N = aa aN =（2.3） bb bN =（2.4） 只考虑泵浦过程，激光场为0时，0a ba b a bD N N =-=考虑泵浦过程和激光作用，主要过程

38、如图2.1所示，其中是WDn 受激辐射项. a a N b b b N 图2.1 激光器的主要过程示意图光子数方程为' ( , a b dn dnc c N N n k n dt dz =- （2.6）引入 , , a b D N N W c =-=容易得到速率方程 ' dnWDn k n dt=- （2.7）（' k 是单位时间的光强损耗）aa a a dN N WDn dt=- （2.8） . bb b b dN N WDn dt=-+ （2.9）2.2激光器的饱和增益在定态条件，0, a bN N n = 由（2.7）（2.9）式 0, a a a N WDn =

39、- （2.10） 0, b b b N WDn =-+ （2.11） ' 0. WDn k n =- （2.12） 若令0n =，容易得到a ba bD =-。 当 0n 时，由（2.12）式有 ', D W k= （2.13） 这说明定态工作的激光器的增益等于阈值。上式中的D 为临界反转粒子数（c D ）。只有(0c D D -的一部分反转粒子对激光有贡献。0a a a a WDn N =- 0b b b bW D nN =-+(110a b a b a a b N N WDn -= 01110, b a D D nW -+= （2.14）. 1ab D D nW =+ （2

40、.15）引入 , R n W = （2.16）1112a b a b s a b a b ab R -=+= +， （2.17）(1. 2a b a b =+ （2.18） 0. 1sD D =+ （2.19）分析：在定态时，由于光子数n 维持一定的数值，它引起受激辐射，必然消耗反转粒子数，使反转粒子数减少。当s R R =时，0. D D =考虑到增益与反转粒子数成比例，将（2.19）式两边乘受激辐射截面，得到' '0, 1sG G =+ (2.20当0n =时，'' 0, G G =故称为' 0G 小信号增益。当s R R =时，' '

41、;. 2G G = 将（2.19）代入（2.13）式，'0, 1s D k nW W =+（2.21）(' ' ' 00' '. s sR R n D W k G k k W k W=-=- （2.22） 或者利用'' 00, , c G D W D W k =上式变为 (0', s c R n D D k =-（2.23）E =（2.24） （2.24式就是激光器自组织时提到的关系式，E 是序参数，c D 是临界点，D 是控制参数。c D D =时，序参数等于零，c D D >时，E 从零点分岔产生(0c E D

42、D -。2.3激光器的瞬态特性绝热近似：光子数随时间变化时，原子的反转粒子数D 能即时地跟上光子数的变化。绝热近似条件：' ' , . a b k k （2.25）利用方程（2.7），（2.8），（2.9）。这时的粒子数处于定态即0, a bN N = 但0n ， 00s D D=, R 1+1ab D nW =+ （2.26） n 不太大时，有 1ab nW + ， （2.27）0001s ab D D D D nW -=-+ （2.28）第二项中用c D 代替0D （' c D k =阈值）0c ab D D D nW -+ ' 0ab D nk =-+ （2.29） 将（2.29）代入（2.7）' dnWDn k n dt=-(' '