六年下册《鸽巢问题》集体备课

1、鸽巢问题 集体备课活动记录活动时间2020. 5. 29活动地点教师办公室参加人员数学组教师科目数学年 级六年级备课方式同课同构主持人王丽丽主讲人马小川记录人李明活动目的1 .为教师的交流、互动、共同提高、共同发展提供舞台，让每个人都获得 新意义的“学习共同体”，真正实现“有形和无形”的资源共享。2 .向学生渗透模型思想。通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从 中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律解决生活 中的一些简单的实际问题。备课内容（课题）鸽巢问题活动纪实主 持 人 讲 话各位老师，大家好！我校一直以来注重引导教师更新教学理念，扎 实推进课堂教学改革，努力构建高效

2、课堂，而备课是构建高效课堂 的关键环节，集体备课更能集思广义，有效提高课堂教学效率。为 止匕，我校采取多种措施加大集体备课的力度，举办了多次集体备课 研讨会。今天，我们高年级数学教研组全体教师齐聚一堂，集体备 鸽巢问题这节课。在此之前，大家已经研读过教材，刚刚，马 老师又进行了第一次试讲，相信在座的各位同仁都有自己的一些理 解和看法，我们本着共同进步、共同提高”的原则，希望大家能 畅所欲言，毫不保留地把自己听课的认识、看法、见解、收获等开 诚布公地说出来。主 讲 人 发 言教材分析：“数学广角”是人教版六年纨下册第五单元的内容。 在数学问题中， 有一类与“存在性”有关的问题，如任意 367名学

3、生中，f 存在 两名学生，他们在同f 过生日。在这类问题中，只需要确定某个 物体（或某个人）的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体（或 哪个人），也不需要说明通过什么方式把这个存在的物体（或人） 找出来。这类问题依据的理论我们称之为“抽屉原理”。本节课教 材借助把4支铅笔放进3个笔筒中的操作情境，介绍了一类较简单 的抽屉原理，即把 m个物体任意分放进n个至抽屉里（mn n 是非0自然数），那么f有一个抽屉里至少放进了 2个物体。关 于这类问题，学生在现实生活中已经积累了f的感性经验，教学 时可以充分利用学生的生活经验，放手让学生自主思考，先采用自 己的方法进行“证明”，然后再进行交流，在交流中

4、引导学生对“枚 举法” “反证法” “假设法”等方法进行比较，使学生逐步学会运 用一般性的数学方法来思考问题，发展学生的抽象思维能力。通过 该内容的学习，帮助学生加深理解，学会利用“抽屉原理”解决简 单的实际问题。在此过程中，让学生初步经历“数学证明”的过程。 实际上，通过“说理”的方式来理解“抽屉原理”的过程就是一种 数学证明的雏形，有助于提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较 严密的数学证明做准备。本节课还要注意培养学生的“模型”思想， 这个过程是将具体问题“数学化”的过程，能从纷繁的现实素材中 找出最本质的数学模型，是体现学生数学思维和能力的重要方面。学情分析：“抽屉原理”是学生从未接触过

5、的新知识，这部分知识学生理解起 来会有难度。但在调研中我发现，有相当多的学生他们自己提前学 了，在具体分的过程中，都在运用平均分的方法，也能就一个具体 的问题得出结论。不过这些学生中大多数知其然而不知其所以然。 为什么平均分能保证“至少”的情况，他们并不理解。有时要找到 实际问题与“抽屉原理”之间的联系并不容易，即使找到了，也很 难确定用什么作为“抽屉”，要用几个“抽屉”。备课过程一、教学目标1 .经历“鸽巢问题”的探究过程，通过猜测、验证、分析等数学活 动，建立数学模型，发现规律。2 .经历从具体到抽象的探究过程，有据肩理地进行思考与推理。3 .初步了解“抽屉原理”，会用这一原理解决简单的实

6、际问题。通 过“抽屉问题”的灵活应用，提高解决问题的能力与兴趣，感受数 学文化及数学魅力。二、教学重难点重点：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。难点：通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。三、教学过程（一）创设情境，激趣导入师：同学们都看过名侦探柯南的动画片吗？生：看过！师：想变得和柯南一样聪明，就需要我们好好学习，用知识来武装自 己，充实自己。其实老师也很崇拜柯南，平时也经常研究一些推理 知识。今天老师就给大家带来一个推理游戏。我这有一副扑克牌， 同学们知道后多少张吗？预设：54张。师:（我拿去大、小王）还有多少张？知道扑克牌

