单元评估检测(四)

1、圆学子梦想 铸金字品牌温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元评估检测(四)第四章(120分钟160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上)1.若z(1+i)2=2i，则|z|=.【解析】因为z(1+i)2=z·2i=2i，设z=a+bi(a，bR)，则(a+bi)2i=2i，即-2b+2ai=2i，所以a=1，b=0，故z=1.故|z|=1.答案：12.(2015·重庆模拟)已知向量|a|=2，|b|=3，且a·b=3，则a与b的夹角为.

2、【解析】设a与b的夹角为，则cos=32×3=32.又因为0，所以=6.答案：63.在ABC中，A=90°，AB=1，AC=2.设点P，Q满足AP=AB，AQ=(1-)AC，R.若BQ·CP=-2，则=.【解析】如图，以A点为原点，以AB，AC所在直线分别为x轴，y轴建系.则B(1，0)，C(0，2)，A(0，0)，由AP=AB得P(，0).由AQ=(1-)AC得Q(0，2-2)，故BQ=(-1，2-2)，CP=(，-2).故BQ·CP=-2(2-2)=3-4=-2.解得=23.答案：234.(2015·贵阳模拟)已知ABC中，AB=a，AC=

3、b，a·b<0，SABC=154，|a|=3，|b|=5，则a与b的夹角为.【解析】SABC=12|AB|AC|sinA=12|a|b|sinA=12×3×5sinA=154，所以sinA=12.又a·b<0，所以A为钝角，所以A=150°.答案：150°5.定义运算abcd=ad-bc，则符合条件 =0的复数z对应的点在第象限.【解题提示】运用所给新运算把复数化为代数形式再判断其对应点所在象限.【解析】由=0得z(1-i)-(1-2i)(1+2i)=0，所以z(1-i)=5，设z=x+yi(x，yR)，所以z(1-i)=

4、(x+yi)(1-i)=5，(x+y)+(y-x)i=5，x+y=5,y-x=0,解得x=52,y=52.因为x=y=52>0，所以复数z对应的点在第一象限.答案：一6.(2015·南宁模拟)如图所示，非零向量OA=a，OB=b，且BCOA，C为垂足，若OC=a(0)，则用a，b表示为.【解析】BCOA，即BCOC，所以(OC-OB)·OC=0，所以|OC|2-OB·OC=0，即2|a|2-a·b=0，又0，解得= 答案：= 7.如图，正六边形ABCDEF中，有下列四个结论：AC+AF=2BC；AD=2AB+2AF；AC·AD=AD

5、83;AF；(AD·AF)EF=AD(AF·EF).其中正确结论的个数为.【解析】AC+AF=AC+CD=AD=2BC，故对；取AD的中点O，则AD=2AO=2AB+2AF，故对；设|AB|=1，则AC·AD=3×2×cos6=3，而AD·AF=2×1×cos3=1，故错；设|AB|=1，则|AD|=2，(AD·AF)EF=(2×1×cos3)EF=EF.AD(AF·EF)=AD(1×1×cos23)=-12AD=EF，故正确.综上，正确结论为.答案：3【

6、加固训练】给出下列命题：p：函数f(x)=sin4x-cos4x的最小正周期是；q：存在xR，使得log2(x+1)<0；r：已知向量a=(，1)，b=(-1，2)，c=(-1，1)，则(a+b)c的充要条件是=-1.其中所有真命题是.【解析】f(x)=sin4x-cos4x=(sin2x-cos2x)·(sin2x+cos2x)=sin2x-cos2x=-cos2x，故最小正周期为，故命题p正确；当0<x+1<1，即-1<x<0时，log2(x+1)<0，故命题q正确；a+b=(-1，2+1)，故(a+b)c的充要条件为-1=-(2+1)，解得=

