四点共圆的判定与性质

1、四点共圆的判定与性质一、四点共圆的判泄（-）判定方法1、若四个点到一个泄点的距离相等，则这四个点共圆。2、若一个四边形的一组对角互补（和为180° ）,则这个四边形的四个点共圆。3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两 个点和这条线的两个端点共圆。5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。6、若AB、CD两线段相交于P点，且PAXPB=PCXPD,则A、B、C、D四点共圆（相交 弦泄理的逆定理）。7、若AB、CD两线段延长后相交于P。且PAXPB=PCXPD,则A、B、C、D四点共圆（割 线泄

2、理）。8、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆（托勒密定 理的逆左理。（二）证明1、若四个点到一个泄点的距离相等，则这四个点共圆。若可以判断岀OA=OB=OC=OD,则A、B、C、D四点在以O为圆心OA为半径的圆上。2、若一个四边形的一组对角互补（和为180° ）,则这个四边形的四个点共圆。若ZA+ZC=180° 或ZB+ZD=180° ,则点 A. B、C、D 四点共圆。3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。若ZB二ZCDE,则A、B、C、D四点共圆证法同上。4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端

3、连线所夹的角相等，那么这 两个点和这条线的两个端点共圆。若ZA=ZD 或ZABD二ZACD,则 A、B、C、D 四点共圆。5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。如图2,若ZA=ZC=90° ,则A、B、C、D四点共圆。6、若AB、CD两线段相交于P点，且PAXPB二PCXPD,则A、B、C、D四点共圆（相交弦定理的逆定理）7、若AB. CD两线段延长后相交于巴且PAXPB二PCXPD,则A、B、C、D四点共圆（割线定理），8、若四边形两组对边乘枳的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆（托勒密定理的逆定理）。已知四边形ABCD,若ABXCD+BDX AC=ADX BC.则A、B、C、

4、D四点共圆。（三）例题25 己知公山。/中，.13=05 = 2, COD 中，CD = 0C = 3, ZL15<? =ZDCO.连接 JZ）、BC 9 点M、P分别为OD、AC的中点亠图1图2<如图若加.0、C三点在同一宜线上，且Z“lS0=6（r,则FWY的形状是AD _,此吋庞； &AD （2）如图2.若儿。、C三点在同一直线上.且厶仏0 = 2。证明RIAS®加.并计算荒 的值用含&的式子表示）:p 在图2中，固定叭将COD绕点O旋转，宜接与岀P"的最大值"25.如图一，在中，分别以丄5C为直径在丄5C外作半圆Q和半圆0：,其

5、中0： 和0.分别为两个半圆的圆心.F是边BC的中点，点D和点E分别头两个半圆圆孤的中点. “(1) 连结 O.F.O.pzDF.a0:Er EF,证明：5DO罟F0工;a(2) 如图二 过点A分别作半圆°：和半圆的切线，交BD的延长线和CE的延长线 于点P和点Q，连结PQ，若ZACB=90°:DB=5, CE=3,求线段PQ的长;“(3) 如图三，过点H作半圆0的切线，交CE的延长线于点0,过点0作直线圧的垂线, 交购的延长线于点耳 连结刃.证明：皮杲半圆0：的切线e图二图三3如图1, Q9U为等腰直角三角形，厶NC3为直角，D为丄3中点，E为辺丄C上一动点， DF丄D巴交£C于 m平分Z3.4C交DE于"平分AABC交防于工 心(1) 求证：A JD£ACDP? q(2) 求证：Z.WC.Y=45°；卩 如图丄，当C-±D7时，延长©-交.45于卫,若卫=忑，试证明彷的长是方程忑