7、有几种花色吗？预设：52张，4种。师:现在我就用这52张扑克牌开始做推理游戏。老师需要 5位同学 当助手，请你们5位任意抽取一张牌，不要让我看到哟！同学们，我 不看牌，我敢肯定的说：在你们抽取的 5张牌里，至少有2张是同 一花色的，你们相信吗？学生此时有人在考虑，有人点头，也有人疑 惑。师:请你们5位同学把牌拿出来验证卜，把牌举起来面向大家。我猜 对了吗？学生表示赞同。师:如果让这5位同学反复抽牌，不管怎样，总是至少有2张牌是同 一花色的，你们信吗？等上完这节课大家就明白其中的道理了。（二）自主操作，感知模型师：想知道老师为什么能做出如此准确的判断吗 ？这其中蕴含着一个 有趣的数学原理一鸽巢问

8、题。（板书课题）这节课我们就T来研究这个数学原理。课件出示：把4支铅笔放到3个笔筒中，总有一个笔筒里至少放2支 铅笔。为什么？1 .动手操作。师:在每个小组的课桌上都有3个杯子，4支铅笔。你们摆摆看，会 有什么发现呢？把你们发现的结果用自己喜欢的方式在课前准备好 的课堂学习卡上记录卜来。学生动手操作，师巡视，了解情况。2 .汇报交流说理活动。师：谁能说说“总有” “至少”是什么意思 ？预设：“总有”就是f有、在的意思，“至少”就是最少的 意思。师:（先把学生用自己的方式记录的情况在展台上展示，再用直观图在课件展示出来）像这种把所有情况列举出来的方法称为枚举法。观察这4种放法，他们有什么共同点？

9、课件演示验证。师：刚刚同学们用了枚举法说明了 “总有一个笔筒里至少有2支铅笔”这句话是对的，那么我们T再来思考下，如果每个杯子里不 允许放入2支或2支以上的铅笔，你能办到吗？谁来说说你的想法。 预设：做不到。（引导学生说出第二种方法：假设法。）师:观察这4种放法，哪种放法最能说明“不管怎样放，总有一个笔 筒里至少放2支铅笔”这句话是止确的？预设：第4种放法。师:这种放法和其它放法对比，有什么特点 ？预设：平均分。课件演示平均分的过程。师:这种放法其实就是“平均分”，既然是平均分，能用算式把刚刚 的思考过程表示出来吗？师:解决这类问题时，用“平均分”的放法比较简便。（三）逐步深入，建立模型课件出

10、示：如果把5支铅笔放进4个笔筒，会是什么结果呢？（运用假设法回答）师追问（同时课件演示）：6支笔放进5个笔筒里呢？把7支笔放进6 个笔筒里呢？把8支笔放进7个笔筒里呢？把9支笔放进8个笔筒里 呢？把100支笔放进99个笔筒里呢？师:说得完吗？总有一个笔筒里放2支铅笔这句话还成立吗？预设:我用假设法思考，先在每个笔筒放一支铅笔，剩下一支不管怎 么放，都出现总有一个笔筒里至少放 2支铅笔，所以结论还是成立。 师：回答非常好，通过这些例子，同学们发现了什么 ？谁能用一句话 把这些情况总结出来。预设：只要铅笔的数量比笔筒的数量多1,那么总有一个笔筒里至少 放进2支铅笔。（可能有同学会说n支铅笔放进n-

11、1个笔筒中，总有一个笔筒至少放 进2支铅笔。只要符合这个规律的都给予肯定赞赏。） 小结：现在回忆卜刚才的研究过程，同学们已经懂得了什么是枚举法，如果数据大我们可以从所有的放法中找到最简便的放法，假设 每个杯子里先放1支，余下的1支随意放进其中一个笔筒里，这就 很快找到了至少放的数量，这种方法叫“假设法”。这里的“假设 法”蕴含了 “平均分”的思想，最后我们用算式简明地表示出了 “平 均分”的过程。5只鸽子飞进了 4只鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了 2只鸽子。为 什么？预设：我把鸽子看成刚刚例子中的铅笔，鸽笼看成笔筒，假设每个鸽 笼里先飞进1只，剩下一只飞进其中的一个鸽笼，所以总有一个鸽 笼至少飞