7、-1或=0，故命题r不正确.答案：p，q8.(2014·昆明模拟)已知平面向量a=(sin2x，cos2x)，b=(sin2x，-cos2x)，R是实数集，f(x)=a·b+4cos2x+23sinxcosx.如果存在mR，任意xR，f(x)f(m)，那么f(m)=.【解题提示】本题解题实质是求f(x)的最小值.【解析】由已知可得f(x)=sin4x-cos4x+4cos2x+23sinxcosx=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+4cos2x+23sinxcosx=sin2x-cos2x+4cos2x+23sinxcosx=-cos2x+2(cos2x

8、+1)+3sin2x=3sin2x+cos2x+2=2sin2x+6+2.故f(x)min=0，因此f(m)=0.答案：09.设a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，定义向量ab=(a1b1，a2b2)，已知m=2,12，n=3,0，且点P(x，y)在函数y=sinx的图象上运动，Q在函数y=f(x)的图象上运动，且点P和点Q满足：OQ=mOP+n(其中O为坐标原点)，则函数y=f(x)的最大值A及最小正周期T分别为.【解题提示】可先设P(x，sinx)，由已知定义可得OQ=2x,12sinx+3,0=2x+3,12sinx，从而可求f(x)=12sin12x-6，根据三角函数的性质可得函数

9、的最大值及最小正周期.【解析】设P(x，sinx)，所以OQ=2x,12sinx+3,0=2x+3,12sinx，因为点Q在函数y=f(x)的图象上运动，所以f2x+3=12sinx，所以f(x)=12sin12x-6.即函数的最大值为12，最小正周期为4.答案：12，410.设非零向量a，b的夹角为，记f(a，b)=acos-bsin，若e1，e2均为单位向量，且e1·e2=32，则向量f(e1，e2)与f(e2，-e1)的夹角为.【解题提示】根据e1·e2=32求e1与e2的夹角，进而确定e2与-e1的夹角，根据新定义求向量f(e1，e2)与f(e2，-e1)的数量积，

10、由此确定其夹角.【解析】设e1，e2的夹角为，则e2与-e1的夹角为-，由题意，得|e1|=|e2|=1，所以e1·e2=|e1|e2|cos=cos=32，故=6，-=56，所以f(e1，e2)=e1cos6-e2sin6=32e1-12e2，f(e2，-e1)=e2cos56-e1sin56=12e1-32e2，f(e1，e2)·f(e2，-e1)=34-e1·e2+34=32-32=0.所以f(e1，e2)与f(e2，-e1)的夹角为2.答案：2【方法技巧】平面向量的数量积的运算技巧(1)平面向量数量积的运算类似于多项式的乘法运算，特别要注意乘法公式的应用.

11、(2)熟记公式a2=|a|2=a·a，在遇到向量模的问题时，可将所给等式(不等式)两边平方，将向量问题转化为实数问题来解决.11.(2015·镇江模拟)设aR，且(a+i)2i为正实数，则a的值为.【解析】(a+i)2i=(a2-1+2ai)i=-2a+(a2-1)i，由(a+i)2i为正实数得-2a>0,a2-1=0,解得a=-1.答案：-112.(2015·厦门模拟)已知向量a=(x-1，2)，b=(4，y)，若ab，则9x+3y的最小值为.【解析】若ab，则a·b=0，所以2x+y=2，由基本不等式得9x+3y6，当且仅当9x=3y，即x=1

12、2，y=1时等号成立.答案：613.已知平面向量，且|=1，|=2，(-2)，则|2+|=.【解析】由(-2)得·(-2)=2-2·=0，所以·=12，所以(2+)2=42+2+4·=4×12+22+4×12=10，所以|2+|=10.答案：10【方法技巧】平面向量的数量积的运算技巧(1)平面向量数量积的运算类似于多项式的乘法运算，特别要注意乘法公式的应用.(2)熟记公式a2=|a|2=a·a，在遇到向量模的问题时，可将所给等式(不等式)两边平方，将向量问题转化为实数问题来解决.14.在ABC中设角A，B，C的对边分别为a，