12、进了 2只鸽子。课件出示：“抽屉原理”是组合数学中的一个重要原理，它最早由德 国数学家狄里克雷（Dirichlet） 提出并运用于解决数论中的问题，所 以该原理又称“狄里克雷原理”。抽屉原理有两个经典案例，一个 是把10个苹果放进9个抽屉里，总有一个抽屉里至少放了 2个苹果， 所以这个原理又称“抽屉原理”；另一个是 6只鸽子飞进5个鸽巢， 总有一个鸽巢至少飞进了 2只鸽子，所以也称为“鸽巢问题”。 释疑：同时让学生举手回答解疑课前的扑克牌游戏。（四）提升思维，完善模型师:之前我们研究的情况都是“铅笔”的数量只比“笔筒”的数量多1的情形，如果“铅笔”的数量不是比笔筒的数量多1呢？这个结论还成立吗

13、？课件出示例2:把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉 里至少放进3本书。为什么？预设：会想到枚举法、假设法。（对于想到的所有方法均给予肯定， 但学生应该体会到了假设法的优越性和一般性。）师:之前例1中同学明白了假设法的核心就是平均分， 那么我们能不 能继续用算式来表示出这个平均分的过程呢 ？课件出示（追问）：如果有8本书会怎样呢？预设1:总有一个抽屉里至少有4本书。预设2:总有一个抽屉里至少有3本书。师:说说你们的想法。预设1:把8本书放进3个抽屉，先在每个抽屉里放2本，还剩2本, 把这2本放进其中一个抽屉。预设2:你这样想就不能保证至少了，我是这么想的，把 8本书放进 3个抽屉，还

14、剩2本，把这2本再平均分后放进不同的抽屉，于是 得出总有一个抽屉里至少放进3本书。（在黑板上板书出除法算式。） 课件出示（追问）：10本书呢？学生就可以运用3本书放法回答10本书的放法来证明结论。课件出 示（追问）：9本书呢？预设：既然没有剩下的，至少数就是商。师：观察黑板上的这些算式，你有什么发现？小组讨论，合作交流。预设学生说出：至少数=商十余数师:是不是这个规律呢？我们来试一试吧！（师生总结后得出结论并板书：m n-冏余数至少数-冏+1 ）（五）利用模型，解决问题课件出示：1.11只鸽子飞进了 3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了 4只鸽子。 为什么？2 .现场教室里坐有40名同学，至少有几

15、名同学同一个月出生，为什 么？3 .情景展示柯南机智识破骗局的故事。有一次，柯南走在大街上无意中听到了一位老大爷和一个年轻人的 对话。年轻人：大爷，我最近着急用钱，想把我的一个手机号卖掉，价格1000元，请问你要吗？老大爷：是什么手机号呢？这么贵？年轻人：我的这个手机号很特别，它所有的数字中没有一个数字重复，所以才这么贵！老大爷：哦听到这里,柯南马上跑过去悄悄提醒老大爷：“大爷，这是一个骗子， 您要小心！ ”并且马上报了警，警察赶到后调查发现这个人果真是个 骗子。聪明的你，知道柯南是根据什么判断那个年轻人是个骗子的 吗？（六）小结质疑师:这节课我们认识了鸽巢问题，其实生活中还有很多的类似于鸽巢

16、 问题这样的知识等待我们去发现、去发掘，老师希望通过你们的努 力学习，在不久的将来能有一条用你的名字命名的原理。板书设计：鸽巢问题（抽屉原理）铅笔笔筒总有一个笔筒里至少有m：n =冏 余数至少数-冏+14+3=1127+3=2138+3=22410+3=314补 充 发 言 人陈红：马老师的这节课让我受益匪浅，教学设计构思巧妙，教学环 节环环相扣。最触动我的是课前马老师通过玩扑克牌游戏导入，非 常贴切教学内容，吸引了同学们的眼球，激发了学生的学习兴趣， 引发了学生学习数学的求知欲，为学生学习新知作了很好的铺垫。孙伟：本节课马老师通过让学生小组合作、动手操作，探究例1:把4支铅笔放进3个笔筒中，