13、b，c，若m=(cosC，2a-c)，n=(b，-cosB)，且m·n=0，则B=.【解析】由m·n=0得bcosC-(2a-c)cosB=0，即b·a2+b2-c22ab=(2a-c)·a2+c2-b22ac，整理得ac=a2+c2-b2，又cosB=a2+c2-b22ac=ac2ac=12.又因为0<B<，所以B=3.答案：3二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)(2015·兰州模拟)已知AB=(6，1)，BC=(x，y)，CD=(-2，-3)，(1)若BCDA，求

14、x与y之间的关系式.(2)在(1)的前提下，若ACBD，求向量BC的模的大小.【解析】(1)AD=AB+BC+CD=(x+4，y-2).因为BCDA，所以x(2-y)-y(-x-4)=0，所以x+2y=0.(2)AC=(x+6，y+1)，BD=(x-2，y-3).因为ACBD，所以AC·BD=0，所以(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.又因为x+2y=0，所以(-2y+6)(-2y-2)+(y+1)(y-3)=0.即y2-2y-3=0，解得y=3或y=-1.即BC=(-6，3)或BC=(2，-1)，所以|BC|=35或|BC|=5.16.(14分)(2015·南

15、昌模拟)已知复平面内平行四边形ABCD(A，B，C，D按逆时针排列)，A点对应的复数为2+i，向量BA对应的复数为1+2i，向量BC对应的复数为3-i.(1)求点C，D对应的复数.(2)求平行四边形ABCD的面积.【解题提示】由点的坐标得到向量的坐标，运用向量、复数间的对应关系解题.【解析】(1)设点O为原点，因为向量BA对应的复数为1+2i，向量BC对应的复数为3-i，所以向量AC对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i，又OC=OA+AC，所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i，又BD=BA+BC=(1+2i)+(3-i)=4+i，OB=OA-BA=2+i-(1+2i

16、)=1-i，所以OD=OB+BD=1-i+(4+i)=5，所以点D对应的复数为5.(2)由(1)知BA=(1，2)，BC=(3，-1)，因为BA·BC=|BA|BC|cosB，所以cosB=BA·BC|BA|BC|=3-25×10=152，所以sinB=752，又|BA|=5，|BC|=10，所以面积S=|BA|BC|sinB=5×10×752=7.所以平行四边形ABCD的面积为7.17.(14分)设向量a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，定义一种向量积ab=(a1b1，a2b2)，已知向量m=2,12，n=3,0，点P(x，y)在y=si

17、nx的图象上运动.Q是函数y=f(x)图象上的点，且满足OQ=mOP+n(其中O为坐标原点)，求函数y=f(x)的值域.【解题提示】设出Q点坐标，与P点坐标建立联系后可求得y=f(x)的解析式从而可求值域.【解析】设Q(x，y)，P(x1，y1)，则由已知可得(x，y)=2,12(x1，y1)+3,0=2x1,12y1+3,0=2x1+3,12y1.故x=2x1+3,y=12y1即x1=12x-6,y1=2y.又因为P点在y=sinx上，故2y=sin12x-6，故f(x)=12sin12x-6，因为xR，故-12f(x)12.18.(16分)(2014·大连模拟)已知A，B，C是A

18、BC的三个内角，向量m=(sinA-sinB，sinC)，向量n=(2sinA-sinC，sinA+sinB)，且mn.(1)求角B.(2)若sinA=35，求cosC的值.【解析】(1)依题意得sin2A-sin2B=sinC(2sinA-sinC)=2sinAsinC-sin2C，由正弦定理得，a2-b2=2ac-c2，所以a2+c2-b2=2ac.由余弦定理知，cosB=a2+c2-b22ac=22，所以B=4.(2)因为sinA=35，所以sinA<22，所以A<B.又B=4，所以A<4，所以cosA=45，所以cosC=cos34-A=cos34cosA+sin34sinA=-210.19.(16分)(2015·盐城模拟)设向量a=(sinx，cosx)，b=(sinx，3sinx)，函数f(x)=a·(a+2b).(1)求函数f(x)的单调增区间.(2)求使不等式f(x)2成立的x的取值范围.【解析】(1)f(x)=a·(a+2b)=sin2x+cos2x+2(sin2x+3sinxcosx)=2+2sin2x·32-cos2x·12