17、不管怎么放，总有一个笔筒里至少有 2支铅笔。先让学生用枚举法，把所有情况摆出来，运用直观的方 式，发现并描述了简单的“鸽巢问题”，充分举例后让学生感知、 理解了 “铅笔比笔筒多1时，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有 2支铅笔”这一 “抽屉原理”；然后让学生探究解决问题的简便方法，即“平均分”的方法。这样设计结构紧凑，实施过程也层层推 进，扎实有效。张丽娜：接着刚才两位老师说的，我也迫不及待的想谈谈自己的感 受。马老师把一节课的教学过程、课件制作、即时练习、板书概括 都设计得非常巧妙、实用。在学生的小组合作中，马老师先从列举、 数的组成的角度分析，运用假设等方法来理解简单的鸽巢问题；冉 让学生用

18、“平均分”的方法去探究并建立这一问题的一般化模型， 这样学生对新知识的理解就有了浓厚的兴趣，有助于发展学生的形 象思维，从知识和方法上看都有很大的提升。课上的即时练习有层 次，有坡度，首先使用简单的迁移推理方法，然后针对具体问题进 行“数学化”的过程，这样有利于培养学生的思维能力，让学生在 解决问题的过程中，真正体验到数学的价值，感受到数学的魅力。那同时我也有一个疑问，想请主讲老师给我解答一下：为什么不在 活动前解释“总有” “至少”的意思？这样不是让学生在实验时更 有针对性吗？马小川：谢谢大家中肯的评价，你们的肯定使我自信，你们的建议 让我成长。刚才张老师的疑问也是我在备课中反复思考的问题。

19、“鸽巢问题”对于学生来说比较抽象，特别是对“总有一个笔筒里至少 放2支铅笔”这句话的理解，难度颇大。所以我通过让学生进行具 体的操作，在列举所有的情况后，再引导学生直接关注到每种分法 中数量最多的笔筒，理解“总有一个笔筒”以及“至少 2支”。让 学生初步经历“数学证明”的过程，训练学生的逻辑思维能力。这 里我先让学生实验，而没有提前解释词语意思，我的想法是实验后 学生对于重点词语的理解会更深刻，对这句话的理解也就不攻自破李明：刚才听了各位老师说的，已经把我刚才要说的疑问给解决了， 那在我听马老师的这节课中，还有一点让我特别惊艳，那就是本节 课多媒体课件的使用。马老师这样利用多媒体，使知识形成的

20、过程 更形象直观地展现给学生，把抽象的、枯燥的数学原理用生动形象 的动画呈现在学生眼前，真是充分激发了学生的学习兴趣。马小川：再次感谢各位老师给我提出的意见和对我本节课给予的肯 定。其实我在设计这节课的过程中，遇到最难解决的是课后习题的 确定，上网也查找了很多名师课例，最终确定了这样三道题目。今 天我也想和各位老师探讨一下，这样设计的习题是否有梯度？能不 能达到真正巩固本课的作用呢？吕玲：我想就这个问题谈谈我的理解，刚才马老师说的正是我想提 出的问题。首先马老师的这节课整体上来看我觉得是非常成功的， 前两个层次通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现 一些规律，抽取出其中的数学模型，然

21、后再用发现的规律解决生活 中的一些简单的实际问题。就三个习题来讲，我认为最后一个柯南 帮助老爷爷识破骗局的故事放在这里是否有意义呢？我也想听听其 他老师的看法。孙伟：我不太同意吕老师的看法。马老师本课设计了形式多样化的 练习，可以引起并保持学生的练习兴趣。练习内容紧密联系生活，让学生用学过的知识来解释这些现象，有效地渗透了 “数学来源于 生活，又还原于生活”的理念。练习由易到难，层层递进，符合学 生的认知规律。张丽娜：在练习中，学生兴趣盎然，课堂效果非常好。认识问题就 要对问题进行反复的理解，不断的进行再认识，这样的强化无疑会 让学生学得更好、记得更牢。而且我认为亮点恰恰在于最后的柯南 帮助老爷爷识骗局这道题目，与导入环节能够前后照应，同时课堂 效果呈现出最好的状态，我认为这么设计更加巧妙一些。陈红：对于刚才各位老师的精彩点评，我还有一点想要补充。新的 课程标准中要求“培养学生有条理进行思考和推理的能力，并能用 精确的语言表示自己思考和推理的过程”，我认为本节课的设计充 分体现了这一点。马老师在教学中提供的数据比较小，为学生自主 探究和自主发现“抽屉原理”提供了很